Устойчивость стержня Морозов. 40 удк устойчивость стержня при длительном осевом сжатии 2015 г

не меняется, а при отражении от свободного конца знак меняется на противоположный. Поперечные деформации и колебания. Решения Эйлера
и Лаврентьева
????? Ишлинского
Малые поперечные колебания сжатого шарнирно опертого стержня по модели
Бернулли
?
Эйлера описываются уравнением 1
)
,
(
2 2
2 2
2 4
4 где
r
? радиус инерции поперечного сечения стержня
(r
2
= J/S, J
? момент инерции).
Статическая задача бифуркации равновесия первоначально сжатого постоянной силой
(
?(x,
t) =
?
0
=
const
)
стержня с закрепленными концами (при условии (была решена Л. Эйлером [6]. Форме потери устойчивости с
m
полуволнами
w(x) =
= w
0
sin
(m
?x/L)
соответствует деформация сжатия При
m = 1
получаем классическую эйлерову критическую нагрузку
?
cr
= При достаточно большом значении начальной деформации сжатия
?
0
возможна одновременная потеря устойчивости по нескольким первым формам, точнее, при т, где через
[z]
обозначена целая часть числа В работе [7] авторы обратили внимание на то, что при
m
0
> 1
скорость роста амплитуды при потере устойчивости максимальна для одной из старших форм потери устойчивости
2
/
)
(
0
m
m
?
Действительно, при
?(x,
t) =
?
0
=
const,
m
? решение уравнения (7) имеет вид 4
2 2
2 0
0
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
? При этих
m
будем характеризовать интенсивность роста амплитуды й формы потери устойчивости параметром
?
m
. На рис. 3 для
? = 0,002
показаны графики функций
?
m
(
?
0
)
для
m = 1, 2, ..., С ростом деформации сжатия
?
0
растет как максимальная интенсивность роста амплитуды, таки номер соответствующей формы.
Рис. 3
?
m
1 0 2 5 7
?
0
?10 3
m
=
5
m
=
6
m
=
7
m
=
8
m
=
1
m
=
2
m
=
3
m
=
4

Сказанное здесь справедливо лишь при малых прогибах. Обсудим дальнейшее изменение формы стержня. Эластики Эйлера. Эволюция формы стержня с ростом времени
Равновесные формы, которые после потери устойчивости принимает стержень,
сжатый продольными силами, были найдены Эйлером. В предположении о нерас- тяжимости стержня эти формы удовлетворяют краевой задаче 2
2
L
s
ds
dy
ds
dx
Py
ds
d
EJ
?
?
?
=
?
=
=
+
?
(10)
0
,
0
)
(
)
(
)
0
(
0 Здесь
s
? длина дуги на оси стержня,
x(s)
,
y(s)
,
?(s)
? декартовы координаты точки на оси стержня и угол наклона оси,
E
? модуль Юнга,
J
? момент инерции сечения.
Введем безразмерные переменные (со звездочкой Опуская звездочки, перепишем уравнения (10):
0
,
sin
,
cos
,
0 При
p
? 1
система (12) имеет только нулевое решение. Устойчивые ненулевые решения (эластики Эйлера) для ряда значений
p > 1
показаны на рис. 4 при
p
1
=
= 1,02
;
p
2
= 1,1
;
p
3
= 1,5
;
p
4
= 2,184
;
p
5
= 3
;
p
6
= 10)
. С ростом
p
подвижный конец стержня приближается к неподвижному концу, а при
p = p
4
= 2,184
совпадает с ним. При
p > p
4
образуется петля.
Возможны и другие эластики Эйлера, например вида
y (s) = y
0
sin
ms
,
m > 1 при. Однако они неустойчивы, ибо необходимым условием устойчивости является отсутствие точек перегиба у кривой Рассмотрим теперь нелинейную динамическую задачу для растяжимого стержня и для ее приближенного решения используем дискретную аппроксимацию. Стержень заменяем системой из
n + 1
материальных точек с равными массами В недеформированном состоянии расстояния между соседними точками равны = L/n
. Точки расположены водной плоскости и имеют декартовы координаты,
y
i
(t)
,
i = 1, 2, …, n + 1
. Кинетическая и потенциальная энергии системы аппроксимируются выражениями
Рис. 4
?3 ?2 ?1 0 1 2 x
1
1
2
3
4
5
6
y

