Главная страница
Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей
qrcode

Акне_Методическое пособие.pdf Методичка по приседаниям.pdf Методичка глоб интерполирование.DOC Аппроксимация функции по методу н. Аппроксимация функции по методу наименьших квадратов


НазваниеАппроксимация функции по методу наименьших квадратов
АнкорАкне Методическое пособие.pdf Методичка по приседаниям.pdf Методичка глоб интерполирование.DOC Аппроксимация функции по методу н
Дата04.12.2017
Размер169 Kb.
Формат файлаdoc
Имя файлаАппроксимация функции по методу наименьших квад...doc
ТипДокументы
#32590
КаталогОбразовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей
Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей

Аппроксимация функции по

методу наименьших квадратов.
Пусть мы изучаем некоторое явление или некоторый процесс и при этом нужно установить между двумя величинами зависимость, например зависимость силы тока I от напряжения U (при заданном сопротивлении), зависимость скорости звука в дистиллированной воде от температуры, зависимость скорости корабля от мощности и т.д. Может случиться, что зависимость между величинами выражается формулой, которая выведена теоретически, например: длина пути, пройденного свободно падающим телом в пустоте , период колебания маятника ( ). В большинстве случаев такой формулы нет, т.е. зависимость между двумя величинами устанавливается только путем измерений.

Предположим, что узловые точки аппроксимирующей функции определены из опыта. Это означает, что значения функции в узловых точках являются приближёнными числами.

Например: исследуется зависимость урожайности культуры от дозы внесённых удобрений. Каждая доза удобрений, вносимая с определённой повторностью на выделенные участки. Затем измеряется урожайность на каждом участке. Т.к. доза удобрений является не единственным фактором, влияющим на урожайность, то ей соответствуют и различные значения урожайности. Для того чтобы устранить влияние посторонних факторов найдём условные средние



Т.о. получим соответствие

xi

x1

x2



xn












Подберём функцию, выраженную формулой достаточно простого вида y=f(x), чтобы значения этой функции были близки к значениям, полученным из опыта. Полученная таким образом формула называется эмпирической формулой. Логично предположить, что наилучшим будет такое расположение линий, при котором суммарное отклонение опытных точек от теоретической кривой будет минимальным.

Для получения эмпирической формулы следует начать с построения точечного графика.

Предположим, что данные таблицы изображаются точечным графиком, показанным на рис 1. Глядя на точечный график, проводят (на глаз) плавную линию, такую, что точки графика близки к ней и располагаются по обе стороны от неё. Не трудно заметить, что получается кривая, напоминает параболу.


Полученная плавная линия и будет графиком функции, приближенно выражающей зависимость между величинами. Если удастся написать уравнение этой линии, то мы получим искомую эмпирическую формулу.

Заметим, что при построении непрерывного графика мы не должны непременно стремиться к тому, чтобы плавная линия проходила через опытные точки. Объясняется это тем, что результаты измерений – приближенные числа, поэтому по своей природе опытные точки должны несколько отклоняться от истинного графика. При этом, так как отклонения имеют случайный характер, они могут быть и в сторону увеличения, и в сторону уменьшения – и выше, и ниже графика.

Рассматривая график, мы должны сделать предположение (выдвинуть гипотезу) о том, каков вид аппроксимирующей функции, графиком которой она является. Для приведенного выше примера можно сказать, что в качестве аппроксимирующей функции выступает класс парабол, общий вид которого: y=ax2+bx+c, зависящих от параметров а, b, с.

Дальнейший процесс состоит в установлении значения параметров, входящих в формулу.

В настоящее время класс функций можно определить с помощью специальных компьютерных программ, осуществляя обычный перебор наиболее подходящих.

Стандартные:


1. y = ах + b – линейная

2. y= ах2 + сх +b – квадратичная

3. y= а0 + a1 х1 +…+ an хn – полином.

4. y=axb – степенная

5. y=aebx – экспоненциальная

6. y= a logd(x) +b–логарифмическая

7. y=aeb/x – кинетическая

8. y=a xn+b

9. –обратнолинейная

10. гиперболическая

11. – обр. логар.

12. – обратно экспон.



Определив по расположению опытных точек вид кривой и описывающую её зависимость, нам остается лишь найти коэффициенты а, b, с. Одним из наиболее применяемых методов для отыскания параметров является метод наименьших квадратов.

