Методичка Лаб. по физике №100. Лабораторная работа 100 оценка погрешностей при определении линейных размеров и объема тела цель работы

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 100
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ
РАЗМЕРОВ И ОБЪЕМА ТЕЛА
Цель работы
Приобретение навыков работы с микрометром и штангенциркулем и усвоение методов расчета погрешностей при проведении прямых и косвенных измерений.
Теоретическое введение
Измерить физическую величину – значит сравнить ее с эталонной ве- личиной, то есть установить, сколько раз измеряемая величина содержит эта- лонную единицу.
Измерения бывают прямые и косвенные. Прямые измерения – это изме- рения, в которых искомая физическая величина определяется непосредственно по шкале прибора. Косвенные – измерения, в которых искомая величина нахо- дится расчетным путем по формулам из результатов прямых измерений других величин.
Погрешностью измерения величины X называют отклонение результата измерения от истинного значения. Абсолютная погрешность
∆
X
показывает, на сколько результат измерения величины X отличается от ее истинного значения
X
ист
: ист
X
X
X
−
=
∆
Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к ис- тинному значению. Она показывает, какую часть измеряемой величины состав- ляет ее погрешность:
%
100
ист
⋅
∆
=
δ
X
X
X
Погрешности, допускаемые при измерениях, подразделяются на грубые
(промахи), систематические и случайные.
Промахи – это очевидные ошибочные измерения, возникающие в ре- зультате небрежности отсчета по прибору, неправильного включения прибора или неразборчивости записи показаний. Такие ошибочные данные измерений следует отбрасывать.
Систематическими называются погрешности, обусловленные одной и той же причиной. Обычно при многократных измерениях физической величины систематическая погрешность имеет одно и то же значение, то есть системати-

чески повторяется. Такие погрешности можно учесть путем внесения соответ- ствующих поправок, и поэтому устранить.
Случайными называются погрешности, вызванные весьма большим чис- лом отдельных причин, действующих в каждом отдельном измерении различ- ным образом. Такие ошибки можно свести к минимуму, но полностью устра- нить их невозможно. Они подчиняются законам теории вероятностей, и для из- меряемой физической величины следует указывать пределы (доверительный интервал), внутри которого находится ее истинное значение.
Считая, что промахи отброшены, а систематические погрешности устра- нены, рассмотрим методику обработки результатов измерений, когда преобла- дают случайные ошибки.
В этом случае погрешность можно оценить с некоторой вероятностью, проведя измерения искомой величины несколько раз. Приближенной оценкой истинного значения искомой величины является среднее арифметическое зна- чение < X > результатов отдельных измерений X
i
:
∑
=
> =
<
N
i
i
X
N
X
1 1
, (1)
где номер i – измерения, N – число измерений.
Вероятность того, что результат измерения <X> отличается от истинного значения X
ист не более, чем на
∆
X, называется доверительной вероятностью
α
Интервал значений от (X
ист
−∆
X) до (X
ист
+
∆
X) называется доверительным интер- валом, а
∆
X – его полушириной или доверительной погрешностью.
Доверительная погрешность
∆
X вычисляется на основе средней квадра- тичной погрешности S
x
:
x
N
S
t
X
⋅
α
=
∆
)
(
, (2)
где t
N
(
α
) – коэффициент Стьюдента.
Средняя квадратичная погрешность S
x
характеризует разброс результа- тов измерений относительно среднего арифметического значения и является полушириной доверительного интервала, соответствующего доверительной ве- роятности 0,683. Она определяется по формуле:
)
1
(
)
(
1 2
−
>
<
−
=
∑
=
N
N
X
X
S
N
i
i
x
. (3)
Коэффициент Стьюдента является функцией двух параметров: довери- тельной вероятности
α
и числа измерений N. Коэффициенты Стьюдента для не- которых значений
α
и N приведены в таблице 1.
В настоящем лабораторном курсе мы будем пользоваться доверительной вероятностью
α
=
0,95, кроме случаев, которые будут оговариваться особо.
При косвенных измерениях, когда определяемая величина рассчитывает- ся по формуле на основе результатов прямых измерений физических величин, входящих в эту формулу, погрешность результата складывается из ошибок пря-
2

мых измерений. Для ошибок, малых по сравнению с измеряемой величиной, погрешность можно искать в виде приращения функции. Например, если иско- мая величина является функцией трех величин F(X,Y,Z), то погрешность
∆
F
x из-за ошибки значений величины X на
∆
X будет:
X
X
F
X
F
X
X
F
F
∆
∂
∂
=
∆′
=
∆






∆
∆
=
∆
x
,
и суммарная погрешность определяется выражением:
2 2
2






∆
∂
∂
+






∆
∂
∂
+






∆
∂
∂
=
∆
Z
Z
F
Y
Y
F
X
X
F
F
. (4)
Если функция F логарифмируется, то для упрощения процесса диффе- ренцирования вначале ищут относительную погрешность определяемой ве- личины по формуле:
2 2
2
)
(ln
)
(ln
)
(ln




∆
∂
∂
+




∆
∂
∂
+




∆
∂
∂
=
∆
Z
Z
F
Y
Y
F
X
X
F
F
F
. (5)
Эту формулу легко получить из формулы (4), разделив ее на F и введя F
в правой части под знак дифференциала. После этого от относительной погреш- ности переходят к абсолютной:
>
<





 ∆
=
∆
F
F
F
F
. (6)
Таблица 1
Число измерений
N
Доверительная вероятность
α
0,7 0,9 0,95 0,99 2
3 4
5 10 2,0 1,3 1,3 1,2 1,1 6,31 2,92 2,35 2,13 1,83 12,71 4,30 3,18 2,78 2,26 63,66 9,92 5,84 4,60 3,25
Результаты измерений и погрешности нужно округлить и представить в
стандартном виде, указав единицу измерения: измерения единица
)
(
X
X
X
∆
±
>
<
=
. (7)
Вначале округляют погрешность до первой (слева) значащей цифры. Ре- зультат округляют до разряда, соответствующего разряду округленной по- грешности. Например, найдено, что:
X
=
4,257 мм,
∆
X
=
0,0086 мм, тогда X
=
(4,257
±
0,009) мм.
X
=
425,7 м,
∆
X
=
1,7 м, тогда X
=
(4,26
±
0,02)
⋅
10 2
м.
В данной работе требуется определить линейные размеры (диаметр D и высоту H), а также объем цилиндра V, проведя измерения с помощью микро- метра и штангенциркуля. Поскольку значения D и H мы считываем непосред-
3

ственно со шкалы измерительных приборов, то такие измерения будут прямы- миизмерениями. Погрешность прямых измерений найдем по формулам (2) и
(3), где роль X играет либо D, либо H. Объем цилиндра вычисляется по рабочей
формуле
H
D
V
4 2
π
=
, (8)
то есть находится в результате косвенных измерений.
Формула (7) имеет вид, удобный для логарифмирования. Поэтому абсо- лютную погрешность объема
∆
V найдем через относительную погрешность, ис- пользуя формулы (5) и (6):
4
ln ln ln
2
ln ln
−
+
+
π
=
H
D
V
,
H
H
V
D
D
V
1
)
ln
(
,
2
)
(ln
=
∂
∂
=
∂
∂
Следовательно,
2 2
2





 ∆
+





 ∆
=
∆
H
H
D
D
V
V
, (9)
>
<





 ∆
=
∆
V
V
V
V
, (10)
где <V> получается из формулы (7) при замене D и H их средними значениями.
Формулы (8) и (9) представляют собой формулы погрешностей косвен-
ных измерений.
Описание приборов
Штангенциркуль. Штангенциркуль служит для линейный измерений, не требующих высокой точности. Отсчетным приспособлением у всех конструк- ций данных приборов служат шкала штанги и линейный нониус.
Нониусом называется специальная шкала, дополняющая обычный масштаб и позволяющая повысить точность измерений в 10 – 20 раз.
4

Линейный нониус (суще- ствует еще и круговой) представ- ляет собой линейку, скользящую вдоль основной шкалы (выноска B на рис.1).
Нониус укреплен в подвижной рамке, скользящей вдоль основной шка- лы штанги. При нулевом показании инструмента нуль нониуса совпадает с ну- левым штрихом основной шкалы. При измерении детали подвижная рамка 1 с нониусом смещается, и деталь зажимается губками 2 штангенциркуля. При на- личии у штангенциркуля верхних 3 и нижних 2 измерительных губок его мож- но применять как для внутренних, так и для внешних измерений.
Длина предмета равна числу целых делений шкалы, расположенных сле- ва от нулевого деления нониуса, плюс величина отсчета по нониусу.
Для снятия отсчета по нониусу смотрят, какой из штрихов нониуса сов- падает с каким-нибудь из штрихов основной шкалы. Номер этого штриха нони- уса умножают на цену деления нониуса и получают отсчет нониуса в долях миллиметра. Цена деления нониусов у разных штангенциркулей различна.
Обычна она равна 0,1; 0,05 или 0,2 мм. Погрешность измерения с помощью но- ниуса равна цене деления нониуса. В приведенном на рис.1 примере отсчет ра- вен 30,40 мм.
Микрометр. Микрометр (рис.2) состоит из полого стержня, жестко со- единенного скобкой 5 с упором 2. В полость стержня ввинчен микрометриче- ский винт. При измерении предмет зажимается упором 2 и подвижным концом микрометрического винта 3. Микровинт вращают, держась за трещотку 4. Вме- сте с микровинтом вращается корпус барабана 1, перемещаясь при этом посту- пательно относительно стержня. Отсчет ведется по горизонтальной шкале, на- несенной на полый стержень, и по шкале барабана. Отсчетное устройство ми- крометра состоит из двух шкал. Горизонтальная шкала стержня представляет собой двойную шкалу с ценой деления 0,5 мм, нанесенную на обе стороны про- дольной черты таким образом, что верхняя сдвинута относительно нижней на половину деления.
5
Рис.1

Цена деления шкалы барабана может быть установлена следующим об- разом: пусть число делений круговой шкалы барабана n
=
50. Шаг микровинта h
=
0,5 мм, то есть одному полному обороту микровинта (и барабана) соответ- ствует линейное перемещение края барабана на 0,5 мм. Цена деления круговой шкалы:
мм
01
,
0 50
мм
5
,
0
=
=
=
n
h
a
Отсчет производится следующим образом: по горизонтальной шкале стержня отсчитывается размер измеряемого предмета с точностью до 0,5 мм.
Сотые доли миллиметра отсчитываются по круговой шкале барабана. Получен- ные результаты складываются. Число сотых долей соответствуют делению шкалы, расположенному против продольной черты на стержне. Показания ми- крометра на рис.2 равны 3,77 мм.
Проведение измерений
Приборы и принадлежности:
•
Микрометр
•
Штангенциркуль
•
Измеряемый цилиндр
Каждую из величин D и H измерьте штангенциркулем и микрометром по 5 раз в различных местах цилиндра. Места замеров рекомендуется выбирать примерно на одинаковых расстояниях друг от друга. Результаты измерений за- несите в таблицу 2.
Обработка результатов
1. Рассчитайте средние арифметические значения D и H по формуле (1) и запишите их в таблицу 2.
Таблица 2 6
Рис.2

Номер из- мерения
i
Измерения штангенциркулем
Измерения микрометром
D
i
, мм
H
i
, мм
D
i
, мм
H
i
, мм
1 2
3 4
5
Среднее значение
2. Вычислите среднюю квадратичную погрешность D и H. Для этого найдите погрешности отдельных измерений
∆
D
i
=
D
i
−
<D> и
∆
H
i
=
H
i
−
<H> и их квадраты (
∆
D
i
)
2
и (H
i
)
2
. Результаты запишите в таблицу 3. Сложите квадраты погрешностей отдельных измерений и полученную сумму подставьте в форму- лу для средней квадратичной погрешности (3), подразумевая под X либо D, либо H.
Таблица 3
Номер из- мерения
i
Измерения штангенциркулем
Измерения микрометром
∆
D
i
мм
(
∆
D
i
)
2
мм
2
∆
H
i
мм
(
∆
H
i
)
2
мм
2
∆
D
i
мм
(
∆
D
i
)
2
мм
2
∆
H
i
мм
(
∆
H
i
)
2
мм
2 1
2 3
4 5
∑
=
=
∆
5 1
2
)
(
i
i
D
∑
=
=
∆
5 1
2
)
(
i
i
H
∑
=
=
∆
5 1
2
)
(
i
i
D
∑
=
=
∆
5 1
2
)
(
i
i
H
3. Задавшись доверительной вероятностью
α
=
0,95 и числом измерений
N
=
5, определите по таблице 1 значение коэффициента Стьюдента t
N
(
α
).
4. Вычислите доверительную погрешность по формуле (2), заменяя X соответственно на D и H для обоих случаев измерений – штангенциркулем и микрометром.
5. Окончательные результаты прямых измерений занесите в таблицу 4, в которой, кроме границ доверительной погрешности, указывается и относи- тельная погрешность в процентах
%
100
X
X
∆
7

Возможно, что при измерениях D и H результаты будут мало отличаться друг от друга. При этом вычисленные погрешности
∆
D и
∆
H могут оказаться меньше соответствующих паспортных значений погрешностей измерительных приборов – микрометра и штангенциркуля. В этом случае в качестве оконча- тельной погрешности
∆
D и
∆
H, подставляемых в таблицу 4, берут большие из двух сравниваемых – погрешности измерительных приборов.
6. По формуле (8) вычислите объем цилиндра <V>, подставляя вместо
D и H соответственно <D> и <H>. Расчет выполните два раза – для значений
<D> и <H> полученных как с помощью штангенциркуля, так и с помощью ми- крометра.
7. Рассчитайте относительную погрешность объема цилиндра для изме- рений с помощью штангенциркуля и микрометра по формуле (9).
8. Найдите абсолютную погрешность объема цилиндра для измерений с помощью штангенциркуля и микрометра
∆
V по формуле (10).
9. Округлите погрешность и результат и запишите их в стандартном виде (7).
Таблица 4
Число измере- ний N
Доверительная вероятность
α
Измерения штангенциркулем
Измерения микрометром
<D>
± ∆
D
мм
<H>
± ∆
H
мм
<D>
± ∆
D
мм
<H>
± ∆
H
мм
5 0,95
Относительная погрешность
%
100
X
X
∆
Контрольные вопросы и задания

1. Что такое прямые и косвенные измерения?
2. Что такое абсолютная и относительная погрешность?

3. Что такое средняя квадратичная погрешность?
4. Что такое доверительная погрешность и доверительная вероятность?

5. Как находится погрешность прямых измерений?
6. Как находится погрешность косвенных измерений?

7. Как округлить результат измерений и погрешность?
8. Как записать результат и погрешность в стандартном виде?
9. Найдите с помощью формул (5) и (8) относительную погрешность объема цилиндра.
10.Найдите с помощью формул (4) и (8) абсолютную погрешность объема цилиндра.
11.Докажите, что формула (5) является следствием формулы (4).
8

Литература
1. Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений.
М., 1970.
2. Каленков С.Г., Соломахо Г.И. Практикум по физике. Механика:
Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: Высш. шк., 1990.
3. Лабораторный практикум по физике: Учеб. пособие для студентов втузов/ Под ред. К.А. Барсукова и Ю.И. Уханова. – М.: Высш. шк., 1988.
9