Главная страница
Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей
qrcode

Доступная 3D печать для науки, образования и ус... Александр Кузнецов


Скачать 11.65 Mb.
НазваниеАлександр Кузнецов
АнкорДоступная 3D печать для науки, образования и ус.
Дата06.10.2017
Размер11.65 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаDostupnaya_3D_pechat_dlya_nauki_obrazovania_i_us.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипДокументы
#26964
страница9 из 15
КаталогОбразовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей
Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   15
Реализация математики в жизнь
Чтобы проиллюстрировать визуализацию, используя 3D принтеры, сфокусируемся на математических моделях, созданных при помощи систем компьютерной алгебры . В отличие от средств 3D моделирования, у математических приложений есть преимущество – исходный код краток, и программы, использованные для иллюстрирования математики в исследованиях или в классе, могут быть повторно использованы. Многие примеры, данные здесь, были разработаны для классов или проектов и перерисованы так, чтобы они могли быть распечатаны. В отличие от
«средств моделирования», приложений, которые создают большой список треугольников, системы компьютерной алгебры описывают и выводят на экран трехмерные объекты математически. Хотя мы также экспериментировали с другими приложениями, такими как «123D
Design» от Autodesk, «Sketchup» от Trimble, средство моделирования «Free CAD», «Blender» или
«Rhinoceros» от McNeel Accociates, в основном, мы работали с системами компьютерной алгебры и, в частности, с Mathematica
35 36 37 38 39
. Для объяснения на конкретном примере давайте рассмотрим теорему Ньютона по «числу касаний» сферы, где говорится, что число
соприкасающихся сфер в трехмерном пространстве равняется 12. Теорема гласит, что максимальное число сфер, которые могут быть размещены вокруг данной сферы, равняется двенадцати, если все сферы имеют такие же радиусы, касаются центральной сферы и не перекрываются.
В то время, как современник Ньютона Грегори думал, что можно поместить тринадцатую сферу, Ньютон считал что число касаний лишь 12. Теорема была доказана только в 1953 году
40
Для доказательства этой теоремы, возьмите икосаэдр с длиной стороны 2 и поместите единичные сферы на каждую из 12 вершин и они соприкоснутся с единичной сферой, помещенной в центре. Доказательство невозможности поместить 13 сфер
41
использует элементарный расчет
42
для площади сферического треугольника, Эйлерову формулу многогранника, дискретную теорему Гаусса-Бонне, утверждающую, что сумма кривизны равна
2, и немного комбинаторики для проверки всех вариантов многогранника, подходящих под ограничения. Для визуализации использовалась Mathematica, мы изобразили 12 сфер, касающихся центральной сферы. Хотя объект состоит только из 13 сфер, весь массив сделан из
8640 треугольников. Код Mathematica очень короткий, так как нам нужно вычислить только координаты вершин икосаэдра, сгенерировать объект и экспортировать в файл STL. Отобразив на экране исходный код, мы показали визуализацию, такую же как устное доказательство. Если код ввести в компьютер, тот сгенерирует печатаемый файл STL.

96
Анализ жизнеспособности
Физические модели важны для практического активного изучения. Возникло хранилище печатаемых для образования 3D моделей
26
. Технология 3D печати использовалась для образования K-12 в проектах STEM
28
и начального математического образования
29
. Есть надежда, что это окажет большое влияние на образование
30
. Новая технология позволяет каждому создавать модели для класса. Но чтобы сделать это более доступным, есть еще много препятствий. Есть и хорошие новости: файлы STL могут быть легко сгенерированы, потому что формат прост и доступен. Файлы STL могут экспортироватся в другие форматы. Mathematica, например, позволяет импортировать и преобразовывать его в другие формы. Программы, такие как «Meshlab», позволяют манипулировать им. Программы заключительных преобразований, как
«admesh», позволяют работать с файлами STL из командной строки. Другие автономные программы, «stl2pov», позволяют преобразовывать его в форму, которая может быть представлена в трассировщике лучей, таком как Povray. Один из важных аспектов заключается в том, что хорошее программное обеспечение для создания объектов не дешево. Использование коммерческой системы компьютерной алгебры такой, как Mathematica, может быть очень дорогостоящим, особенно если требуется корпоративная лицензия. Сейчас нет ни одного бесплатного приложения компьютерной алгебры, которое в состоянии экспортировать STL или
3DS или файлы WRL встроенными модулями. Система компьютерной алгебры SAGE, которая является самой сложной из систем с открытым кодом, имеет возможность экспорта только на экспериментальном уровне
43
. Кажется, что предстоит большая работа, чтобы закончить это.
Тем не менее, доступны множество ресурсов
44 45
. Следующие иллюстрации состоят из графиков Mathematica, которые можно распечатать. Зачастую требуется адаптация, потому что принтер не может распечатать объекты нулевой толщины.

