Главная страница
qrcode

1 Статически неопределимые системы


Название1 Статически неопределимые системы
Дата09.10.2019
Размер1.77 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаshpory_k_sopre.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипДокументы
#64092
страница1 из 4
Каталог
  1   2   3   4
1) Статически неопределимые системы
Статически неопределимыми системами называются такие системы, когда число неизвестных реакций или внутренних сил превышает число уравнений равновесия. В этом случае в реакции внутренней силы методами статики найдены быть не могут.
Любая статически неопределимая система характеризуется степенью статической неопределимости, которая равна разности числа неизвестных и числа линейно-независимых уравнений равновесия.
Для расчета статически неопределимых систем составляются дополнительные уравнения из условия совместности деформаций.
Количество дополнительных уравнений равно степени статической неопределимости. Дополнительные уравнения присоединяются к уравнениям равновесия. В результате решения системы полученных уравнений определяются все неизвестные (реакции, внутренние силы).
2) Расчет статически неопределимого ступенчатого
стержня.
Рассмотрим стержень.
Если в процессе деформации нижний конец стержня достигает опоры B, то система становится статически неопределимой.
Количество неизвестных = 2 {𝑧
𝐴
,
𝑧
𝐵
}
Количество уравнений равновесия = 1 n=2-1=1
∑ 𝑧 = −𝑧
𝐴
+ 𝐹 − 𝑧
𝐵
= 0 (1)
∆𝑙
𝐹
+ ∆𝑙
𝑧
𝐵
= ∆
∆𝑙
𝐹
=
𝐹𝑙
2
𝐸𝐴
2
∆𝑙
𝑧
𝐵
=
−𝑧
𝐵
𝑙
1
𝐸𝐴
1
+
−𝑧
𝐵
𝑙
2
𝐸𝐴
2
= − (
𝑙
1
𝐸𝐴
1
+
𝑙
2
𝐸𝐴
2
) ∗ 𝑧
𝐵
𝐹𝑙
2
𝐸𝐴
2
− (
𝑙
1
𝐸𝐴
1
+
𝑙
2
𝐸𝐴
2
) 𝑧
𝐵
= ∆ (2)
Объединяя оба уравнения, получим систему, решение которой дает нам 𝑧
𝐴
и
𝑧
𝐵
. Этот этап расчета называется раскрытием статически неопределимой системы.
Дальнейший расчет выполняется так же, как и для статически определимой системы стержня.
Если зазора нет, то ∆= 0. Если стержень длиннее расстояния между опорами ∆< 0.
3) Температурные напряжения.
В статически определимых системах изменение температуры вызывает лишь деформации, так как этим деформациям ничто не препятствует.
В статически неопределимых системах изменение размеров элементов препятствует дополнительной связи. Поэтому изменение температуры статически неопределенной конструкции приводит к изменению напряжений. Температурные напряжения очень опасные, и часто приводят к разрушению конструкции.
Количество неизвестных = 2 {𝑧
𝐴
,
𝑧
𝐵
}
Количество уравнений равновесия = 1 n=2-1=1
∑ 𝑧 = 𝑧
𝐴
− 𝑧
𝐵
= 0 (1)
∆𝑙
𝑡
+ ∆𝑙
𝑧
𝐵
= 0
∆𝑙
𝑡
= 𝛼 ∗ 𝑙 ∗ ∆𝑡°
𝛼 – коэффициент температурного расширения. Устанавливается экспериментально.
Для стали 𝛼 = 12,5 ∗ 10
−6 1 град