Пусть нам известно, что связь между величинами х и у выражается формулой y=f(x ) посредством параметров а, b, с,…. Обозначим результаты измерений , а соответствующие значения у, вычисленные по формуле, . За меру близости одной совокупности чисел к другой возьмём число, равное сумме квадратов уклонений

.




Корень квадратный из этого числа называют квадратическим уклонением совокупности чисел от совокупности чисел или ошибкой аппроксимации. Если квадратическое уклонение мало, то считают что совокупность чисел близка к совокупности чисел ).

Сущность метода наименьших квадратов состоит в следующем: в формуле f(x) параметры а, b, с, …. нужно выбрать так, чтобы сумма квадратов уклонений была наименьшей (или, что то же самое квадратическое уклонение было наименьшее).
Линейное приближение по методу наименьших квадратов.

Пусть мы предполагаем выразить зависимость у от х посредством линейной функции: у = ах + b. Функция f(х), о которой шла речь раньше, есть ах + b, она содержит два параметра: а и b. Вычислим значение этой функции при табличных значениях аргумента, получим:



(2)

Сумма квадратов уклонений будет равна

0

(3)

Данное выражение можно рассмотреть, как некоторую функцию F(a, b), от двух переменных и равную



(4)

Тогда задача формулируется в отыскании параметров а и b, таким образом чтобы значение F было наименьшим, т.е. задача сводится к отысканию экстремума функции двух переменных.

,

(5)




.

(6)

Приравнивая выражения (5) и (6) к нулю и разделив на число наблюдений получим систему уравнений:


,

(7)




где ;

;

;

.

(8)


Из данной системы получаем:




(9)


Квадратичное приближение по методу наименьших квадратов.
Пусть мы предполагаем выразить зависимость у от х посредством квадратичной функции: у = ах2 + bx + c, используя результаты измерений. Требуется найти параметры а, b, с по способу наименьших квадратов. Т.е. определить а, b, с исходя из условия, чтобы сумма квадратов уклонений была наименьшей. Сумма квадратов уклонений будет равна:

Значения а, b, с, удовлетворяющие этому требованию, найдем из системы уравнений:



где ;

;

;

Числа Мхх, Мху, Мх, Му определяется по формулам .

Приближение по методу наименьших квадратов в виде показательной или степенной функции.

Почти всякий класс функций путем обычных замен, т.е. введение новой переменной можно свести к линейной функции, т.е. простым пересчётом узловых значений нахождения параметров функции из заданного класса можно заменить нахождением параметром линейной функции. Для определения параметров искомой функции достаточно сделать обратный переход.

Пусть мы предполагаем выразить зависимость между у и х при помощи показательной функции, у = аеbх, или степенной функции, у = ахb. В любом случае логарифмируем равенство, производим замену переменных. Приближающая функция будет линейной функцией вида .

Применим метод наименьших квадратов к этой линейной функции, найдем а и b. Затем возвратимся к прежним переменным и найдем первоначальные параметры (a и b).

Аппроксимация функции с помощью многочлена по методу наименьших квадратов.

Чаще всего аппроксимация по методу наименьших квадратов осуществляется с помощью многочлена. Как правило этот многочлен имеет степень не выше четвёртой, так как увеличение степени многочлена приводит к нарастанию суммарной ошибки. Пусть класс аппроксимирующих функций это функция F(x, a0, a1, …, an). Возьмём в качестве оптимизирующей функции функцию



Задача свелась к исследованию функции на экстремум.

Для этого находим частные производные функции и приравниваем их к 0.



По аналогии с рассмотренными случаями получим систему уравнений:



где числа Мхх, Мху, Мх, Му и т.д. определяется по аналогичным формулам.
Пример.

В результате экспериментальных исследований получены следующие данные:

xi













yi

-0,8

-1,5

-2,4

-3,5

-4

-5

Строим точки в системе координат:
Видим, что точки располагаются вблизи некоторой прямой, т.е. зависимость между x и y линейная.

Реализуем метод наименьших квадратов:

x

y

x^2

x*y

yp

1

-0,8

1

-0,8

-0,75238

2

-1,5

4

-3

-1,5981

3

-2,4

9

-7,2

-2,44381

4

-3,5

16

-14

-3,28952

5

-4

25

-20

-4,13524

6

-5

36

-30

-4,98095

3,5

-2,86667

15,16667

-12,5

-2,86667




a=

-0,84571

b=

0,093333

Строим график опытных данных и полученной функции:


перейти в каталог файлов

Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей

Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей