И. В. Яковлев | Материалы по математике | MathUs.ru Формулы двойного и половинного угла Формулы двойного угла — это формулы, выражающие тригонометрические функции угла 2α через тригонометрические функции угла α. Все формулы двойного угла выводятся из соответ- ствующих формул сложения. Синус двойного угла Исходим из формулы синуса суммы: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Полагаем в этой формуле β = α: sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α, то есть sin 2α = 2 sin α cos α. (1) Мы получили формулу синуса двойного угла. Косинус двойного угла Исходим из формулы косинуса суммы: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. Полагаем в этой формуле β = α: cos(α + α) = cos α cos α − sin α sin α, то есть cos 2α = cos 2 α − sin 2 α. (2) Это — первая формула косинуса двойного угла. Имеются ещё две. Они получаются из фор- мулы ( 2 ) с помощью основного тригонометрического тождества. Так, согласно основному тригонометрическому тождеству имеем: cos 2 α = 1 − sin 2 α. Под- ставляя это в ( 2 ), получим: cos 2α = 1 − 2 sin 2 α. (3) С другой стороны, имеем также: sin 2 α = 1 − cos 2 α. Подставляем это в ( 2 ): cos 2α = 2 cos 2 α − 1. (4) Как видите, в отличие от синуса двойного угла, где имеется одна-единственная формула, здесь нужно знать три формулы косинуса двойного угла ( 2 )–( 4 ). 1 Тангенс и котангенс двойного угла Берём формулу тангенса суммы: tg(α + β) = tg α + tg β 1 − tg α tg β Полагаем в ней β = α и получаем формулу тангенса двойного угла: tg 2α = 2 tg α 1 − tg 2 α (5) Точно так же из формулы котангенса суммы: ctg(α + β) = ctg α ctg β − 1 ctg α + ctg β получим: ctg 2α = ctg 2 α − 1 2 ctg α Формулы понижения степени Мы переходим к формулам половинного угла, которые связывают тригонометрические функции угла α и тригонометрические функции угла α/2. По сути это те же формулы двойного угла, только записанные несколько иным образом. По формуле ( 3 ) косинуса двойного угла имеем: cos α = cos 2 · α 2 = 1 − 2 sin 2 α 2 , откуда sin 2 α 2 = 1 − cos α 2 (6) А теперь точно так же воспользуемся формулой ( 4 ): cos α = cos 2 · α 2 = 2 cos 2 α 2 − 1, откуда cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 (7) Тождества ( 6 ) и ( 7 ) называются формулами понижения степени. Название понятно: в левой части каждой формулы стоит квадрат тригонометрической функции, а в правой части — первая степень косинуса. Формулы тангенса половинного угла Взяв отношение равенств ( 6 ) и ( 7 ), получим: tg 2 α 2 = 1 − cos α 1 + cos α Данная формула, как видите, выражает квадрат тангенса половинного угла. Имеются также две формулы, выражающие сам тангенс. 2 Первая формула: tg α 2 = 1 − cos α sin α Чтобы доказать это тождество, возьмём его правую часть и путём преобразований выведем из неё левую часть. Используем формулы ( 6 ) и ( 1 ). 1 − cos α sin α = 2 sin 2 α 2 2 sin α 2 cos α 2 = tg α 2 Вторая формула: tg α 2 = sin α 1 + cos α Докажите её самостоятельно, используя формулы ( 1 ) и ( 7 ). Универсальная подстановка Оказывается, любую тригонометрическую функцию угла α можно выразить через тангенс по- ловинного угла α/2. 1. Формула для синуса: sin α = 2 tg α 2 1 + tg 2 α 2 (8) Доказываем «справа налево», умножая числитель и знаменатель дроби на cos 2 α 2 : 2 tg α 2 1 + tg 2 α 2 = 2 · sin α 2 cos α 2 1 + sin 2 α 2 cos 2 α 2 = 2 sin α 2 cos α 2 cos 2 α 2 + sin 2 α 2 = sin α. 2. Формула для косинуса: cos α = 1 − tg 2 α 2 1 + tg 2 α 2 (9) Попробуйте доказать её самостоятельно. Приём тот же: умножаем числитель и знамена- тель на cos 2 α 2 . Но в данном случае вместо формулы синуса двойного угла вам понадобится формула ( 2 ) косинуса двойного угла. 3. Формула для тангенса — это уже известная нам формула ( 5 ): tg α = 2 tg α 2 1 − tg 2 α 2 (10) 4. Формула для котангенса — это «перевёрнутая» формула ( 10 ): ctg α = 1 − tg 2 α 2 2 tg α 2 (11) Формулы ( 8 )–( 11 ) называются универсальной подстановкой. 3 перейти в каталог файлов
|