∆𝑙
𝑧
𝐵
=
−𝑧
𝐵
𝑙
𝐸𝐴
;
𝛼 ∗ 𝑙 ∗ ∆𝑡 −
−𝑧
𝐵
𝑙
𝐸𝐴
=0 (2)
𝑧
𝐵
= 𝛼 ∗ 𝐸𝐴 ∗ ∆𝑡° ;
𝑁
𝑡
= −𝛼𝐸𝐴∆𝑡°
𝜎
𝑡
=
𝑁
𝑡
𝐴
=
𝛼𝐸𝐴∆𝑡°
𝐴
= −𝛼𝐸∆𝑡°
Температурные напряжения не зависят от длины стержня и площади поперечного сечения.
Увеличение площади поперечного сечения элемента не приводит к уменьшению температурных напряжений.
Для снижения температурных напряжений используются специальные приемы проектирования – компенсация температурных напряжений.
3.1) Способы компенсации температурных напряжений.
В промышленных зданиях большой протяженности устраиваются температурные швы, т.е. здания делятся на отдельные блоки, каждые из которых работают автономно.
В магистральных трубопроводах устанавливаются температурные конденсаторы: П-образные и сальниковые.
Достоинством П-образного конденсатора является его прочность трубопровода. Занимает большую площадь.
Достоинством сальникового конденсатора является компактность, несопротивление прокачки. Недостаток: требует устройства специальных колодцев, плохо воспринимает вибрацию с сейсмическим воздействием.
5) Расчёт статически неопределимого круглого стержня.
Количество неизвестных = 2 {𝑇
𝐴
,
𝑇
𝐵
}
Количество уравнений равновесия = 1 n=2-1=1
∑ 𝑀
𝑧
= 𝑇
𝐴
− 𝑇 + 𝑇
𝐵
= 0 (1)
∆𝜑
𝐹
+ ∆𝜑
𝑇
𝐵
= 0
∆𝜑
𝐹
=
𝑇𝑎
𝐺𝐼
𝑝
∆𝜑
𝑇
𝐵
=
−𝑇
𝐵
(𝑎 + 𝑏)
𝐺𝐼
𝑝
𝑇𝑎
𝐺𝐼
𝑝

