Главная страница

лек 12. Лекция 12 операторный метод


НазваниеЛекция 12 операторный метод
Анкорлек 12.doc
Дата27.09.2017
Размер0.9 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлалек 12.doc
ТипЛекция
#20927
Каталог

С этим файлом связано 43945 файл(ов). Среди них: и ещё 43935 файл(а).
Показать все связанные файлы

ЛЕКЦИЯ 12

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
Операторный метод расчета переходных процессов (ПП) использует переход от системы алгебраических и дифференциальных уравнений электрических цепей для оригиналов (функций времени) к алгебраическим уравнениям в изображениях. Решение этих уравнений и получение изображений искомых функций предполагает использование обратного перехода от изображений к оригиналам.

Связь между оригиналом f(t) и его изображением F(p) обычно устанавливается с помощью преобразования Лапласа:



Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(p) записывают в виде


Операторные уравнения и эквивалентные схемы элементов цепи


Резистор характеризуется уравнением u=ri. Переходя к изображениям и учитывая свойство линейности, можно получить:



Резистор характеризуется операторным сопротивлением r. Напряжение и ток на индуктивности связаны соотношением:



Результат перехода к изображениям:



Индуктивность характеризуется операторным сопротивлением pL, а начальное значение тока iL(0)  учитывается последовательным источником ЭДС LiL(0) или параллельного источника токаiL(0)/p (источники направлены по току).



Напряжение и ток на емкости связаны соотношением . Результат перехода к изображениям:



Емкость характеризуется операторным сопротивлением 1/pC, а начальное значение напряжения uC(0) учитывается последовательным источником ЭДС – uC(0)/p или параллельного источника тока – CuC(0) (источники направлены против тока).


Законы Кирхгофа и закон Ома в операторной форме
Первый закон Кирхгофа в применении к узлу цепи для мгновенных токов имеет вид:





Так как ток ij изображается с помощью интеграла Лапласа, а интеграл суммы равен сумме интегралов от слагаемых этой суммы, то первый закон Кирхгофа в операторной форме записывается в виде:



Соответственно, второй закон Кирхгофа в применении к контуру цепи:



где uk(t) – падение напряжения на k-ой ветви и еk(t) – ЭДС источников энергии в k-ой ветви, записывается в операторной форме:



Законы Кирхгофа выполняются не только для мгновенных значений токов и напряжений, но и для их изображений.

В общем случае операторное сопротивление rLC ветви

,

но соотношение между изображением тока и напряжения на ветви требует включения ЭДС, учитывающее начальный ток в индуктивности и начальное напряжение на емкости, в операторную эквивалентную схему.

.

Операторная схема цепи (для изображений) имеет такую же структуру, как и для оригиналов, но содержит дополнительные источники энергии, учитывающие начальные токи в индуктивностях и начальные напряжения на емкостях. Используя операторную схему можно сформировать уравнения цепи в операторной форме.

Переход от изображения к оригиналу
Решение системы алгебраических уравнений дает изображение искомой функции, оригинал которой может быть получен путем использования обратного преобразования Лапласа:



Интеграл Бромвича – контурный интеграл охватывает все полюса функции F(p).

Теорема разложения: Пусть изображение представляется в виде отношения полиномов от р, причем степень полинома в числителе меньше степени полинома в знаменателе:

.

Если уравнение F2(p)=0 имеет простые корни pk, то оригинал имеет вид:



Для случая, когдаF3(p)=0 имеет n простых корней pk, то оригинал имеет вид:




Алгоритм расчета ПП операторным методом


  1. Определение ННУ.

В результате расчета цепи до коммутации определяют токи индуктивностей iL(0-) и напряжения емкостей uC(0-) в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (t=0-). Использование законов коммутации позволяет найти независимые начальные условия: токи индуктивностей iL(0+) =iL(0-) и напряжения емкостей uC(0+)=uC(0-) сразу после коммутации (t=0+).

  1. Составляют операторную (для изображений) схему.

В ветвях, содержащих индуктивности вводят дополнительные ЭДС равные Li(0+) (направленные по току). В ветвях, содержащих емкости вводят дополнительные ЭДС равные UC(0+)/p(направленные против тока). Используют сопротивления пассивных элементов в операторной форме – R, pL, 1/pC. Заданные источники ЭДС и тока заменяют изображениями.

  1. Система уравнений цепи в операторной форме для изображений искомых токов (напряжений) формируют по операторной схеме любым методом, основанном на уравнениях Кирхгофа.

4. Решение операторных уравнений цепи относительно изображений искомых токов и напряжений.

5. Определение оригиналов искомых токов (напряжений) производится с применением обратного преобразования Лапласа или по теореме разложения.
Переходные и импульсные характеристики цепи
Переходной характеристикой h(t) считают реакцию электрической цепи на подключение ее к единичному источнику ЭДС с помощью ключа при нулевых начальных условиях. Временная зависимость ЭДС на входе цепи описывается единичной функцией.


Для определения переходных характеристик необходимо рассмотреть переходные процессы в цепи при воздействии на нее единичного скачка напряжения или тока. Это может быть выполнено с помощью классического или операторного метода.

Переходный ток g(t) при единичном скачке напряжения на входе называют переходной проводимостью

,

а переходное напряжение – переходной функцией напряжения

.

Импульсная характеристика – реакция цепи на единичный импульс напряжения






Интеграл Дюамеля


Интеграл Дюамеля (наложения) применяют для расчета переходного тока (напряжения) в ветвях схемы с нулевыми начальными условиями при подключении ее к источнику ЭДС произвольной формы



Штрих означает производную по τ.
перейти в каталог файлов
связь с админом