97
Иллюстрации
Цель данной иллюстрации показать, что число соприкасающихся сфер – ≥ 12. Код
Mathematica создавший этот объект, дан в тексте. Он создает файл, содержащий десятки тысяч треугольников, которые 3D принтер поймёт и сможет воплотить в физический объект.
Распечатанный объект визуализирует, что на сфере остается очень мало свободного пространства. Ньютон и его современник Грегори имели разногласия по поводу того, достаточно ли этого места для размещения тринадцатой сферы.
Скручивание Дена в торе и раскрученный тор. Левое и правое изображения показывают два неизоморфных графа, но они имеют те же топологические и изоспектральные свойства для оператора Лапласа, что и для оператора Дирака. Это простейший пример пары неизометрических, но изоспектральных графов Дирака.

98
Все 26 Архимедовых и каталонских твердых частиц, соединенных с «драгоценным камнем» в форме двенадцатигранника Disdyakis. Правильная фигура, демонстрирующая большой ромбовидный двенадцатигранник с 30 точками искривления ⅓ и 12 точками искривления -⅔.
Полное искривление равняется 2 и согласуется с Эйлеровой характеристикой. Это демонстрирует дискретную теорему Гаусса-Бонне
46
Ожерелье Антуана – совокупность Кантора в пространстве, чье дополнение неодносвязно.
Сфера Александра, справа, является топологическими 3 шарами, которые являются односвязными, но у которых есть множество внешних точек, которые неодносвязны. Из сфер
Александра получатся красивые серьги, если их распечатать.

99
Два типа доказательств Архимеда, что объем сферы – 4π/3 47 48 49
. Первое предполагает, что площадь поверхности A известна. Формула V = Ar/3 может быть представлена путем разрезания сферы на множество маленьких четырехгранников объемом dAr/3. При подведении итогов по сфере, мы получаем Ar/3. Второе доказательство сравнивает половину объема сферы с дополнением конуса в цилиндре.
Копыто Архимеда, Архимедов купол (диэдр), пересечение цилиндров – твердые частицы, для которых Архимед мог вычислить объем с помощью сравнительных интеграционных методов
50
. Копыто – также объект, где Архимед должен был использовать предельную сумму, вероятно первую в истории человечества
51

100
Два из 6 регулярных выпуклых четырехмерных многогранников. Цвет – вершина в четырехмерном пространстве. Мы видим 120 ячеек и 600 ячеек.
Другая пара 6 регулярных выпуклых четырехмерных многогранников. Цвет – высота в четырехмерном пространстве. Мы видим 16 ячеек (аналог октаэдра) и 24 ячейки. Позже позволит составлять мозаику четырехмерного Евклидова пространства.

101 5 ячеек – полный граф с 5 вершинами и самый простой четырехмерный полиэдр. 8 ячеек, справа, также вызываются ячейкой. Это – четырехмерный аналог куба.
Архимедовы купола – половина Архимедовых сфер. У них есть объем, равный ⅔ призмы, в которую они вписаны. Это было обнаружено только после Архимедовых шаров, площадь поверхности ⅔ от площади поверхности ограниченной призмы
50

102
Аполлонов конус, названный в честь Аполлона из Перги, использует визуализацию конического сечения. Деревянные модели используются в школах. Правильная фигура демонстрирует образ Хаоса, точка притяжения Лоренца
52
. Как полагают – это фрактал.
Динамика этой совокупности хаотическая для различных параметров.
Лента Мёбиуса была утолщена, чтобы ее можно было напечатать. Правое изображение показывает ленту Мёбиуса с самопересечением. Это пример, где система компьютерной алгебры блистает. Чтобы сделать поверхность более толстой, нам нужно вычислить нормальный вектор в каждой точке поверхности.

103
Теорема девяти точек Фейербаха (слева), реализованная в 3D (прим. пер.: сама теорема гласит – окружность девяти точек касается вписанной и всех вневписанных окружностей треугольника). Правая фигура иллюстрирует теорему Гиппократа, попытка квадратуры круга
(прим. пер.: построение с помощью линейки и циркуля квадрата, равного по площади кругу с радиусом R=1). Треугольник имеет такую же площадь, как «луночки» – серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей.
Слева изображен гекслет Содди. Чтобы построить этот массив, потребуется провести соответствующие преобразования, например, преобразования Мёбиуса. Иллюстрация справа показывает существование бесконечного множества плотных объединений в пространстве. Если существует множество близко расположенных кубов и множество близко расположенных шестиугольников, то эти множества можно объединить.

104
Граф 1/|ζ(x+iy)| показывает нули зета-функции ζ (z) как вершины. Догадка Римана в том, что все эти корни находятся на строке x = ½. Справа изображена Гамма функция, которая расширяет функцию факториала от положительных целых чисел до комплексной плоскости Г (x) = (x – 1)! для положительного x. Эти графы создаются для последующей печати.
Две фигуры из различных областей геометрии. Первое изображение позволяет распечатывать апериодическую черепицу Пенроуза, состоящую из фигур, называемых "дротик" и "воздушный змей". Чтобы создать мозаичное размещение сначала в 2D, мы использовали код из
37
раздел 10.2. Вторая фигура – это третья стадия рекурсивно определенной кривой Пеано, кривая заполнения пространства.

105
Иллюстрация теоремы в многовариантном исчислении, градиент перпендикулярен уровню поверхности. Второе изображение иллюстрирует экспоненциальное отображение в Римановой геометрии, где мы видим волновые фронты в точке положительного искривления и в точке отрицательного искривления. Дифференциальные уравнения сложны, но Mathematica заботится об этом.
Отпечаток треугольника Пенроуза. Фигура была создана Оскаром Рёйтерсвердом и популяризирована Роджером Пенроузом
53
. С помощью Mathematica впервые реализована в
36

106
Отпечаток упрощенной версии лестницы Эшера. Если объект повернуть под правильным углом, то становится видна невозможная лестница. В напечатанном виде объект может демонстрировать геометрию невозможных фигур.
Зонтик Уитни – символ теории катастроф. Это типичная форма каустики волнового фронта, движущегося в пространстве. Слева мы видим, как поверхность была утолщена, что делает фигуру пригодной для печати. Справа, искривления сетки представлены как трубки. Это так же способ сделать объект пригодным для печати.

107
Фигура слева демонстрирует многогранник Штеффена, или "изгибаемая поверхность".
Можно менять его форму, при этом расстояния между точками будут неизменны. Это удивительно, потому что теорема Коши гласит, что такое невозможно для выпуклых тел
54
Изображение справа показывает как построить каустику на поверхности заданной формы.
Первое изображение иллюстрирует падающую палку, отталкивающуюся рикошетом от стола. Мы видим стробоскопический снимок траектории. Второе изображение, иллюстрирует орбиту бильярда на трехмерном бильярдном столе
55

108
Левое изображение показывает два изоспектральных цилиндра, созданные Гордоном-
Веббом. Правое изображение показывает выполненную распечатку графика оператора
Дирака
56
Левое изображение показывает каустику кофейной чашки. Это знак теории катастроф.
Правое изображение показывает минимальную поверхность
Косте, использующую параметризацию, открытую Греем
57

109
Левое изображение демонстрирует граф торуса, правое изображение показывает множество Мандельброта в 3D. Фантастические компьютерные изображения фрактальных пейзажей были получены еще 25 лет назад
58
Левое изображение иллюстрирует спектр матрицы, где элементы беспорядочны, но соотнесены. Элементы даны значениями квазипериодической функции. Мы уже наблюдали экспериментально, что график спектральной функции имеет фрактальную природу в комплексной плоскости. Изображение может быть распечатано. Справа пример decic поверхности, нулевое геометрическое место точек f (x, y, z) = 0 многочлена десятого порядка в трех переменных. Мы показываем область определения f (x, y, z) ≤ 0.

110
Левая фигура изображает геодезический поток на эллипсоиде без осевой симметрии.
Последняя теорема Якоби, все еще нерешенная задача, утверждает, что у всех каустических поверхностей есть 4 точки возврата. Правое изображение показывает некоторую геодезию, начинающуюся в точке поверхности вращения.
Волновой импульс на кубе. Несмотря на простоту установки, волновые импульсы становятся очень сложными. Правая фигура показывает аппроксимацию губки Менджера, фрактал в трехмерном пространстве. Это важно для топологии, потому что это содержит очень компактное метрическое пространство топологической размерности 1.

111
Фигура слева иллюстрирует Эйлеров кирпич. Неизвестно, существует ли кубоид, для которого все длины сторон, все поверхностные и пространственная диагонали – целые числа.
Если все поверхностные диагонали целочисленные, то кубоид зовется Эйлеровым кирпичом.
Если, вдобавок к этому, пространственная диагональ – целое число, то это совершенный
Эйлеров кирпич. Правая фигура показывает, как можно выполнить умножение чисел, используя параболу.
Фигура слева иллюстрирует доказательство теоремы Пифагора
59
. Правая фигура – это доказательство того, что объем пирамиды равен одной трети от площади основания, умноженной на высоту.

112
Слева предмет по теореме Паппа – Гюльдена слева, и представление теоремы Морли которая гласит, что угол трисектрис произвольного треугольника встречаются в равностороннем треугольнике.
Фигура слева показывает фрактал названный «дерево Пифагора». Правое изображение показывает случайное блуждание в трех измерениях. В отличие от одного или двух измерений, случайные блуждания в трех измерениях не возвращаются с вероятностью 1 60

113
Таблицы и фрагменты кода
A)
Революции. Первая таблица объединяет информационную и промышленную революции.
Информационные революции
Промышленные революции
Печатный пресс Гутенберга
1439
Паровой двигатель, сталь и текстиль
1780
Механический вычислитель
1642
Автомобили, Химия
1850
Персональный компьютер, сот. телефон
1973
Персональный компьютер, быстрое прототипирование
1969
По промышленным революциям см.
61
страницу 3, по второй промышленной революции
62
страница 2, по третьей см.
21
страницы 34, 23.
B)
Изменения в сообщении, восприятии и учебных кабинетах. В таблице приведены примеры прорывных открытий в сообщениях и вариантах применения в школах.
Среднее число указывает, сколько лет назад это произошло.
Сообщение
Восприятие
Учебный кабинет
Алфавит
20К
Кость Ишанго
Проекция

Камера обскура
Модели

Греки
Фигуры

Таблички из глины
Очки
730
Салвино
Д’Артмате
Счеты
1.5К
Абак
Модели

Апполон
Микроскоп
420
Янссен
Классная доска

Тарих аль-
Хинд
Книги
560
Гутенберг
Телескоп
400
Кеплер
Компьютерна я алгебра
50
Schoonship
Фото
170
Фотография
Рентген
110
Рентген
Калькулятор
40
Busicom
Фильмы
130
Кинематограф
МРТ
60
Катскан
Powerpoint
30
Presenter
3D печать
30
Стереолитография
3D сканирование
25
Cyberware
3D модели
15
Makerbot
Ранние системы компьютерной алгебры (computer algebra system – CAS) в1960-х были
Mathlab (не путать с MATLAB – прим. ред.), Cayley, Schoonship, Reduce, Axiom and Macsyma
63
. Как студенту, первому автору были предоставлены Macsyma, Cayley (который позже стал Magma) и
Reduce. Мы живем во время, когда начинают размываться границы трех категорий: сотовые телефоны с видео и аудио датчиками, их можно носить как очки и подключать к Паутине. В аудитории учителя уже сегодня фотографируют доклады студентов через сотовый телефон и могут автоматически поставить оценку. Студенты пишут на "умной" бумаге, а программа связывает записанное аудио с написанным текстом. Настанет время, когда студенты смогут распечатать эксперимент по физике и работать с ним.
C)
Исходный код для экспорта в файл STL. Следующие строки Mathematica создают объект с 13 соприкасающимися сферами.

114
D) Формат STL. Приведен верх файла kissing.stl, преобразованного с использованием
«admesh» в читаемый человеком формат ASCII. Весь файл имеет 104'000 строк и содержит 14'640 граней. Строка с «normal» содержит вектор, указывающий ориентацию треугольной грани.
E)
Примеры Mathematica. Вот примеры основных «миниатюрных программ», которые могут использоваться для создания форм:

115 o
E1) Дополнение некоторых «узлов»: o
E2) График области: o
E3) Поверхность Шерк-Коллинз
64
, которая близка к минимальной поверхности: o
E4) Многогранная мозаика: Сейчас команды Mathematica "Транслировать" и "Повернуть" или "Масштабировать" производят STL-файлы, непригодные для печати. Требуется взять части объекта и собрать их вместе. Приведен пример наглядно доказывающий, что возможно заполнить пространство мозаикой из усеченных восьмигранников.
Ссылки
1.
R. Netz. The Shaping of Deduction in Greek Mathematics: A study in Cognitive History.
Cambridge University Press, 1999.
2.
M. Kline. Mathematical thought from ancient to modern times. The Clarendon Press, New York,
2. edition, 1990.

116 3.
E. R. Tufte. Visual Explanations. Graphics Press, Cheshire, 1997.
4.
P. Bender. Noch einmal: Zur Rolle der Anschauung in formalen Beweisen. Studia Leibnitiana,
21(1):98-100, 1989.
5.
M. Levi. The Mathematical Mechanic. Princeton University Press, 2009.
6.
G. Hanna and N. Sidoli. Visualisation and proof: a brief survey of philosophical perspectives.
Math. Education, 39:73-78, 2007.
7.
A. S. Posamentier. Math Wonders, to inspire Teachers and Students. ASCD, 2003.
8.
R. S. Palais. The visualization of mathematics: Towards a mathematical exploratorium. Notices of the AMS, June/July 1999, 1999.
9.
E. Slavkovsky. Feasability study for teaching geometry and other topics using threedimensional printers. Harvard University, 2012. A thesis in the field of mathematics for teaching for the degree of Master of Liberal Arts in Extension Studies.
10.
O. Knill and E. Slavkovsky. Thinking like Archimedes with a 3D printer. https://arxiv.org/abs/1301.5027, 2013.
11.
J. H. Conway and R. K. Guy. The book of numbers. Copernicus, 1996.
12.
C. Goodman-Strauss J. H. Conway, H. Burgiel. The Symmetries of Things. A.K. Peterse, Ltd.,
2008.
13.
Clifford A. Pickover. The Math book, From Pythagoras to the 57th dimension. 250 Milestones in the History of Mathematics. Sterling, New York, 2009.
14.
T. Jackson. An illustrated History of Numbers. Shelter Harbor Press, 2012.
15.
A. Fomenko. Visual Geometry and Topology. Springer-Verlag, Berlin, 1994. From the Russian by
Marianna V. Tsaplina.
16.
M. Berger. A Panoramic View of Riemannian Geometry. Springer Verlag, Berlin, 2003.
17.
K. G. Cooper. Rapid Prototyping Technology, Selection and Application. Marcel Dekker, Inc,
2001.
18.
C. S. Lim C. K. Chua, K. F. Leong. Rapid Prototyping. World Scientific, second edition, 2003.
19.
A. Kamrani and E. A. Nasr. Rapid Prototyping, Theory and Practice. Springer Verlag, 2006.
20.
M.Brain.
How
Stereolithography
3-D layering works. https://computer.howstuffworks.com/stereolith.htm/printable, 2012.
21.
D. Rosen I. Gibson and B. Stucker. Additive Manufacturing Technologies. Springer, 2010.
22.
J. Rifkin. The third industrial revolution. Palgrave Macmillan, 2011.
23.
J. Rifkin. The third industrial revolution: How the internet, green electricity and 3d printing are ushering in a sustainable era of distributed capitalism. World Financial Review, 2012.
24.
Economist. The third industrial revolution. Economist, Apr 21, 2012, 2012.
25.
E. M. Rocha J. M. Borwein and J. F. Rodrigues. Communicating Mathematics in the Digital Era.
A. K. Peters, 2008.
26.
H. Lipson. Printable 3d models for customized hands-on education. Paper presented at Mass
Customization and Personalization (MCPC) 2007, Cambridge, Massachusetts, United States of
America, 2007.

117 27.
J. M. Pearce, C.M. Blair, K. J. Kaciak, R. Andrews, A. Nosrat, and I. Zelenika-Zovko. 3-d printing of open source appropriate technologies for self-directed sustainable development. Journal of
Sustainable Development, 3 (4):17-28, 2010.
28.
G. Lacey. 3d printing brings designs to life. techdirections.com, 70 (2):17-19, 2010.
29.
R. Q. Berry, G. Bull, C. Browning, D. D. Thomas, K. Starkweather, and J. H. Aylor. Preliminary considerations regarding use of digital fabrication to incorporate engineering design principles in elementary mathematics education. Contemporary Issues in Technology and Teacher
Education, 10(2):167-172, 2010.
30.
D. Cliff, C. O'Malley, and J. Taylor. Future issues in socio-technical change for uk education.
Beyond Current Horizons, pages 1-25, 2008. Briefing paper.
31.
G. Bull and J. Groves. The democratization of production. Learning and Leading with
Technology, 37:36-37, 2009.
32.
B. Evans. Practical 3D Printers. Technology in Action. Apress, 2012.
33.
S. Singh. Beginning Google SketchUp for 3D printing. Apress, 2010.
34.
J. F. Kelly and P. Hood-Daniel. Printing in Plastic, build your own 3D printer. Technology in
Action. Apress, 2011.
35.
M. P. Skerritt J. M. Borwein. An Introduction to Modern Mathematical Computing. With
Mathematica. SUMAT. Springer, 2012.
36.
M. Trott. The Mathematica Guide book. Springer Verlag, 2004.
37.
S. Wagon. Mathematica in Action. Springer, third edition edition, 2010.
38.
R. E. Maeder. Computer Science with Mathematica. Cambridge University Press, 2000.
39.
S. Kamin P. Wellin and R. Gaylord. An Introduction to Programming with Mathematica.
Cambridge University Press, 2005.
40.
J. H. Conway and N. J. A. Sloane. Sphere packings, Lattices and Groups, volume 290 of A series of Comprehensive Studies in Mathematics. Springer Verlag, New York, 2.nd edition edition,
1993.
41.
J. Leech. The problem of the thirteen spheres. Math., Gazette, 40:22-23, 1956.
42.
A. Van Oosterom and J. Strackee. The solid angle of a plane triangle. IEEE Trans. Biom. Eng.,
30(2):125-126, 1983.
43.
C. Olah. STL suppport in SAGE. Discussion in Google groups in 2009.
44.
G. Hart. Geometric sculptures by George Hart. https://www.georgehart.com
45.
Makerbot. Thingiverse. https://www.thingiverse.com.
46.
O. Knill. A discrete Gauss-Bonnet type theorem. Elemente der Mathematik, 67:1-17, 2012.
47.
T. L. Heath. A history of Greek Mathematics, Volume II, From Aristarchus to Diophantus. Dover,
New York, 1981.
48.
T. L. Heath. A Manual of Greek Mathematics. Dover, 2003 (republished).
49.
I. Thomas. Selections illustrating the history of Greek Mathematics. Harvard University Press, third edition, 1957.
50.
T. M. Apostol and M. A. Mnatsakanian. A fresh look at the method of Archimedes. American
Math. Monthly, 111:496-508, 2004.
51.
R. Netz and W. Noel. The Archimedes Codex. Da Capo Press, 2007.

118 52.
C. Sparrow. The Lorenz equations: bifurcations, chaos, and strange attractors, volume 41 of
Applied Mathematical Sciences. Springer-Verlag, New York, 1982.
53.
G. Francis. A topological picture book. Springer Verlag, 2007.
54.
M. Aigner and G.M. Ziegler. Proofs from the book. Springer Verlag, Berlin, 2. edition edition,
2010. Chapter 29.
55.
O. Knill. On nonconvex caustics of convex billiards. Elemente der Mathematik, 53:89-106, 1998.
56.
O.Knill. The McKean-Singer Formula in Graph Theory. https://arxiv.org/abs/1301.1408,2012.
57.
A. Gray. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. CRC Press, 2 edition, 1997.
58.
H-O. Peitgen and D. Saupe. The Science of Fractal Images. Springer-Verlag New York Berlin
Heidelberg, 1988.
59.
H. Eves. Great moments in mathematics (I and II). The Dolciani Mathematical Expositions.
Mathematical Association of America, Washington, D.C., 1981.
60.
W. Feller. An introduction to probability theory and its applications. John Wiley and Sons, 1968.
61.
P. Deane. The first industrial revolution. Cambridge University Press, second edition, 1979.
62.
M. Levin, S. Forgan, M. Hessler, R. Hargon, and M. Low. Urban Modernity, Cultural Innovation in the Second Industrial Revolution. MIT Press, 2010.
63.
S. Weinzierl. Computer algebra in particle physics. https://www.arxiv.org/hep-ph/0209234, 2002 64.
B.
Collins.
Sculptures of mathematical surfaces. https://www.cs.berkeley.edu/sequin/SCULPTS/collins.html.
Переводчики: Woolpit, alex_itz

119
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   15

перейти в каталог файлов

Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей

Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей