Элементарная математика

М.И.Сканави
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию
9
О пользовании книгой
11
Введение
13
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Глава I. Действительные и комплексные числа
18
§ 1. Действительные числа.
Координаты
1. Натуральные числа (18).
2. Простые и составные числа.
Признаки делимости (20).
3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
(22).
4. Целые числа. Рациональные числа (24).
5. Десятичные дроби.
Представление рациональных чисел десятичными дробями
(28).
6. Иррациональные числа.
Действительные числа (31).
7. Действия с приближенными числами (35).
8. Числовая ось. Координаты точки на плоскости (40).
18
Упражнения 45
§ 2. Степени и корни
9. Степени с натуральными показателями (46).
10. Степени с целыми показателями (47).
11. Корни (48).
12. Степени с рациональными показателями. Степени с действительными показателями
(51).
46 13. Алгоритм извлечения квадратного корня (52).
Упражнения 56
§ 3. Комплексные числа
14. Основные понятия и определения (57).
15. Рациональные действия с комплексными числами (59).
16. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Тригонометрическая форма комплексного числа (62).
17. Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.
Формула Муавра (65).
18. Извлечение корня из комплексного числа (66).
57
Упражнения 69
Глава II. Тождественные преобразования
70
§ 1. Рациональные алгебраические выражения
19. Алгебраические выражения.
Одночлены и многочлены (70).
20. Формулы сокращенного умножения (74).
21. Бином Ньютона (75).
22. Разложение многочлена на множители (78).
23. Дробные алгебраические выражения (79).
70
Упражнения 80
§ 2. Иррациональные алгебраические выражения
24. Радикалы из алгебраических выражений (80).
25. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби (84).
80

Упражнения 85
Глава III. Логарифмы 87
§ 1. Логарифмы по произвольному основанию
26. Определение и свойства логарифмов (87).
27. Логарифмы по различным основаниям. Модуль перехода
(92).
87
Упражнения 94
§ 2. Десятичные логарифмы
28. Характеристика и мантисса десятичного логарифма (94).
29. Применение десятичных логарифмов к вычислениям (98).
94
Упражнения
100
Глава IV. Функции и графики
101
§ 1. Общие сведения о функциях
30. Величина. Числовые множества (101).
31. Определение функции (102).
32. График функции. Способы задания функций (104).
33. Элементарное исследование поведения функции (106).
34. Сложная функция (109).
35. Обратная функция (109).
36. Функции нескольких переменных (112).
101
Упражнения
113
§ 2. Элементарные функции
37. Обзор элементарных функций (113).
38. Линейная функция (115).
39. Квадратичная функция
2
ax
y
=
(118).
40. Степенная функция
n
x
y
=
(120).
41. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция с рациональным показателем степени (121).
113 42. Показательная функция (125).
43. Логарифмическая функция
(127).
Упражнения
127
§ 3. Преобразование графиков
44. Параллельный сдвиг графика
(128).
45. График квадратного трехчлена (130).
46. График дробно-линейной функции (133).
47. Преобразование симметрии.
Сжатие и растяжение графика
(134).
48. Построение графиков функций
|
)
(
|
x
f
y
=
, |)
(| x
f
y
=
,
|
|)
(|
|
x
f
y
=
(136).
49. Сложение графиков (140).
128
Упражнения
142
§ 4. Некоторые сведения о рациональных функциях
50. Целые и дробные рациональные функции. Деление многочленов (142).
51. Схема Горнера. Теорема Безу
(145).
52. Нули многочлена.
Разложение многочлена на множители (147).
142
Упражнения
150
Глава V. Уравнения
151
§ 1. Общие сведения об уравнениях
53. Уравнение. Корни уравнения
(151).
54. Равносильные уравнения
(152).
55. Системы уравнений (155).
56. Графическое решение уравнений (157).
151
Упражнения
158
§ 2. Алгебраические уравнения с 158

одной неизвестной
57. Число и кратность корней
(158).
58. Уравнения первой степени
(линейные уравнения) (159).
59. Уравнения второй степени
(квадратные уравнения (160).
60. Формулы Виета. Разложение квадратного трехчлена на множители (164).
61. Исследование квадратного уравнения (165).
62. Уравнения высших степеней.
Целые корни (167).
63. Двучленные уравнения (169).
64. Уравнения, сводящиеся к квадратным (170).
65. Возвратные уравнения (172).
Упражнения
172
§ 3. Системы алгебраических уравнений
66. Линейные системы (173).
67. Определители второго порядка. Исследование линейных систем двух уравнений с двумя неизвестными (176).
68. Системы, состоящие из уравнения второй степени и линейного уравнения (183).
69. Примеры систем двух уравнений второй степени.
Системы уравнений высших степеней (186).
173
Упражнения
190
§ 4. Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения
70. Иррациональные уравнения
(191).
71. Показательные уравнения
(195).
72. Логарифмические уравнения
(197).
191 73. Разные уравнения. Системы уравнений (199).
Упражнения 201
Глава VI. Неравенства 203
§ 1. Числовые и алгебраические неравенства
74. Свойства неравенств.
Действия над неравенствами
(203).
75. Алгебраические неравенства
(208).
203
Упражнения
210
§ 2. Решение неравенств
76. Множество решений неравенства. Равносильные неравенства (211).
77. Графическое решение неравенств (212).
78. Линейные неравенства.
Системы линейных неравенств
(213).
79. Квадратные неравенства
(217).
80. Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие дробные рациональные функции от x
(219).
81. Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства
(222).
82. Неравенства с двумя неизвестными (225).
211
Упражнения 227
Глава VII. Последовательности 228
§ 1. Предел последовательности
83. Числовая последовательность
(228).
84. Предел числовой последовательности (230).
85. Бесконечно малые. Правила предельного перехода (235).
228

§ 2. Арифметическая прогрессия
86. Арифметическая прогрессия.
Формула общего члена (238).
87. Свойства арифметической прогрессии (239).
88. Формула для суммы n членов арифметической прогрессии
(240).
238
Упражнения 241
§ 3. Геометрическая прогрессия
89. Геометрическая прогрессия.
Формула общего члена (242).
90. Свойства геометрической прогрессии (244).
91. Формулы для суммы n членов геометрической прогрессии
(245).
92. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (246).
242
Упражнения 248
Глава VIII. Тригонометрические функции угла (дуги)
249
§ 1. Векторы. Обобщение понятий угла и дуги
93. Вектор, проекция вектора
(249).
94. Положительные углы и дуги, меньшие 360° (251).
95. Углы и дуги, большие 360°
(251).
96 Отрицательные углы.
Сложение и вычитание углов
(252).
249
Упражнения 254
§ 2. Тригонометрические функции произвольного угла
97. Определение основных тригонометрических функций
(254).
98. Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2
π
254
(259).
Упражнения 264
§ 3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла
99. Основные тригонометрические тождества
(264).
100. Вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них (266).
101. Значения тригонометрических функций некоторых углов (267).
264
Упражнения 269
§ 4. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций
102. Четность и нечетность (270).
103. Понятие периодической функции (271).
104. Периодичность тригонометрических функций
(273).
270
Упражнения 276
§ 5. Формулы приведения
105. Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных углов (276).
106. Формулы приведения (278).
276
Упражнения 283
Глава IX. Тригонометрические функции числового аргумента и их графики
284
§ 1. Тригонометрические функции числового аргумента
107. Определение (284).
108. Области определения и области изменения значений тригонометрических функций
(285).
109. Некоторые неравенства и их
284

следствия (285).
Упражнения 287
§ 2. Графики тригонометрических функций
110. Первоначальные сведения о таблицах тригонометрических функций (287).
111. Основные графики (288).
112. Примеры построения графиков некоторых других тригонометрических функций
(293).
113. Дальнейшие примеры построения графиков функций
(295).
287
Упражнения 298
Глава X. Преобразование тригонометрических выражений
299
§ 1. Формулы сложения и вычитания
114. Расстояние между двумя точками на плоскости (299).
115. Косинус суммы и разности двух аргументов (300).
116. Синус суммы и разности двух аргументов (301).
117. Тангенс суммы и разности двух аргументов (302).
118. О формулах сложения для нескольких аргументов (303).
299
Упражнения 303
§ 2. Формулы для двойного и половинного аргумента.
Выражение sin n
α
и cos n
α
через степени sin
α
и cos
α
303 119. Тригонометрические функции двойного аргумента
(303).
120. Выражение sin n
α
и cos n
α
через степени sin
α
и и cos
α
при натуральном числе n (305).
121. Тригонометрические функции половинного аргумента
(306).
122. Выражение основных тригонометрических функций аргумента
α
через tg (
α/2)
(308).
Упражнения 309
§ 3. Преобразование в сумму выражений вида sin
α
cos
β
, cos
α
cos
β
и sin
α
sin
β
123. Основные формулы (310).
124. Примеры (310).
310
Упражнения
311
§ 4. Преобразование в произведение сумм вида sin
α
±sin
β
, cos
α
±cos
β
, tg
α
±tg
β
125. Основные формулы (312).
126. Примеры (313).
312
Упражнения
315
§ 5. Преобразование некоторых выражений в произведения с помощью введения вспомогательного аргумента
127. Преобразование в произведение выражения a sin
α
+b cos
α
(316).
128. Преобразование в произведение выражений a sin
α
+b и a cos
α
+b при
|
|
|
|
0
a
b
≤
≤
(317).
129. Преобразование в произведение выражения a tg
α
+b
(318).
316
Упражнения
318
Глава XI. Обратные тригонометрические функции и их графики
319
§ 1. Функции arcsin x, arccos x, arctg x и arcctg x
130. Функция y=arcsin x
(арксинус) (319).
131. Функция y=arccos x(арккосинус) (321).
319

132. Функция y=arctg x(арктангенс) (322).
133. Функция y=arcctg x
(арккотаргенс) (324).
134. Пример (325).
Упражнения 326
§ 2. Операции над обратными тригонометрическими функциями
136. Тригонометрические операции (327).
136. Операции сложения
(вычитания) (332).
327
Упражнения 335
§ 3. Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями
137. Функция y=arcsin(sin x)
(336).
138. Функция y=arctg(tg x) (337).
336
Упражнения 338
Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
339
§ 1. Уравнения, разрешенные относительно одной из тригонометрических функций
139. Уравнение sin x=а (340).
140. Уравнение cos x=а (341).
141. Уравнение tg x=a (343).
142. Уравнение ctg x=a (343).
143. Некоторые дополнения
(344).
339
Упражнения 345
§ 2. Способ приведения к одной функции одного и того же аргумента
144. Сущность способа (345).
145. Некоторые типы уравнений, приводящихся к уравнениям относительно функции одного аргумента (346).
146. Способ разложения на
345 множители (350).
147. Решение рациональных тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg x/2=t (353).
Упражнения 356
§ 3. Некоторые частные приемы решения тригонометрических уравнений и систем
356 148. Введение вспомогательного аргумента (356).
149. Преобразование произведения в сумму или разность (368).
150. Переход к функциям удвоенного аргумента (359).
151. Решение уравнения типа tg
α
x+tg
β
x=tg
γ
x+tg
δ
x (362).
152. Применение подстановок sinx±cosx=y (364).
153. Системы тригонометрических уравнений
(365).
Упражнения 373
§ 4. Решение тригонометрических неравенств
154. Простейшие тригонометрические неравенства
(374).
155. Примеры тригонометрических неравенств, сводящихся к простейшим (377).
374
Упражнения 378
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Глава XIII. Основные понятия 379
§ 1. Точка, прямая, плоскость.
Фигуры и тела
156. Точка. Прямая. Луч. Отрезок
(379).
157. Плоскость. Фигуры и тела
379

(380).
158. Угол (381).
159. Ломаная линия.
Многоугольник (382).
160. Равенство фигур. Движение
(384).
161. Равенство тел (386).
§ 2. Измерение геометрических величин
162. Сложение отрезков. Длина отрезка (386).
163. Общая мера двух отрезков
(389).
164. Сравнительная длина отрезков и ломаных (390).
165. Измерение углов (391).
166. радианная мера угла (393).
167. Измерение площадей (395).
168. Площадь прямоугольника.
Объем прямоугольного параллелепипеда (397).
386
Упражнения 399
Глава XIV. Перпендикулярные и параллельные прямые. Задачи на построение
400
§ 1. Перпендикулярные и параллельные прямые
169. Перпендикуляр и наклонные
(400).
170. Свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку в его середине (402).
171. Параллельные прямые (402).
172. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей (404).
173. Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами
(405).
400
§ 2. Геометрические места точек.
Окружность
174. Геометрическое место точек
(407).
407 175. Свойство биссектрисы угла
(407).
176. Окружность (408).
177. Взаимное расположение прямой и окружности.
Касательная и секущая (409).
178. Хорда и диаметр. Сектор и сегмент; (411).
179. Взаимное расположение двух окружностей (412).
§ 3. Основные задачи на построение
180. Линейка и циркуль (414).
181. Деление отрезка пополам.
Построение перпендикуляров
(415).
182. Построение углов (416).
183. Другие задачи на построение (418).
414
Упражнения
419
Глава XV. Треугольники, четырехугольники
420
§ 1. Треугольники 184.
Стороны и углы треугольника
(421).
185. Биссектрисы треугольника.
Вписанная окружность (422).
186. Оси симметрии сторон треугольника. Описанная окружность (423).
187. Медианы и высоты треугольника (425).
188. Равенство треугольников
(425).
189. Построение треугольников
(427).
190. Равнобедренные треугольники (430).
191. Прямоугольные треугольники (430).
420
Упражнения 432
§ 2. Параллелограммы
192. Четырехугольники (432).
432

193. Параллелограмм и его свойства (433).
194. Прямоугольник (434).
195. Ромб. Квадрат (435).
Упражнения 436
§ 3. Трапеция
196. Трапеция (436).
197. Средняя линия треугольника
(439).
198. Средняя линия трапеции
(440).
199. Деление отрезка на равные части (441).
436
Упражнения 442
§ 4. Площади треугольников и четырехугольников
200. Площадь параллелограмма
(442).
201. Площадь треугольника
(443).
202. Площадь трапеции (445).
442
Глава XVI. Подобие геометрических фигур
446
§ 1. Пропорциональные отрезки
203. Пропорциональные отрезки
(446).
204. Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника (449).
446
Упражнения 451
§ 2. Подобное преобразование фигур (гомотетия)
205. Определение гомотетичных фигур (451).
206. Свойства преобразования подобия (453).
451
§ 3. Общее подобное соответствие фигур
207. Подобные фигуры (456).
208. Периметры и площади подобных треугольников (459).
209. Применение подобия к решению задач на построение
456
(460).
Упражнения 461
Глава XVII. Метрические соотношения в треугольнике и круге
462
§ 1. Углы и пропорциональные отрезки в круге
210. Углы с вершиной на окружности (462).
211. Углы с вершиной внутри и вне круга (463).
212. Угол, под которым виден данный отрезок (464).
213. Четырехугольники, вписанные В окружность (466).
214. Пропорциональные отрезки в круге (467).
215. Задачи на построение (468).
462
Упражнения 470
§ 2. Метрические соотношения в треугольнике
216. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
Теорема Пифагора (470).
217. Квадрат стороны, лежащей против острого или тупого угла в треугольнике. Теорема косинусов
(473).
218. Теорема синусов. Формула
Герона (476).
219. Радиусы вписанной и описанной окружностей (478).
470
Упражнения 480
§ 3. Решение треугольников
220. Таблицы функций (481).
221. Решение треугольников.
Сводка основных - формул (487).
222. Решение прямоугольных треугольников (489).
223. Решение косоугольных треугольников (490).
481
Упражнения 498
Глава XVIII. Правильные
499

многоугольники. Длина окружности и площадь круга
§ 1. Правильные многоугольники 499 224. Выпуклые многоугольники
(499).
225. Правильные многоугольники (501).
226. Соотношения между стороной, радиусом и апофемой
(502).
227. Периметр и площадь правильного n-угольника (503).
228. Удвоение числа сторон правильного многоугольника
(504).
Упражнения 507
§ 2. Длина окружности. Площадь круга и его частей
229 Длина окружности (507).
230. Площадь круга и его частей
(510).
507
Упражнения
513
Глава XIX. Прямые и плоскости в пространстве
514
§ 1. Взаимное расположение прямых и плоскостей
231. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
(514).
232. Взаимное расположение прямой линии и плоскости (515).
233. Взаимное расположение двух плоскостей (518).
234. Свойства параллельных прямых и плоскостей (518).
235. Построения в стереометрии
(520).
514
§ 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей
236. Перпендикуляр к плоскости
(521).
237. Перпендикуляр и наклонные
(523).
521 238. Угол между прямой и плоскостью (524).
239. Связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых и плоскостей (525).
240. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых (526).
Упражнения 528
§ 3. Двугранные и многогранные углы
241. Двугранный угол (528).
242. Взаимно перпендикулярные плоскости (529).
243. Трехгранные углы (530).
244. Многогранные углы (534).
528
§ 4. Многогранники
245. Многогранники (535).
246. Правильные многогранники
(536).
535
Упражнения 538
Глава XX. Многогранники и круглые тела
539
§ 1. Призма. Параллелепипед.
Цилиндр
247. Цилиндры и призмы (539).
248. Параллелепипеды (542).
249. Объемы призм и цилиндров
(543).
250. Площадь боковой поверхности призмы (544).
251. Площадь поверхности цилиндра (545).
539
Упражнения 547
§ 2. Пирамида. Конус
252. Свойства пирамиды и конуса (547).
253. Объем пирамиды и конуса
(551).
254. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды и конуса (554).
255. Усеченный конус и
547

усеченная пирамида (556).
Упражнения 559
§ 3. Шаровая поверхность. Шар
256. Шар и шаровая поверхность
(559).
257. Объем шара и его частей
(562).
258. Площадь поверхности шара и ее частей (566).
559 259. Понятие телесного угла
(568).
Упражнения 569
Ответы к упражнениям 570
Приложения 581
Предметный указатель 583
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная величина вектора 249
— — действительного числа 34
— — комплексного числа 60
Абсцисса 42
Аксиома 13
— о параллельных прямых 403
Алгебраическое выражение 70
— — дробное 79
— — иррациональное 79
— — рациональное 70
— — целое рациональное 70
Алгоритм Евклида 27, 389
— извлечения квадратного корня 53
Аналитическое выражение 104
Апофема правильного многоугольника 502
— правильной пирамиды 554
Аргумент комплексного числа 64
— — —, главное значение 64
— функции 102
Арифметическая прогрессия 238
— —, разность 238
— —, сумма я членов 240
— —, формула общего члена 239
Арккосинус 321
Арккотангенс 324
Арксинус 319
Арктангенс 323
Асимптота графика функции 108
Асимптоты гиперболы 122
Аффикс точки 62
Бесконечно большая 234
— малая 235
Бином Ньютона 75
— —, треугольник Паскаля 76
Биссекторная плоскость двугранного угла 529
Биссектриса треугольника 422
— угла 407
Вектор 249
—, абсолютная величина 249
—, длина 249
—, направление 249
— нулевой 249
—, проекция на ось 250
—, равенство 249
— свободный 250
Величина 101
— абсолютная 34, 60, 249
— независимая 102
— переменная 101
— постоянная 101
Гексаэдр 536
Геометрическая прогрессия 242
— — бесконечная 242
— — бесконечно убывающая 247
— — — —, сумма 247
— —, знаменатель 242
— — конечная 242
— —, сумма n членов 245
— — убывающая 242
— —, формула общего члена 243
Геометрическое место точек 407
— — —, равноотстоящих от концов отрезка 402

— — —, равноудаленных от сторон угла 407
Гипербола равнобочная 122
— —, асимптоты 122
— —, ветви 123
— —, оси симметрии 123
— —, центр симметрии 123
Гипотенуза 430
Гомотетия 452, 548
График дробно-линейной функции
133
— квадратичной функции 119, 130
— квадратного трехчлена 130
— линейной функции 116
— — —, начальная ордината 117
График линейной функции, угловой коэффициент 116
— логарифмической функции 127
— обратной пропорциональной зависимости 121
— — функции 110
— показательной функции 126
— прямой пропорциональной зависимости 115
— степенной функции 120, 124
— функции 104
— —, преобразование симметрии 136
— —, растяжение 135
— —, сдвиг 128
— —, сжатие 128
Графики косинуса и синуса 291
— котангенса и тангенса 293
— обратных тригонометрических функций 320, 322, 323
—, сложение 139
— функций |f(x)|, f(|x|), |f(|x|)| 136
Графическое решение неравенств 212
— — уравнений 157
Движение 384
Деление многочленов с остатком 142
— натуральных чисел с остатком 23
— отрезка на пропорциональные части 448
— — — равные части 442
— — пополам 415
Делитель общий наибольший 23
— — нескольких чисел 22
— числа 20
Детерминанты второго порядка 177
Диаметр 411
Дискриминант квадратного трехчлена 131
— — уравнения 166
Длина окружности 509
— отрезка 388
Додекаэдр 537
Доказательство от противного 15
Дробная часть числа 26
Дробь алгебраическая 79
— десятичная 28
— — бесконечная непериодическая
32
— — — периодическая 29
— —, обращение в обыкновенную 29
— несократимая 26
—, обращение в десятичную 29
Дуга окружности 394, 411
— —, градусная мера 251, 394
— —, длина 509
— —, радианная мера 259, 394
— —, стягивающая хорда 411
Единица масштаба 40
Единичная окружность 256
Единичный радиус-вектор 256
Задачи на построение 414, 520
— — — основные 414
— — — перпендикуляров 415
— — —, применение подобия 460
— — —, проведение касательных к окружности 469
— — —, сегмент, вмещающий данный угол 465
— — — углов 417
Закон дистрибутивный
(распределительный) 20

— сложения ассоциативный
(сочетательный) 20
— — коммутативный
(переместительный) 19
— умножения ассоциативный
(сочетательный) 20
— — коммутативный
(переместительный) 19
Знак радикала 49
Знаков правило 25
Извлечение квадратного корня из комплексного числа 188
— — — приближенное 52 Икосаэдр
537
Индукция математическая 17
Инструменты геометрические 414
Интервал 102
— бесконечный 102
— замкнутый 102
— знакопостоянства функции 108
— монотонности функции 107
— открытый 102 Интерполяция линейная 483
— обратная линейная 486
—, частная задача 483
Касательная к кривой 410
— — окружности 410
— плоскость к шару 560
Катет 430
Квадрант 42
Квадрат 436
— разности 74
— стороны, лежащей против острого угла 474
— —, — — тупого угла 474
— суммы 74
Квадратный (квадратичный) трехчлен 114
Кольцо целых чисел 25
— числовое 25
Конус 548
— вращения 550
— —, объем 553
— —, площадь боковой поверхности
556
—, объем 553
— прямой круговой 550
— усеченный 556
— —, объем 557
— —, площадь боковой поверхности
558
Координата точки (на оси) 40
Координатная плоскость 41
Координаты декартовы прямоугольные 41
— — —, перенос начала 43
— полярные 44
— —, ось 44
— —, полюс 44
— —, полярный радиус 44
Корень алгебраического уравнения
159
— — — кратный 148, 159
— — — простой 148, 159
— — — рациональный 168
— — — целый 167
— из действительного числа 49
— — комплексного числа 67
— квадратный 49, 53
— кубический 49
— уравнения 151
— — посторонний 154
— функции 106
Корни алгебраического уравнения комплексно-сопряженные 159,
166
— из алгебраических выражений 81
— — — — подобные 82
Косеканс 255
Косинус 255
Котангенс 255
Кратное общее наименьшее 24
— — нескольких чисел 24
— числа 20 Круг 411
—, площадь 511
—, сегмент 411

—, сектор 411
Куб 537
Лемма 13
Линейка 414
Линия 379
Линия кривая 379
— ломаная 382
— прямая 379
— центров 412
Логарифм десятичный 94
— —, мантисса 95
— —, таблицы 94
— —, характеристика 95
— корня 90
—, основание 87
— произведения 89
— степени 90
— частного 90
— числа 86
Логарифмирование 89
— неравенств 92
Логарифмы по различным основаниям 93
— — — —, модуль перехода 93, 99
Ломаная 382
— выпуклая 382
—, длина 390
— замкнутая 382
—, звенья 382
— объемлемая 391
— объемлющая 391
—, стороны 382
Луч 379
Максимума точка 157
Мантисса десятичного логарифма 95
Масштабный отрезок 40
Матрица 177
Медиана треугольника 425
Минимума точка 107
Мнимая единица 57
— часть числа 58
Многогранник 535
—, вершины 535
— выпуклый 535
—, грани 535
— правильный 536
—, ребра 535
Многоугольник 383
—, вершины 383
—, внешние углы 384
—, внутренние углы 373
— выпуклый 383
— —, сумма углов 499
—, подобие 500
— правильный 502
— —, апофема 502
— — вписанная окружность 502
— —, описанная окружность 502
— —, периметр 503
Многоугольник правильный, площадь 504
— —, радиус 502
— —, удвоение числа сторон 505
— —, центр 502
Многочлен (алгебраические выражение) 73
—, умножение 73
—, — на одночлен 73
— (ц. р.ф.) 114
Множество 13
— числовое 101
Модуль вектора 249
— действительного числа 34
— комплексного числа 60
— перехода 93, 99
Наибольший общий делитель (н. о. д.) 23, 27
Наименьшее общее кратное (н. о. к.)
24
Наклонная 401, 523
Натуральный ряд 18
Начало координат 41
Неравенство 203
— алгебраическое 208
— — высшей степени 219
—, возведение в степень 205

—, вычитание 207
—, графическое решение 212
— для модуля суммы 207
— — разности модулей 208
—, знаки 203
— иррациональное 222
— квадратное 217
— линейное 214
— —, система 215
— логарифмическое 224
— между средним арифметическим и средним геометрическим 209
— — x, sin х, tg х 286
—, множество решений 211
—, несимметричность 203
— показательное 223
—, равносильность 211
— рациональное 220
—, решение 211
— с двумя неизвестными 225
—, сложение 206
—, смысл 203
—, транзитивность 203
— тригонометрическое 374
—, умножение 207
Нуль функции 106
Область допустимых значений 71
— изменения величины 101
Область изменения функции 102
— определения (существования) функции 102, 112
Обращение десятичной дроби в обыкновенную 29
— обыкновенной дроби в десятичную 29
Объем измерение 398
— конуса 533
— пирамиды 533
—— призмы 544
— прямоугольного параллелепипеда
398, 543
— тела, принцип Кавальери 543
— усеченного конуса 557
— усеченной пирамиды 557
— шара 563
— шарового сегмента 563
— — сектора 565
— — слоя 564
Одночлен 73
Окрестность точки 102
Округление чисел 37
Окружности, взаимное расположение
413
—, внешнее касание 414
—, внутреннее касание 413
— концентрические 412
—, общие касательные 469
—, пересечение 413
Окружность 408
—, диаметр 411
—, длина 509
—, — дуги 509
— и прямая, взаимное расположение
177
—, касательная 409, 469
—, радиус 408
—, хорда 411
—, центр 408
Октаэдр правильный 537
Определитель второго порядка 177
— — —, главная диагональ 177
— — —, побочная диагональ 177
— — —, элементы 177
Ордината точки 42
Освобождение от иррациональности в знаменателе 84
— — — — числителе 85
Основная теорема алгебры 147
Остаток от деления целых рациональных функций 142
— — — чисел 27
Ось 40
— абсцисс 41
— действительная 62
— координатная 40
— котангенсов 258

Ось мнимая 62
— ординат 41
— полярная 44
— симметрии отрезка 402
— — угла 407
— тангенсов 256
— числовая 40
Отрезки, вычитание 387
— несоизмеримые 389
—, общая мера 389
— пропорциональные 447
—, сложение 387
— соизмеримые 389
Отрезок 379
—, длина 388
—, измерение 387
Парабола 120, 124, 130
—, вершина 120
— кубическая 121
—, ось 120
— полукубическая 124
— четвертой степени 121
Параллелепипед 542
— прямой 542
— прямоугольный 542
— —, диагональ 542
— —, измерения 542
— — объем 398, 543
Параллелограмм 433
—, высота 434
—, диагональ 433
—, основание 434
—, площадь 443
—, сумма квадратов диагоналей 443
Пентаэдр 536
Переменная 101
— независимая 102
—, область изменения 101
Перенос системы координат 43
Период десятичной дроби 29
— функции 271
— — основной 272
Пирамида 548
—, объем 553
— правильная 549
— —, апофема 554
— —, площадь боковой поверхности
555
—, углы при вершине 549
—, — — основании 549
— усеченная 556
— —, объем 557
— —, площадь боковой поверхности
558
Плоскости взаимно перпендикулярные 530
— , взаимное расположение 518
— параллельные 518
Плоскость 380
—, касательная к шару 560
Площадь боковой поверхности конуса 556
— — — правильной пирамиды 555
— — — призмы 545
— — — усеченного конуса 558
— — — усеченной пирамиды 558
— — — цилиндра 546
—, измерение 396
— круга 511
—, основные свойства 396
— параллелограмма 443
— поверхности шара 567
— — шарового пояса 567
— правильного многоугольника 503
— прямоугольника 397
— прямоугольного треугольника 444
— ромба 443
— сегмента круга 513
— сектора круга 512
— трапеции 445
— треугольника 444, 476, 488
Поверхность 380
— коническая 547
— призматическая 539
— сферическая 559
— цилиндрическая 539

— шаровая 559
Погрешность абсолютная 35
— округления 37
— относительная 36
— произведения 39
— суммы 39
Подобие 451, 457
—, коэффициент 452, 457
— многоугольников 500
— треугольников 458
— —, признаки 458
Подобные члены 73
— —, приведение 73
Показатель степени 47
Поле действительных чисел 35
— комплексных чисел 62
— рациональных чисел 26
— числовое 25
Полином (алгебраическое выражение) 73
— (целая рациональная функция) 114
Полукруг 411
Поправка 484
Последовательность 228
— бесконечная 228
Последовательность бесконечно большая 234
— — малая 235
— возрастающая 229
— конечная 228
— монотонная 229
— невозрастающая 229
— немонотонная 229
— неубывающая 229
—, общий член 228
— ограниченная 230
— постоянная 230
—, предел 231
— расходящаяся 233
— сходящаяся 233
Построения геометрические 414, 520
Постулат 13
Потенцирование 91
Предел последовательности 231
— произведения 237
— суммы 236
— частного 238
Преобразование подобия 452
— — второго рода 450
— —, коэффициент 452
— — первого рода 452
— —, центр 452
Преобразования тождественные 72
Приближения десятичные 33
Призма 540
—, высота 541
—, нормальное сечение 540, 545
—, объем 544
—, площадь боковой поверхности
545
— правильная 541
— прямая 541
Признаки делимости 21, 22
Принцип Кавальери 543
Промежуток 102
Пропорциональные отрезки 446
— — в круге 467
— — — прямоугольном треугольнике 470
— —, построение 448
Прямая 379
— и плоскость, взаимное расположение 515
— — —, параллельность 516
— — —, перпендикулярность 522
— пропорциональная зависимость
115
Прямоугольник 434
—, площадь 398
Прямые в пространстве, взаимное расположение 514
— взаимно перпендикулярные 392,
400, 515
— параллельные 402, 515
Прямые скрещивающиеся 514
— —, общий перпендикуляр 526

Равенство тел 386
— треугольников, признаки 425
— фигур 384
Равносильность неравенств 211
— уравнений 152
Радиан 394
Радиус-вектор точки 251
Радиус подвижный 251
— полярный 44
Разложение на множители 78, 149
Разность квадратов 75
— косинусов 312
— кубов 75
— синусов 312
— табличная 482
— тангенсов 313
Расстояние между двумя точками, формула 299
Ромб 435
—, площадь 443
Сегмент круга 411
— —, площадь 512, 513
— —, стрелка 513
Секанс 255
Сектор круга 411
— —, площадь 512
Секущая 410, 467
—, внешняя часть 467
—, теорема о произведении отрезков
467
Синус 255
Синусоида 291
Система линейных уравнений 173
— — —, исследование 178, 181
— — — неопределенная 179
— — — несовместная 178
— — — определенная 178
— — —, решение 174, 175, 178
— — —, — методом подстановки
175
— — —, — с помощью определителей 178
— счисления 18, 19
— тригонометрических уравнений
366
— уравнений 155
— — второй степени 186
— — высших степеней 188
— —, решение 155
— —, состоящая из уравнения второй степени и линейного уравнения 183
Следствие уравнения 152
Соответствие 13
Степень с действительным показателем 52
— — натуральным показателем 46
— — нулевым показателем 47
— — рациональным показателем 51
— — целым отрицательным показателем 47
Стерадиан 569
Сумма косинусов 312
— кубов 75
— синусов, 312
— тангенсов 313
Сфера 559
Схема Горнера 145
Таблицы функций 95, 481, 581
Табличная разность 481
Тангенс 255
Тангенсоида 293
Тело 380
— призматическое 540
— цилиндрическое 541
Теорема 13
— Безу 146
— Вейерштрасса 234
— Виета 164, 165
— косинусов 475
— обратная 15
—, — противоположной 15
— о трех перпендикулярах 523
— Пифагора 471
— противоположная 15
— синусов 477, 533
— Эйлера (о многогранниках) 536