45
,
2 1
2 1
),
(
2 1
2 2
1 2
2 где tg
,
,
)
(
)
(
,
1 1
1 1
2 1
2 Здесь
?
i
? деформации растяжения,
r
i
? расстояния между соседними точками, углы наклона отрезков, соединяющих соседние точки. Константы
C
,
D
,
M
связаны с параметрами однородного сплошного стержня соотношениями
C = ESL
0
,
D =
= EJ/L
0
,
M = Варьирование функционала Гамильтона
dt
T
t
t
)
(
2 1
?
?
?
по
x
i
,
y
i
приводит к уравнениям движения cos
1 1
2 1
1 1
1 0
1
?
?
?
?
?
+
?
?
+
=
t
y
x
r
D
L
C
P
x
M
&
&&
,
)
(
sin
)
(
sin
)
cos cos
(
1 1
1 1
1 1
0
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
r
r
D
L
C
x
M
&
&&
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
=
?
?
?
+
?
?
(15)
,
)
(
cos
)
(
cos
)
sin sin
(
1 1
1 1
1 Уравнения (15) описывают движение системы с
2n
? 1
степенями свободы. В
них дополнительно введены слагаемые, учитывающие силы сопротивления, пропорциональные скорости точек.
Рассмотрим начальные условия (вариант 1 на рис. 1), соответствующие постановке Лаврентьева
?
Ишлинского, при которой стержень равномерно сжат силой = ES
?
0
и неподвижен 2
0 где
?
0
? начальная деформация сжатия. Для возбуждения поперечных колебаний примем
y
2
(0) =
?
. Остальные начальные условия нулевые.
Возьмем
n = 40
,
EJ/ES = 0,001
,
L =
?
,
M = 1
,
? = 0,1
,
? = 0,01
и рассмотрим три значения сжимающей силы
p
1
= 1,5
;
p
2
= 10
;
p
3
= На рис. 5(1
?3) в последовательные моменты времени представлены результаты численного интегрирования системы (15). При
p
1
= 1,5
возможна потеря устойчивости только по первой форме
(m = 1)
. Амплитуда растет ив пределе совпадает с эластикой Эйлера 3 на рис. 4. При
p
2
= 10
возможна потеря устойчивости потрем первым формам
(m = 1, 2, 3)
, коэффициенты роста
?
1
= 3
,
?
2
= 4,9
,
?
3
= 3
. Виден преимущественный рост прогиба по форме
m = 2
. Точно также при
p
3
= 20
возможна потеря устойчивости по четырем формам при
?
1
= 4,36
,
?
2
= 8
,
?
3
= 9,95
,
?
4
= и наблюдается рост амплитуды при
m = 3
. При дальнейшем росте времени в случаях и
p
3
= 20
происходит искажение картины деформирования. Подвижная точка приближается к неподвижной, а затем проходит ее с образованием петли
(см. рис. 4).

Рассмотрим другой вариант граничных условий (вариант 3 на рис. 1), при котором в начальный момент времени стержень сжат в соответствии с условиями (однако и подвижная точка остается неподвижной система имеет
2n
? 2
степеней свободы, первое уравнение (15) отбрасывается. Результаты расчетов в этом случае при
p
3
= 20
представлены на рис. 5(4). Сначала, как и на рис. 5(1
?3), происходит потеря устойчивости по третьей форме, а затем наблюдается переход во вторую ив первую форму. Окончательно балка принимает форму устойчивой арки. Заметим,
что в конечном положении усилие сжатия уменьшилось враз по сравнению с начальным значением.
Заключение
Исследована динамическая потеря устойчивости тонкого стержня при постоянно действующей продольной нагрузке. Если приложена статическая нагрузка,
существенно превышающая критическую эйлерову нагрузку, тона начальном этапе движения наибольшую скорость роста амплитуды имеет одна из старших форм потери устойчивости. Этот результат получается при линейной постановке задачи.
С ростом поперечного прогиба следует обратиться к геометрически нелинейной постановке. Стечением времени форма упругой линии переходит в одну из эластик
Эйлера. При этом конечная форма линии существенно зависит от способа нагружения Рис. 5
y
0,5
y
y
0,5 0,4
?0,4
p = 10
p = 20
p = 20

48
possible equilibrium forms are found (Euler's elastics). In the work by M.A. Lavrent'ev and A.Yu.
Ishlinsky, taking into account the transverse inertial forces, it is examined the case of load, sufficiently exceeding the Euler one. It is established that the one of the forms with the large number of waves has the maximum rate of growth. In this paper basing by the nonlinear dynamic model it is shown that at the initial moments of loading the form predicted by M.A. Lavrent'ev and A.Yu. Ishlinsky appears, and then it passes into the steady Euler's elastic. In this case the final form depends on the method of the rod ends support.
Keywords: rod, dynamic stability, longitudinal waves, lateral vibrations, parametric resonance,
beating, Euler's elastics.