𝑇
𝐵
(𝑎+𝑏)
𝐺𝐼
𝑝
= 0 (2)
Объединяя уравнения 1 и 2 получая систему, получим 𝑇
𝐴
и
𝑇
𝐵
6
) Порядок расчета плоских статически неопределимых
стержневых систем с жёстким элементом.
Ограничимся рассмотрением стержневых систем, содержащих абсолютно жесткий диск, прикрепленный к шарнирнонеподвижной опоре.
Особенности:
1)Абсолютно жесткий диск не деформируется, т.е. расстояние между любыми двумя его точками остается неизменным.
2)Перемещение точки диска при его повороте прямо пропорционально от удаленности центра ее поворота.
3)Любая точка диска, не включая точку шарнира (точка С) перемещается по дуге окружности с центром С.
4)Из-за малости перемещения дугу окружности заменяют касательной.
𝛿
𝐴
𝑟
𝐴
=
𝛿
𝐵
𝑟
𝐵
= ⋯ =
𝛿
𝑘
𝑟
𝑘
= 𝑡𝑔𝛼
Количество неизвестных=4 {𝑋
𝐶
, 𝑌
𝐶
, 𝑁
1
, 𝑁
2
}
Количество уравнений равновесия = 3 n=4-3=1
∑ 𝑋 = −𝑋
𝐶
− 𝑁
1
𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑁
2
= 0 (1)
∑ 𝑌 = 𝑌
𝐶
− 𝐹 + 𝑁
1
𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0 (2)
∑ 𝑀
𝐶
= 𝐹 ∗ 𝑎 2
⁄ − 𝑁
1
𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑁
2
𝑏 = 0 (3)
В процессе деформаций жесткий диск может только поворачиваться.
𝑟
𝐴
= 𝑎 𝑟
𝐵
= √𝑎
2
+ 𝑏
2
𝛿
𝐴
𝑟
𝐴
=
𝛿
𝐵
𝑟
𝐵
𝛿
𝐴
𝑎
=
𝛿
𝐵
√𝑎
2
+𝑏
2
∆𝑙
1
= 𝛿
𝐴
𝑠𝑖𝑛𝛼
𝛿
𝐴
=
∆𝑙
1
𝑠𝑖𝑛𝛼
𝛿
𝐵
=
−∆𝑙
2
𝑠𝑖𝑛𝛽
∆𝑙
1
𝑎𝑠𝑖𝑛𝛼
= −
∆𝑙
2
𝑠𝑖𝑛𝛽 ∗ √𝑎
2
+ 𝑏
2
𝑠𝑖𝑛𝛽 =
𝑏
√𝑎
2
+ 𝑏
2
∆𝑙
1
𝑎𝑠𝑖𝑛𝛼
= −
∆𝑙
2
𝑏
𝑁
1
𝑙
1
𝑎𝐸𝐴
1
𝑠𝑖𝑛𝛼
= −
𝑁
2
𝑙
2
𝑏𝐸𝐴
2
(4)
Присоединим дополнительное полученное уравнение к трем уравнениям равновесия. И получим 4 уравнения с четырьмя неизвестными. Решив эту систему, найдем значение всех неизвестных.
Тем самым мы раскроем статическую неопределимость – дальнейший расчет выполняется также как и для статически определимой системы.
7) Способы регулирования напряжений. Понятие
преднапряжений.
При проектировании статически неопределимых систем требуется предварительно задавать жесткости элементов или их отношение.
Поэтому возможны случаи проектирования неэкономичных статически неопределимых конструкций. Такие конструкции могут иметь неоправданно большие запасы прочности.
Для повышения рациональности используется регулирование напряжений (преднапряжения, изменения площадей сечения). За счет этого напряжения в элементах конструкции выравнивается. В идеале напряжения во всех элементах должна быть равна R.
𝜎
𝑘
= 𝑅.
8) Теорема о взаимности работ внешних сил .
Эта теорема впервые была предложена в 1823 г.
Δ11 – перемещение по направлению первой силы от действия этой же силы
Δ21 – перемещение по направлению второй силы от действия первой силы
Δ12 – перемещение по направлению первой силы от действия второй силы
Δ22 – перемещение по направлению второй силы от действия этой же силы
𝐴11 =
𝐹1 ∗ Δ11 2
𝐴22 =
𝐹2 ∗ Δ22 2
𝐴12 = 𝐹1 ∗ Δ12
𝐴Ι = 𝐴11 + 𝐴22 + 𝐴12
𝐴11 =
𝐹1 ∗ Δ11 2
𝐴22 =
𝐹2 ∗ Δ22 2
𝐴21 = 𝐹1 ∗ Δ21
𝐴ΙΙ = 𝐴11 + 𝐴22 + 𝐴21
Работа, совершенная системой сил для физически и геометрически линейных систем не зависит от порядка их приложения, поэтому
ΑΙ = ΑΙΙ
𝐴Ι = 𝐴11 + 𝐴22 + 𝐴12
𝐴ΙΙ = 𝐴11 + 𝐴22 + 𝐴21
А12=А21
9) Теорема о взаимности работ внутренних сил.
В результате нагружения балки силой 𝐹
1
в сечении появился момент 𝑀
1
После загружения балки силой
𝐹
2
появились дополнительные деформации.
𝑑𝑊
12
= 𝑀
1
∗ 𝑑𝜃
2
= 𝑀
1
𝑑𝑧
𝜌
2
= 𝑀
1 1
𝜌
2
𝑑𝑧 = 𝑀
1
𝑀
2
𝐸𝐼
𝑑𝑧
Найдем работу внутренних сил по всей длине балки.
𝑊
12
= ∑ ∫
𝑀
1
𝑀
2
𝐸𝐼
𝑑𝑧
𝑙
0
Пусть вначале прикладывается сила 𝐹
2
, а потом 𝐹
1
. Индекс 1 станет 2, индекс 2 станет 1.
𝑊
21
= ∑ ∫
𝑀
2
𝑀
1
𝐸𝐼
𝑑𝑧
𝑙
0
Так как интегралы равны друг другу, то и работы внутренних сил также будут равны друг другу.
W12=W21
Работа внешних (внутренних) сил первого состояния на перемещение второго состояния равна работе внешних
(внутренних) сил второго состояния на перемещение первого состояния.
10) Теорема о взаимности перемещений.
Пусть силы 𝐹
1
и
𝐹
2
=1.
𝐴
12
= 𝐹
1

12
𝐴
21
= 𝐹
1

21
𝐴
12
= 𝐴
21
𝛿
12
= 𝛿
21
∆→ 𝛿
Перемещение точки приложения первой единичной силы по ее направлению, вызванной действием второй единичной силы равно перемещению точки приложения второй единичной силы по ее направлению, вызванной действием первой единичной силы.
11) Интеграл Мора. Определение перемещений методом Максвелла-Мора.
Рассмотрим балку, загруженную нагрузкой общего вида – сосредоточенными моментами, силами и равномерно распределенными нагрузками. Обозначим это состояние состоянием k.
Рассмотрим эту же балку, загруженную единичной силой 𝐹
1
= 1, приложенной в исследуемой точке. Обозначим такое состояние буквой i.
Пусть требуется определить перемещение исследуемой точки, в которой приложена единичная сила A, B, и C.
Работа внешних сил: 𝐴
𝑘𝑖
= 𝐴
𝑖𝑘
= 𝐹
1
𝑣
𝑐
= 1 ∗ 𝑣
𝑐
= 𝑣
𝑐
Работа внутренних сил: 𝑊
𝑘𝑖
= 𝑊
𝑖𝑘
= ∑ ∫
𝑀
𝑖
𝑀
𝑘
𝐸𝐼
𝑑𝑧
𝑙
0
Учитывая закон сохранения энергии 𝐴
𝑖𝑘
= 𝑊
𝑖𝑘
,
𝐴
𝑘𝑖
= 𝑊
𝑘𝑖
, получим 𝑉
𝑐
= ∑ ∫
𝑀
̅
𝑖
𝑀
𝑘
𝐸𝐼
𝑥
𝑑𝑧
𝑙
0
В общем виде: ∆
𝑀
= ∑ ∫
𝑀
̅
𝑖
𝑀
𝑘
𝐸𝐼
𝑥
𝑑𝑧
𝑙
0
Полученное выражение называется интегралом Мора.

𝑀
– линейное или угловое перемещение, вызванное изгибом балки.
𝑀
̅
𝑖
функция изгибающего момента, вызванная единичной силой (черточка вверху означает, что это от единичной силы)
𝑀
𝑘
– функция изгибающего момента от нагрузки l – длина участка.
Интеграл берется на каждом участке отдельно и суммируется. Аналогично можно записать и для продольных сил:

𝑁
= ∑ ∫
𝑁
̅
𝑖
𝑁
𝑘
𝐸𝐴
𝑑𝑧
𝑙
0
для крутящего момента: ∆
𝑇
= ∑ ∫
𝑇̅
𝑖
𝑇
𝑘
𝐺𝐼
𝑝
𝑑𝑧
𝑙
0
для касательного напряжения: ∆
𝑄
= 𝜇 ∑ ∫
𝑄̅
𝑖
𝑄
𝑘
𝐺𝐴
𝑑𝑧
𝑙
0
𝜇 – коэффициент, зависящий от формы сечения, берется из справочников.
Т.о. можно записать общую формулу:

𝑖𝑘
= ∑ ∫
𝑀
̅
𝑖
𝑀
𝑘
𝐸𝐼
𝑥
𝑑𝑧
𝑙
0
+ ∑ ∫
𝑇̅
𝑖
𝑇
𝑘
𝐺𝐼
𝑝
𝑑𝑧
𝑙
0
+ 𝜇 ∑ ∫
𝑄̅
𝑖
𝑄
𝑘
𝐺𝐴
𝑑𝑧
𝑙
0
+ ∑ ∫
𝑁
̅
𝑖
𝑁
𝑘
𝐸𝐴
𝑑𝑧
𝑙
0
Сечение балки, испытывающее поперечный изгиб, продольные силы и крутящие моменты равны нулю. T=0, N=0.
Влиянием поперечных сил на деформацию балки пренебрегают. Поэтому обычно для балки используется только первый интеграл.
12) Вычисление интеграла Мора способом Верещагина.
Вместо интегрирования интеграла Мора можно воспользоваться графоаналитическим способом, способом перемножения эпюр (способ
Верещагина). Рассмотрим 2 балки: Пусть эпюра изгибающих моментов для первой балки имеет произвольное очертание, а для другой – линейное очертание. Пусть жесткость балки постоянная EI=const.
∑ ∫
𝑀
̅
𝑖
𝑀
𝑘
𝐸𝐼
𝑥
𝑑𝑧
𝑙
0
=
1
𝐸𝐼
𝑥
∫ 𝑀
̅
𝑖
𝑀
𝑘
𝑑𝑧
𝑙
0
𝑑𝜔
𝑘
= 𝑀
𝑘
𝑑𝑧
∫ 𝑀
̅
𝑖
𝑀
𝑘
𝑑𝑧
𝑙
0
= ∫
𝑀
̅
𝑖
𝑧
∗ 𝑧𝑀
𝑘
𝑑𝑧
𝑙
0
=
𝑀
̅
𝑖
𝑧
∫ 𝑧𝑀
𝑘
𝑑𝑧
𝑙
0
=
𝑀
̅
𝑖
𝑧
∫ 𝑧𝑑𝜔
𝑘
=
𝑀
̅
𝑖
𝑧
𝑆
0
𝑙
0
=
𝑀
̅
𝑖
𝑧
𝜔
𝑘
𝑧
𝑐
=
𝑀
̅
𝑖
𝑐
𝑧
𝑐
𝜔
𝑘
𝑧
𝑐
= 𝑀
̅
𝑖
𝑐
𝜔
𝑘

𝑀
̅
𝑖
𝑀
𝑘
𝐸𝐼
𝑥
𝑑𝑧 =
𝑀
̅
𝑖
𝑐
𝜔
𝑘
𝐸𝐼
𝑥
𝑙
0
Интеграл Мора равен произведению площади эпюры 𝑀
𝑘
любого очертания на ординату прямолинейной эпюры 𝑀
̅
𝑖
, расположенную под центром тяжести эпюры 𝑀
𝑘
и деленному на жесткость балки E
𝐼
𝑥
. Интеграл (его значение) считается положительным, если обе эпюры изгибающих моментов раположены по одну сторону от оси балки.
Положительное значение интеграла означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента).
13) Способ разложения эпюр на простые эпюры треугольной и параболической
формы.
При загружении балки сосредоточенными силами, моментами и равномерно распределенными нагрузками любую эпюру изгибающих моментов всегда можно представить как сумму эпюр треугольного и параболического очертания.
𝜔 = 1/2𝑏ℎ
Квадратная парабола правильного очертания:
𝜔
𝑘
= 2/3 (
𝑞𝑠
2 8
) 𝑠
Возможные варианты разложения эпюр:
1)Обыкновенная или нормальная эпюра в виде трапеции
2)Перекрученная трапеция
3)Парабола
4)Перекрученная параболическая трапеция
14) Понятие о неразрезных балках. Кинематический и
статический анализ.
При плоской задаче балка, способная воспринимать произвольную нагрузку, должна быть прикреплена к опоре не менее, чем тремя связями. Эти связи называются безусловно необходимыми. Все остальные связи являются
«лишними». Если связей недостаточно (т.е. меньше 3), то система (балка) становится кинематически изменяемой и в качестве строительных конструкций непригодна.
Если число связей больше, чем требуется из условия кинематической неизменяемости, то балка является статически неопределимой.
Количество лишних связей означает степень статической неопределимости.
Бывают случаи, когда число связей больше, чем степеней свободы, но система все равно кинематически изменяема.
15) Понятия об эквивалентной системе метода сил.
Основная система строиться путем отбрасывания (перерезания) всех лишних связей. При этом основная система должна быть статически определимой и кинематически неизменяемой. Для любой неразрезной
(статически неопределимой )балки можно построить бесконечное множество основных систем . Какие –то варианты основных систем могут быть более «выгодными» и «не выгодными» по объему вычисления .
Примеры:
Для получения эквивалентной системы по отношению к исходной, требуется к основной системе приложить неизвестные силы в перерезанных(отброшенных) связях, а затем поставить условие , чтобы сумма деформаций от нагрузки и неизвестных по направлению перерезанных связей была равна 0.
Используя принцип независимости действия сил выразим перемещение ∆
1
и ∆
2
как сумму

1
= ∆
1𝑥
1
+ ∆
1𝑥
2
+ ∆
1𝐹

2
= ∆
2𝑥
1
+ ∆
2𝑥
2
+ ∆
2𝐹
Для того, чтобы О.С сделать эквивалентной, необходимо поставить условие ∆
1
= 0 и ∆
2
= 0

1𝑥
-перемещение(угол поворота) по направлению первой перерезанной связи от неизвестной силы(момента)в первой перерезанной связи

2𝑥
-перемещение по направлению второй перерезанной связи от неизвестного во второй перерезанной связи

1𝐹
-перемещение по направлению первой перерезанной связи от нагрузки
16) Вывод канонических уравнений метода сил.

1𝑥1
= 𝛿
11
𝑥
1

2𝑥1
= 𝛿
21
𝑥
1

1𝑥2
= 𝛿
12
𝑥
2

2𝑥2
= 𝛿
22
𝑥
2
{

1
= 𝛿
11
𝑥
1
+ 𝛿
12
𝑥
2
+ ∆
1𝐹

2
= 𝛿
21
𝑥
1
+ 𝛿
22
𝑥
2
+ ∆
2𝐹
𝛿
11
𝑥
1
+ 𝛿
12
𝑥
2
+ ⋯ 𝛿
1𝑛
𝑥
𝑛
+ ∆
1𝐹
= 0
𝛿
21
𝑥
1
+ 𝛿
22
𝑥
2
+ ⋯ 𝛿
2𝑛
𝑥
𝑛
+ ∆
2𝐹
= 0
………………………………………………
𝛿
𝑛1
𝑥
1
+ 𝛿
𝑛2
𝑥
2
+ ⋯ 𝛿
𝑛𝑛
𝑥
𝑛
+ ∆
𝑛𝐹
= 0
n – количество неизвестных (степень статической неопределимости)
Получится система, называемая системой канонических уравнений.
Каждое каноническое уравнение выражает следующее:
Сумма перемещений основной системы по направлению соответств. перерезанной связи от всех неизвестных и нагрузки =0.
Т.е. каждое каноническое уравнение – это уравнение совместимости деформаций.
Количество канонических уравнений всегда совпадает со степенью статической неопределимости системы.
Коэффициент и свободные члены канонич. уравнений обычно вычисляются по методу Максвелла-Мора (способом Верещагина).
Хотя не исключается и применение других методов.
Решив систему канонич. уравнений получаем значение неизвестных, т.е. раскроем статическую неопределимость.
Затем к основной системе прикладывается нагрузка и находятся неизвестные и строятся эпюры Q и N как для статически определимой балки. Эти эпюры обычно называются окончательными.
17) Определение перемещений статически неопределимых балок
методом Максвелла-Мора
Необходимо:
- раскрыть статическую неопределимость.
- приложить к основной системе нагрузку и найденные неизвестные.
- построить окончательную эпюру изгибающих моментов.
- приложить к основной системе единичную силу в той точке, где требуется определить прогиб или единичный момент, где требуется определить угол поворота.
- построить единичную эпюру момента, т.е. эпюру моментов от этой единичной силы (момента).
- перемножить окончательную и единичную эпюры изгибающих моментов, и результат разделить на жесткость балки.
Если получился прогиб (угол поворота) положительный, то это значит, что они совпадают по направлению с единичной силой (единичным моментом).
Если значение отрицательное, то они направлены против направления единичной силы или моментов.
𝑉
𝐵
= ∫
𝑀
1
̅̅̅̅𝑀
𝐹
𝐸𝐼
𝑑𝑧 =
𝑀
1
̅̅̅̅×𝑀
𝐹
𝐸𝐼
+
1 2
𝐹𝑙∗𝑙∗
2 3
𝑙
𝐸𝐼
=
𝑙
0
𝐹𝑙
3 3𝐸𝐼
→ прогиб
𝑉
𝐵
= ∫
𝑀
1
̅̅̅̅𝑀
𝐹
𝐸𝐼
𝑑𝑧 =
𝑀
1
̅̅̅̅×𝑀
𝐹
𝐸𝐼
= −
𝑀𝑙∗
1 2
𝑙
𝐸𝐼
=
𝑙
0

𝑀𝑙
2 2𝐸𝐼
  1   2   3   4

перейти в каталог файлов


связь с админом