Главная страница

Лекц.4.2. Лекция Численные методы моделирования систем с распределенными параметрами


НазваниеЛекция Численные методы моделирования систем с распределенными параметрами
АнкорЛекц.4.2.doc
Дата13.01.2017
Размер97 Kb.
Формат файлаdoc
Имя файлаLekts_4_2.doc
ТипЛекция
#3881
Каталог



Модуль 4. Модели с распределенными параметрами

Лекция 4.2.
Численные методы моделирования систем с распределенными параметрами


Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев.

Общий способ их решения использование приближенных численных методов. Наиболее широко распространены методы сеток.

Основная идея МС - аппроксимация искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках области - узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка, в свою очередь, является дискретной моделью области определения искомой ф-ции.

В общем случае алгоритм МС:

  1. Построение системы в заданной области (дискретизация задачи);

  2. Получение системы алгебраических уравнений относительно узловых значений (алгебраизация задачи);

  3. Решение полученной системы алгебраических уравнений .

Наиболее часто используют 2 вида МС:

- метод конечных элементов (МКЭ)

- метод конечных разностей (МКР)

Они отличаются на этапах 1и 2.
Метод конечных разностей.
В МКР используются, как правило, регулярные сетки, шаг которых постоянен либо меняется по несложному закону. Расстояние. между соседними узлами - шаг сетки.


Граничные узлы

Внутренние узлы

Сетка получается нерегулярной на границе.


Поэтому МКР чаще применяется при прямоугольных границах.

В МКР аппроксимируются производные искомых функций, а в МКЭ – само решение.

Аппроксимация дифференциального оператора разностным (одномерный случай).
- Левая разностная производная

h-шаг сетки.
Правая:



Центральная :


2-я разностная производная:

При переходе от дифференциальной КЗ к разностной необходимо также аппроксимировать ГУ.

Кажущаяся простота МКР обманчива. В реальных задачах часто не сходится; т.е. при измельчении сетки не стремится к точному решению дифференциальной задачи.
Метод конечных элементов.
Сейчас наиболее популярен.

Относится к вариационно-разностным численным методам.

Строгое доказательство устойчивости, сходимости, точности слишком сложно, поэтому правильность работы алгоритмов и программ, использующих МКЭ, проверяют на известных точных решениях.

В МКЭ исходная область определения функции разбивается с помощью сетки, в общем случае неравномерной, на отдельные подобласти - конечные элементы. Искомая непрерывная функция апроксимируется кусочно-непрерывной, определенной на множестве КЭ. Аппроксимация может задаваться произвольным образом, но чаще используют полиномы, которые подбираются так, чтобы обеспечить непрерывность искомой функции в узлах на границах КЭ.



Теплоизоляция

Стержень, площадь S , длина L

Свободный конец

Конвективный теплообмен(коэффициент теплообмена)

Тепловой поток g
Тепловое поле (одномерное) описывается уравнением теплопроводности.









Аппроксимирующая кусочно-непрерывная функция определяется через угловые значения, которые сначала неизвестны.

Для двумерных областей КЭ

Могут иметь криволинейные границы!

Для трехмерных областей КЭ – тетраэдр, параллелепипед.
Идея методов конечных элементов.

1.особенность: сетка может быть не регулярной, элементы могут быть:




2.вводится некий функционал от решения задачи, который отображает физическую особенность задачи Ф(u(t, x, y, t))
Решение дифференциальных уравнений в частных производных в системе MATLAB.
Используется Toolbox Partia1 Differenсial Eguations (PDE)

Содержит средства для решения нестационарных ДУЧП. В нем используется метод конечных элементов.

Применяется для широкого класса инженерных задач

  • сопротивление материалов

  • теория упругости

  • электромагнитные поля

  • массоперенос

  • диффузия

  • теплопередача.

Свойства ТВ PDE:

-удобный графический интерфейс

-удобное задание граничных условий

-автоматическое разбиение сетки и выбор величины конечных элементов

-возможность визуализации решений в трехмерном пространстве, включая анимацию.

Этапы решения задачи:

1.определение геометрии тела (режим рисования)

2.задание граничных условий(режим граничных условий)

3. задание коэффициентов уравнения

4.задание конечных элементов (режим сетки)

5.решение задачи (режим решения)

6. режим графики.
Представление систем с распределенными параметрами моделями с сосредоточенными параметрами.
РП-объкты разделим на 2 класса:

  1. существенно распределенные объекты, в которых для целей управления необходимо знать распределение хотя бы одной переменной в некоторой области пространства. Например, если управляющее воздействие распределено в пространстве, как в методической нагревательной печи.

  2. объекты, приводимые к сосредоточенным, в которых для целей управления достаточно знать значения фазовых переменных и управлений в конечном числе фиксированных точек пространства, например, на входе и выходе объекта.

Применяют ячеечное представление, идея которого аналогична идее методов сеток решения ДКЗ. Область разбивают на такие части (ячейки), в каждой из которых можно пренебречь пространственным распределением фазовых переменных с допустимой точностью.
Ячеечные модели микро уровня.
Основаны на дискретизации переменных (пространства-времени или пространства), т.е. на переходе от ДУ к конечно-разностным или дифференциально-разностным уравнениям.

Для моделирования динамических систем интереснее вариант с дискретным пространством и непрерывным временем. Т.е. пространство представлено в виде соединения конечного количества ячеек конечного размера ('ячеечное представление', метод дискретизации пространства).

Пример: уравнение теплопроводности для одномерной задачи (тонкий стержень)

с ГУ 0  х  1

u (0,x) = 0

u (t,0) = 0

u (t,1) = 1

С шагом дискретизации h=1/n

Где n-число равных дискретных. участков.

Заменяя производные по х их конечными разностями, получим

Для одномерного волнового уравнения (гиперболического типа)



дискретизация по t приводит к

,

а дискретизация по х приводит к подобной системе.

При реализации на ПЭВМ методом структурного моделирования используется (n-1)аналогичных схем для решения системы ОДУ. Решения осуществляется после задания начальных значений переменных (или их производных) последовательно. Повторением циклов интегрирования, при которых подбираются недостающие значения переменных (или самих переменных), пока не будут получены заданные значения переменных на конце интервала интегрирования.
Пример.Модель уравнения теплопроводности:

НУ: на концах стержня поддерживается tº=0, т.е. задача симметричная, поэтому рассмотрена половина стержня, разбитого на 10 равных частей.

Использована 2-я центральная разность.



Получили 'замкнутую модель дискретного пространства'. Она обладает высокой наглядностью решения. Может быть реализована в SIMULINK

Искомая функция распределения температур во времени непрерывна и задана в дискретных точках пространства. Начальное распределения температур во всех точках задается соответствующими начальными условиями на участках. Если исходное ДУЧП неоднородно, то есть имеются внешние источники или стоки тепла, то соответствующие сигналы подаются на сумматоры.
Граница применимости моделей с сосредоточенными параметрами.
Допустимо применять модель с сосредоточенными параметрами, если временем распространения возбуждения по объекту с РП можно пренебречь. Время распространения возбуждений зависит от физической природы подсистемы, (от скорости распространения возбуждений в соответствующей среде) и от размеров этой среды в конкретном объекте. Под возбуждением понимается изменение фазовых переменных.

Критической длиной называют приближенный предельный размер среды, при превышении которого необходимо учитывать время распространения возбуждений. Критическая длина зависит от временного диапазона моделирования объекта, например, если моделируется электрический объект в наносекундном диапазоне, то критическая длина будет порядка 30 см ; если в пикосекундном, то критическая длина составит единицы и доли миллиметра. Приближенно критическую длину можно определить по формуле.
Lкр = t * V,

Где V -скорость распространения возбуждений в среде , например,

  • для электрической подсистемы это скорость света 300 000км/с

      • для механической , гидравлической, пневматической систем это скорость звука в воздухе 330 м/с

в воде 1200м/с

в стали 5100 м/с

в свинце1300 м/с

Δt-интервал времени, характеризующий временную точность рассмотрения процессов.
Пример 1. Учитывать ли распределенный момент инерции валопровода длиной 10 м привода прокатных валков при расчетах динамики системы автоматического управления скоростью прокатки?

Ответ: нет, не учитывать, т.к. при обычной частоте пропускания такой системы до 5 гц период вынужденных колебаний момента сил упругости в валопроводе составит 1/5 = 0.2 с, что соответствует критической длине валопровода

Lкр = 0,2*5100 =1020 м,

Пример 2. Учитывать ли динамические процессы в раскате на непрерывном мелкосортном стане при расчетах системы автоматического управления режимом прокатки?Полоса раскаленная моделируется свинцом. Расстояние между клетями равно 4 м.
Критическое время распространения возмущения

t=4/1300≈0,003с, что соответствует частоте примерно 300 гц, которая лежит за пределами полосы пропускания САУ.
перейти в каталог файлов
связь с админом