Главная страница

Формулы двойного и половинного угла


Скачать 133.33 Kb.
НазваниеФормулы двойного и половинного угла
Анкорtrigonometria_formuly_polovinnogougla.pdf
Дата10.03.2018
Размер133.33 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файлаtrigonometria_formuly_polovinnogougla.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипДокументы
#37106
Каталог

С этим файлом связано 42205 файл(ов). Среди них: Geograficheskiy_enciklopedicheskiy_s.pdf, 245-_Atlas_Nach_kurs_geograf_6kl_Dushina_2016_-58s.pdf, Posuda_S_V_Vokhrintseva.pdf, Pedagogicheskiy_proekt_Bezopasnost_detey_v_prirode.pdf, Posuda_Produkty_pitania_Tematicheskiy_slovar_v_kartinkakh.pdf, ДОШКОЛЬНИК Презент к проекту Лето красное-безопасное.pptx.pptx, Червячок и яблоко.docx, Plan_god_vozrastnykh_grupp.pdf, smotrovye-stekla-alco-mia.pdf и ещё 42195 файл(а).
Показать все связанные файлы

И. В. Яковлев
|
Материалы по математике
|
MathUs.ru
Формулы двойного и половинного угла
Формулы двойного угла — это формулы, выражающие тригонометрические функции угла 2α
через тригонометрические функции угла α. Все формулы двойного угла выводятся из соответ- ствующих формул сложения.
Синус двойного угла
Исходим из формулы синуса суммы:
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.
Полагаем в этой формуле β = α:
sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α,
то есть sin 2α = 2 sin α cos α.
(1)
Мы получили формулу синуса двойного угла.
Косинус двойного угла
Исходим из формулы косинуса суммы:
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β.
Полагаем в этой формуле β = α:
cos(α + α) = cos α cos α − sin α sin α,
то есть cos 2α = cos
2
α − sin
2
α.
(2)
Это — первая формула косинуса двойного угла. Имеются ещё две. Они получаются из фор- мулы (
2
) с помощью основного тригонометрического тождества.
Так, согласно основному тригонометрическому тождеству имеем: cos
2
α = 1 − sin
2
α. Под- ставляя это в (
2
), получим:
cos 2α = 1 − 2 sin
2
α.
(3)
С другой стороны, имеем также: sin
2
α = 1 − cos
2
α. Подставляем это в (
2
):
cos 2α = 2 cos
2
α − 1.
(4)
Как видите, в отличие от синуса двойного угла, где имеется одна-единственная формула,
здесь нужно знать три формулы косинуса двойного угла (
2
)–(
4
).
1

Тангенс и котангенс двойного угла
Берём формулу тангенса суммы:
tg(α + β) =
tg α + tg β
1 − tg α tg β
Полагаем в ней β = α и получаем формулу тангенса двойного угла:
tg 2α =
2 tg α
1 − tg
2
α
(5)
Точно так же из формулы котангенса суммы:
ctg(α + β) =
ctg α ctg β − 1
ctg α + ctg β
получим:
ctg 2α =
ctg
2
α − 1 2 ctg α
Формулы понижения степени
Мы переходим к формулам половинного угла, которые связывают тригонометрические функции угла α и тригонометрические функции угла α/2. По сути это те же формулы двойного угла,
только записанные несколько иным образом.
По формуле (
3
) косинуса двойного угла имеем:
cos α = cos 2 ·
α
2
= 1 − 2 sin
2
α
2
,
откуда sin
2
α
2
=
1 − cos α
2
(6)
А теперь точно так же воспользуемся формулой (
4
):
cos α = cos 2 ·
α
2
= 2 cos
2
α
2
− 1,
откуда cos
2
α
2
=
1 + cos α
2
(7)
Тождества (
6
) и (
7
) называются формулами понижения степени. Название понятно: в левой части каждой формулы стоит квадрат тригонометрической функции, а в правой части — первая степень косинуса.
Формулы тангенса половинного угла
Взяв отношение равенств (
6
) и (
7
), получим:
tg
2
α
2
=
1 − cos α
1 + cos α
Данная формула, как видите, выражает квадрат тангенса половинного угла. Имеются также две формулы, выражающие сам тангенс.
2

Первая формула:
tg
α
2
=
1 − cos α
sin α
Чтобы доказать это тождество, возьмём его правую часть и путём преобразований выведем из неё левую часть. Используем формулы (
6
) и (
1
).
1 − cos α
sin α
=
2 sin
2 α
2 2 sin
α
2
cos
α
2
= tg
α
2
Вторая формула:
tg
α
2
=
sin α
1 + cos α
Докажите её самостоятельно, используя формулы (
1
) и (
7
).
Универсальная подстановка
Оказывается, любую тригонометрическую функцию угла α можно выразить через тангенс по- ловинного угла α/2.
1. Формула для синуса:
sin α =
2 tg
α
2 1 + tg
2 α
2
(8)
Доказываем «справа налево», умножая числитель и знаменатель дроби на cos
2 α
2
:
2 tg
α
2 1 + tg
2 α
2
=
2 ·
sin
α
2
cos
α
2 1 +
sin
2 α
2
cos
2 α
2
=
2 sin
α
2
cos
α
2
cos
2 α
2
+ sin
2 α
2
= sin α.
2. Формула для косинуса:
cos α =
1 − tg
2 α
2 1 + tg
2 α
2
(9)
Попробуйте доказать её самостоятельно. Приём тот же: умножаем числитель и знамена- тель на cos
2 α
2
. Но в данном случае вместо формулы синуса двойного угла вам понадобится формула (
2
) косинуса двойного угла.
3. Формула для тангенса — это уже известная нам формула (
5
):
tg α =
2 tg
α
2 1 − tg
2 α
2
(10)
4. Формула для котангенса — это «перевёрнутая» формула (
10
):
ctg α =
1 − tg
2 α
2 2 tg
α
2
(11)
Формулы (
8
)–(
11
) называются универсальной подстановкой.
3

перейти в каталог файлов
связь с админом