Тетраэдр 536, 549
— правильный 536
Тождественное равенство 71
Тождественные преобразования 72
Точка 379
Трапеция 436
—, боковые стороны 436
—, высота 437
—, основания 436
—, площадь 445
— прямоугольная 437
— равнобочная 437
—, средняя линия 441
Треугольник 420
—, биссектрисы 422, 449
—, — внешних углов 423, 449
—, внешне вписанная окружность
423
—, внешние углы 421
—, вписанная окружность 423
—, высоты 425, 440
Треугольник, задачи на построение
427
—, медианы 425, 459
—, описанная окружность 423
—, оси симметрии сторон 423
—, остроугольный 421
—, площадь 444, 477, 488
— прямоугольный 421, 430
— —, гипотенуза 430
— —, катеты 430
— —, площадь 444
— — равнобедренный 431
— — с острым углом в 30° 431
— равнобедренный 420
— —, боковые стороны 420
— —, основание 420
— равносторонний 420, 430
— равноугольный 422
—, радиус вписанной окружности
479
—, — описанной окружности 479
— разносторонний 420
—, средняя линия 439
—, стороны 420
—, сумма углов 420
— сферический 533
—, точка пересечения биссектрис 423
—, — — высот 425, 440
—, — — медиан 425, 459
— тупоугольный 421
—, углы 420
—, центр тяжести 425
Треугольники, признаки подобия 458
—, — равенства 425
Угловой коэффициент (графика линейной функции) 117
Углы вертикальные 382
— дополнительные 392
—, образованные двумя параллельными и секущей 404
—, односторонние 404
—, накрест лежащие 404
—, смежные 381
—, соответственные 404
— с параллельными сторонами 405,
517
— — перпендикулярными сторонами
406
Угол 381
—, биссектриса 392
— вершина 381
—, градусная мера 393
— двугранный 528
— —, биссекторная плоскость 529
— —, грани 529
— —, мера 529
Угол двугранный, нормальное сечение 529
— —, прямой 529
— —, ребро 529
—, измерение 93
— между прямой и плоскостью 529
— — скрещивающимися прямыми
515
— многогранный 534

— — выпуклый 535
— — правильный 535
— нулевой 481
—, под которым виден отрезок 464
— полный 381
— прямой 392
—, радианная мера 394
— развернутый 381
— с вершиной вне окружности 464
— — — внутри окружности 463
— — — на окружности 462
—, стороны 381
— телесный 569
— трехгранный 531
— —, вершины 531
— —, грани 531
— —, двугранные углы 531, 532
— —, плоские углы 531
— —, ребра 531
— центральный 394
Умножение, законы 20
— многочлена на многочлен 73
— — — одночлен 73
Уравнение 151
— алгебраическое 158
— —, степень 158 -
— биквадратное 171
— возвратное 172
— двучленное 169
— иррациональное 191
— квадратное 160
— —, исследование 165
— — приведенное 161
— —, формула Виета 164
—, корень 151
— линейное 159
— — общее 118
— логарифмическое 197
—, множество решений 151
— показательное 195
—, решение 151
—, система см. Система уравнений
— тригонометрическое 339
Уравнения равносильные 152
— эквивалентные 152
Условие достаточное 14
— необходимое 14
— — и достаточное 14
Утверждения эквивалентные 14
Фигура 380
Фигуры гомотетичные 453
— подобно расположенные 453
— подобные 457
— равновеликие 395
— равносоставленные 395
— равные 384
Формула Герона 477
— Муавра 66
Формулы приведения тригонометрических функций
278, 281
Функции взаимно обратные 110
— обратные тригонометрические 114
— тригонометрические 114, 255
— — числового аргумента 284
— элементарные 113
— — основные 113
Функциональная зависимость 102
Функция 102, 112
—, график 104
—, графическое задание 105
—, дробно линейная 115, 139
—, — рациональная 114, 142
—, задание аналитическим выражением 104
— квадратичная 114, 120, 130
— линейная 114, 115
— логарифмическая 114, 127
— натурального аргумента 229
— невозрастающая 107
— нескольких переменных 112
— неубывающая 107
— нечетная 106
— обратная 110
— показательная 114, 125
— сложная 109

— степенная 113
—, табличное задание 105
—, точка максимума 107
—, — минимума 107
—, — экстремума 108
— целая рациональная (ц. р. ф.) 114,
— четная 106
Характеристика десятичного логарифма 95
Хорда 411
Хорды пересекающиеся, равенство произведений отрезков 468
Целая часть числа 26
Целочисленная переменная 102
Цилиндр 541
— вращения 541
Цилиндр вращения, высота 541
— —, объем 544
— —, площадь боковой поверхности
546
— —, радиус 541
—, объем 544
— прямой 541
— — круговой 541
Циркуль 414
Цифры 18
— верные 37
— значащие 37
— сомнительные 37
Частное от деления целых рациональных функций 142
— — — чисел 27
Четырехугольник 432
—, вписанный в окружность 466
—, диагональ 432
Числа взаимно простые 22
— комплексно-сопряженные 58
— Фибоначчи 229
Число вещественное 34
— действительное 34
— дробное рациональное 25
— иррациональное 33
— комплексное 58
— —, аргумент 63
— —, действительная часть 58
— —, изображение на плоскости 62
— —, мнимая часть 58
— —, модуль 60, 63
Число комплексное, тригонометрическая форма 64
— мнимое 58
— натуральное 18
— нечетное 20
— отрицательное, искусственная форма 31
— приближенное 35
— простое 20
— рациональное 25
— — дробное 25
— составное 20
— целое 24
— четное 20
— чисто мнимое 58
Числовые множества 101
Шаг таблицы 105
Шар 559
—, большие круги 561
—, касательная плоскость 560
—, объем 563
—, площадь поверхности 567
—, радиус 559
—, центр 559
Шаровой пояс 567
— —, площадь поверхности 567
— сегмент 563
— —, объем 563
— —, стрелка 563
— сектор 564
— —, объем 565
— слой 564