ТВ-2.1 Случ. Вел.. 1. определение и виды случайных величин случайной

Часть II.

СЛУЧАЙНЫЕ

ВЕЛИЧИНЫ

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНОЙ

НАЗЫВАЮТ ВЕЛИЧИНУ,

КОТОРАЯ В РЕЗУЛЬТАТЕ ИСПЫТАНИЯ

ПРИНИМАЕТ ОДНО ИЗ

ВОЗМОЖНЫХ ДЛЯ НЕЕ ЗНАЧЕНИЙ,

НО КАКОЕ ИМЕННО – ЗАРАНЕЕ НЕИЗВЕСТНО

(Т.К. ЭТО ЗАВИСИТ ОТ СЛУЧАЙНОГО СТЕЧЕНИЯ ОБСТОЯТЕЛЬСТВ).

Обозначение:

Случайные величины – X, Y

Их значения – x, y

ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Дискретная случайная величина (ДСВ)

ДИСКРЕТНОЙ

называется величина, принимающая отдельные, изолированные значения,

которые можно перенумеровать (сосчитать).

Непрерывная случайная величина (НСВ)

НЕПРЕРЫВНОЙ

называется величина, принимающая любые значения из некоторого интервала.

Таких значений всегда бесконечно много (независимо от величины интервала),

причем перенумеровать их в принципе невозможно –

между любыми двумя найдется еще множество значений.

Примеры:

Температура тела человека в норме (36,0 < t0C <37,0).

Артериальное давление.

2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Случайная величина задается ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ –

ВЗАИМОСВЯЗЬ

МЕЖДУ ВОЗМОЖНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

И ИХ

ВЕРОЯТНОСТЯМИ.

РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ:

указываются

все возможные значения хi

ДСВ

и их вероятности pi,

Таблица ряда распределения

УСЛОВИЕ НОРМИРОВКИ ДСВ

СУММА ВЕРОЯТНОСТЕЙ ВСЕХ ЗНАЧЕНИЙ

ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

РАВНА ЕДИНИЦЕ,

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ:

функция, значение которой

при любом х

равно вероятности

того, что случайная величина Х

примет значение, меньшее х:

F (x) = P (X < x).

ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ

ПЛОТНОСТЬ

ВЕРОЯТНОСТИ НСВ-

производная функции распределения этой величины:

f (x) = F ′ (x).

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ СМЫСЛ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ

Чем больше плотность вероятности НСВ в данной точке х,

тем больше вероятность

попадания ее значений

в малую окрестность этой точки.

Или, иными словами,тем чаще при повторении испытаний НСВ принимает значения, близкие к х.

ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ значений СВ В ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ

Вероятность того,

что любая случайная

величина примет

значения в произволь-ном интервале [a, b),

определяется через

функцию распределения по формуле:

P(a  X < b) = F(b)-F(a)

3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ЧИСЛОВЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ СВ –

ЭТО ЧИСЛА,

КАЖДОЕ ИЗ КОТОРЫХ ХАРАКТЕРИЗУЕТ

СЛУЧАЙНУЮ ВЕЛИЧИНУ С КАКОЙ-ТО

ОПРЕДЕЛЕННОЙ СТОРОНЫ.

Основные числовые характеристики

ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ:

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ М(Х)

ДИСПЕРСИЯ D (X)

СРЕДНЕКВАДРАТИ-ЧЕСКОЕ

ОТКЛОНЕНИЕ  (Х)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

(ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ)

СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

ПРИБЛИЖЕННО РАВНО

СРЕДНЕМУ АРИФМЕТИЧЕСКОМУ

ВСЕХ НАБЛЮДАЕМЫХ ЗНАЧЕНИЙ

ЭТОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

Формулы вычисления М(Х)

МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОЖИДАНИЕМ

ДИСКРЕТНОЙ СВ Х

называется число

M (X) =

=x1p1+ x2p2 +...+ xn pn=

=  xi pi .

ДИСПЕРСИЯ

II. ДИСПЕРСИЯ

ХАРАКТЕРИЗУЕТ

СТЕПЕНЬ РАССЕЯНИЯ

НАБЛЮДАЕМЫХ ЗНАЧЕНИЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

ВОКРУГ ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ.

ДИСПЕРСИЯ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ЧЕРЕЗ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ:

ЭТО ЧИСЛО, РАВНОЕ

МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ОЖИДАНИЮ КВАДРАТА ОТКЛОНЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

ОТ ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ:

D(X) = M ( [ X – M(X)] 2 ) .

БОЛЕЕ УДОБНАЯ ФОРМУЛА

ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ:

D (X) = M (X2) – M2 (X).

Если ДСВ Х задана таблицей (см. выше), то закон распределения X2 имеет вид:

Размерность числовых характеристик

РАЗМЕРНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ –

КАК У САМОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

РАЗМЕРНОСТЬ ДИСПЕРСИИ РАВНА КВАДРАТУ

РАЗМЕРНОСТИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

ДЛЯ ОЦЕНКИ СТЕПЕНИ РАССЕЯНИЯ

В ТЕХ ЖЕ ЕДИНИЦАХ, ЧТО И САМА СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА,

ВВОДЯТ ТРЕТЬЮ ЧИСЛОВУЮ ХАРАКТЕРИСТИКУ, σ.

СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ

III. СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ

ОТКЛОНЕНИЕ -

ЭТО ЧИСЛО

σ(X) =  D (X).

Отcюда D(X) = 2 (X).

Как и дисперсия,

среднеквадратическое отклонение характеризует степень рассеяния наблюдаемых значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Но при этом размерность σ равна размерности самой случайной величины.

4. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Существуют различные законы распределения

случайных величин. Так, для дискретных величин

распространенными являются

распределение Бернулли

(иначе – биномиальное),

распределение Пуассона;

для непрерывных величин -

равномерное, экспоненциальное, нормальное

распределения. Последнее чаще всего встречается

на практике, его мы и рассмотрим более подробно.