Главная страница

Лекц.4.1. Лекция Моделирование объектов с распределенными параметрами. Математическая модель объекта на микроуровне описывает процессы внутри


Скачать 33.5 Kb.
НазваниеЛекция Моделирование объектов с распределенными параметрами. Математическая модель объекта на микроуровне описывает процессы внутри
АнкорЛекц.4.1.doc
Дата13.01.2017
Размер33.5 Kb.
Формат файлаdoc
Имя файлаLekts_4_1.doc
ТипЛекция
#3893
Каталог

С этим файлом связано 41973 файл(ов). Среди них: и ещё 41963 файл(а).
Показать все связанные файлы

Модуль 4.Модели с распределенными параметрами.

Лекция 4.1.Моделирование объектов с распределенными параметрами.
Математическая модель объекта на микроуровне описывает процессы внутри компонента системы, то есть в сплошной среде и на границах ее. Такие модели описывают процессы не только во времени, но и в пространстве: одно- двух- и трех- мерном. Для этого используются системы дифференциальных уравнений в частных производных, которые содержат:

1.искомую функцию:U (t, x, y, z) – какую-либо фазовую переменную,

где x, y, z- пространственные координаты

t- время

2. ее производные по всем этим переменным.

Линейные ДУ в ЧП делятся на 3 типа в зависимости от знака дискриминанта: эллиптические, параболические, гиперболические. Для нас представляет интерес два типа уравнений:

1.Волновое уравнение, гиперболического типа (уравнение Даламбера), которое описывает распределение волн в упругой среде

(1)

линейное второго порядка, неоднородное.

U(x,y,z.t)-искомая функция, например, напряженность электромагнитного поля, звуковое давление

 - коэффициент характеризующий свойства среды (волновое сопротивление).

Изотропная среда во всех направлениях и во всех точках имеет одинаковые свойства, Свойства среды могут зависеть от времени (реология) или пространственных координат (анизотропия).

Уравнение Даламбера применяется при моделировании процессов:

  • Распространение электромагнитных колебаний

  • Движение жидкости и газа в трубопроводе

  • Распространение звука

  • Колебания мембран, стержней, струн и других механических систем.

2.Уравнение теплопроводности– параболического типа, (уравнение Фурье) описывает перенос энергии или массы в сплошных средах.

(2)

Здесь  - также коэффициент, характеризующий свойства среды, например, если искомая функция U (t, x, y, z) - температура, то  - коэффициент температуропроводности.

Уравнение Фурье описывает процессы теплопередачи, диффузии, движения вязкой жидкости и др.

Для конкретных физических задач дифференциальные уравнения в частных производных могут быть упрощены

1 путь – уменьшение размерности

2 путьисключение динамических процессов, моделирование стационарных полей.

Например, при из уравнения (2) получим уравнение Пуассона для стационарной тепловой задачи. Если в тепловой системе отсутствуют внешние источники, то при F(t, x, y, z)=0 получают уравнение Лапласа .

Краевые условия


Решить дифференциальные уравнения в частных производных для конкретной задачи можно, только если заданы краевые условия. Краевые условия включают в себя

граничные условия (пространственные), которые определяют характер связей рассматриваемого тела с окружающей средой и

начальные условия (временные), то есть значение решения в начальный момент времени

КУ = ГУ+НУ

Дифференциальная краевая задача является математической моделью системы с распределенными параметрами

ДУЧП+КУ=ДКЗ

Граничные условия могут задаваться 4 способами:

Например, для уравнения теплопроводности.

Граничные условия первого рода – заданна температура на поверхности тела в любой момент времени

T(t, x, y, z)

Граничные условия второго рода задаются в виде плотности теплового потока через поверхность тела

Граничные условия третьего рода задаются, когда на поверхности тела происходит конвективный обмен с жидкой или газообразной средой или происходит теплоотдача излучением



 - коэффициент теплоотдачи

q - тепловой поток

Граничные условия четвертого рода задаются в случае соприкосновения двух тел с разной теплопроводностью при идеальном контакте (отсутствие зазоров или прослоек)
перейти в каталог файлов
связь с админом