Главная страница
Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей
qrcode

ЛР-PDE Toolbox. Лабораторная работа Моделирование объектов с распределеннымипараметрами в среде системы Matlab


Скачать 28.23 Mb.
НазваниеЛабораторная работа Моделирование объектов с распределеннымипараметрами в среде системы Matlab
АнкорЛР-PDE Toolbox.doc
Дата13.01.2017
Размер28.23 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаLR-PDE_Toolbox.doc
ТипЛабораторная работа
#3880
КаталогОбразовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей
Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей




Модуль 4.Модели с распределенными параметрами.
Лабораторная работа 4.3.Моделирование объектов с распределеннымипараметрами в среде системы Matlab
Цель работы: Ознакомиться с набором инструментов PDE Toolbox на примере решения задачи распространения тепла в плоской пластине.
Краткие сведения из теории: Дифференциальное уравнение теплопроводности для одной пространственной координаты будет иметь вид

, (1)

где – частная производная температуры по времени; – частная производная второго порядка температуры по координате; коэффициент температуропроводности; тепловой поток внутренних источников тепла [Вт/мІ]; плотность [кг/мі]; теплоемкость [Дж/кг·град].

В терминах векторного анализа уравнение (1) будет иметь вид

(2а)

(2б)

(2с)

в этих уравнениях – оператор Лапласа; – оператор Гамильтона; – дивергенция градиента температуры;

Градиент температуры – это вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численной равный производной от температуры по этому направлению.

Коэффициент температуропроводности характеризует скорость изменения температуры. Коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств тела. Из уравнения (1) следует, что изменение температуры во времени для любой точки пространства пропорционально величине . Скорость изменения температуры в любой точке тела будет тем больше, чем больше коэффициент температуропроводности. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности. Величина коэффициента температуропроводности зависит от природы вещества. Коэффициент температуропроводности можно вычислить по формуле

,[мІ/с] (3)

коэффициент теплопроводности [Вт/м·град].

Подставляя выражение (3) уравнение (1) получим

(4)

Коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить тепло. Чем больше коэффициент, тем быстрее прогревается тело.

Различают стационарный и нестационарный процессы типы передачи. При установившемся (стационарном режиме) температура тела не зависит от времени и поэтому левая часть дифференциального уравнения теплопроводности равна нулю. При нестационарном режиме температура тела зависит от времени. В случае стационарного режима используется для решения эллиптическое уравнение, а в случае нестационарного режима используется параболическое уравнение. В случае, если в теле нет внутренних источников тепла, выражение .

Для численного решения задачи распространения тепла в пластине необходимо задать начальные условия и граничные (краевые) условия.

Начальные условия устанавливают распределение температуры в теле в определенный момент времени, чаще всего в момент времени .

Краевые условия характеризуют тепловые условия на поверхности тела, которые должны быть известны в любой момент времени.

Различают следующие виды граничных (краевых) условий.

  • Граничные условия первого рода. При этом задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени. По другому их называют еще условиями Дирихле.

  • Граничные условия второго рода. При этом задаются величины теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени. По другому их называют еще условиями Неймана. Тепловой поток пропорционален .

  • Граничные условия третьего рода. При этом задается температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой. Граничное условие третьего рода характеризует закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой в процессе охлаждения и нагревания тела.

  • Граничные условия четвертого рода характеризуют условия теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности.

Решение уравнений теплопроводности в пакете Matlab: В пакете Matlab дифференциальные уравнения в частных производных (PDE) могут быть решены двумя способами:

  1. Путем составления программы на языке пакета Matlab;

  2. При помощи специальной панели инструментов – графического интерфейса пользователя (GUI) PDE Toolbox.

В данной работе будет рассматриваться второй способ. Он позволяет решать поставленные задачи с граничными условиями Дирихле и Неймана.

Для запуска PDE Toolbox в командной строке окна управления нужно выполнить команду pdetool. После чего откроется окно, в котором находятся инструменты и рабочая область, в которой строится и отображается численное решение уравнений.

Пример: Решить задачу нагрева пластины толщиной 2 см., высотой 1,6 см. По средине пластины имеется отверстие шириной 0,1 см. и высотой 0,8 см. Продолжительность нагрева 5 секунд. Граничные условия:

  • u = 100 – на левой границе;

  • u = -10 – на правой границе;

  • на остальных границах .

Начальное условие u(0) = 20. Вывести распределение температуре по длине пластинки.

Решение:



1. Необходимо нарисовать объект в среде PDE Toolbox. Для более точного построения необходимо перейти в режим сетки. Для этого необходимо зайти в меню Options и активизировать пункты Grid (включает и отключает режим сетки) и Snap (привязка к уздам сетки). Пункт Axes limits устанавливает границы координатных осей, а Axes Equal выравнивает масштабы осей. Для построения щели необходимо зайти в подменю Grid spacing и нанести вспомогательные линии сетки. Для изменения координатной сетки необходимо отключить режим Auto.



Рис. 1. Задание параметров осей в PDE Toolbox
2. После этого производится построение двух областей, как показано на рис. 2. В строке формул исправляется R1 + R2 на R1 - R2.


Рис. 2. Вид пластины

3. В PDE Toolbox можно задавать граничные условия Дирихле и Неймана. Зададим сначала граничные условия Неймана, которые задаются следующим образом:


  • Нажимается кнопка после того, когда границы пластины будут отображаться в виде стрелок черного цвета необходимо нажать комбинацию клавиш Ctrl+A для выделения всего периметра. Равенство нулю потока есть частный случай условий Неймана. Необходимо зайти меню Boundary и выбрать пункт Specify boundary conditions. В открывшемся диалоговом окне указать тип – условия Неймана. Для получения теплоизолированных верхних и нижних границ и таких же границ пластины с отверстием необходимо, чтобы коэффициенты g (тепловой поток) и q (коэффициент теплоотдачи) были равны нулю. После этого стрелки по периметру изменят цвет на синий.




Рис. 3. Задача условий Неймана
        • После этого на правой и на левой границах пластины зададим условия Дирихле. h – весовой коэффициент, а r – заданная температура.





Рис. 4. Задача условий Дирихле для левой границы


Рис. 5. Задача условий Дирихле для правой границы
4. После задачи граничных условий необходимо разбить площадь на элементы, нажав или несколько раз.

5. После этого необходимо выбрать тип и параметры дифференциального уравнения. В пункте Options в подпункте Applications необходимо выбрать Heat Transfer. Так как в нашем случае процесс нестационарный, выбираем уравнение параболического типа


Рис. 6. Задача параметров дифференциального уравнения
Приведенное уравнение полностью совпадает с приведенным выше уравнением (4), за исключением того момента, что в уравнении, приведенном в диалоговом окне, учитывается также и конвективная составляющая.

В диалоговом окне записано следующее уравнение:

(5)

где ; ; – внутренняя энергия; конвективная составляющая, реализующая закон Ньютона – Рихмана, коэффициент теплоотдачи. Зададим параметры, как показано на рис. 6.

6. Начальные условия задаются в меню Solve. В пункте Parameters задается время моделирования и начальные условия: u(0), u(0) = 0. Его можно задать отрезком (0:5) или интервалами (0:0.1:0.2:03:5). Интервалы не обязательно равные. Значения отделяются двоеточием.


Рис. 7. Параметры времени и начальных условий

7. Для улучшения качества можно сделать некоторые настройки. Нажать и в открывшемся диалоговом окне указать:



Рис. 8. Расширенные параметры вывода решения.
Задания для самостоятельного выполнения
Задача 1
Решить задачу нагрева пластины толщиной 2 см., высотой 1,6 см. По средине пластины имеется круглое отверстие радиусом 0,2 см. Продолжительность нагрева 20 секунд. Граничные условия:

  • u = 500 – на внутренних границах (на границах с отверстия);

  • u = 300 – на правой и левой границе пластины;

  • на остальных границах .

Начальное условие u(0) = 20. Вывести распределение температуре по длине пластинки. Плотность и теплоемкость пластины принять равными 1, а коэффициент теплопроводности принять равным 200.
Задача 2

Дано сечение стержня радиусом 1 см. В стержне имеются два отверстия толщиной 0,2 см и высотой 0,8 см, которые могут располагаться произвольно в любом месте сечения. Получить распределение в пределах области. Продолжительность нагрева 20 секунд. Граничные условия:

  • u = 250 – на внешних границах стержня;

  • u = 150 – на внутренних границах;

Начальное условие u(0) = 20. длине пластинки. Плотность и теплоемкость пластины принять равными 1, а коэффициент теплопроводности принять равным 20. При решении уравнения учесть конвективную составляющую. Температуру окружающей среды принять равной 20°C. Коэффициент теплоотдачи k принять равным 2.
перейти в каталог файлов

Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей

Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей