Материалы по математике

ИВ. Яковлев
|
Материалы по математике
|
MathUs.ru
Формулы приведения
Прежде чем обсуждать формулы приведения, давайте договоримся о терминологии. Пусть f (есть одна из функций sin x, cos x, tg x или ctg x. Символом cof (x) обозначим кофункцию для функции f (x). Кофункциями друг для друга являются синус и косинуса также, соответственно, тангенс и котангенс. Более точно:
• если f (x) = sin x, то cof (x) = cos если f (x) = cos x, то cof (x) = sin если f (x) = tg x, то cof (x) = ctg если f (x) = ctg x, то cof (x) = tg Пусть n — ненулевое целое число. Формулы приведения — это тригонометрические тождества следующего вида nπ
2
± α =
(±)f (если n чётное;
(±)cof (если n нечётное;
Символ (±) перед функцией или кофункцией означает, что в томили ином случае там может стоять как плюс, таки минус.
Точку тригонометрической окружности, отвечающую углу nπ/2, мы будем называть опорной точкой.
Для каждой опорной точки (то есть при каждом n) получаются восемь формул приведения
(четыре функции и два возможных знака перед α). Рассмотрим их в четырёх наиболее важных случаях — при n = 1, 2, 3, 4.
1. Формулы приведения c опорной точкой π/2 (случай n = 1):
sin
π
2
− α = cos α;
(1)
cos
π
2
− α = sin α;
(2)
tg
π
2
− α = ctg α;
(3)
ctg
π
2
− α = tg α;
(4)
sin
π
2
+ α = cos α;
(5)
cos
π
2
+ α = − sin α;
(6)
tg
π
2
+ α = − ctg α;
(7)
ctg
π
2
+ α = − tg Тождества для синуса и косинуса являются простым следствием формул сложения. Так,
формулы дополнительного угла (
1
) и (
2
) уже были получены нами в предыдущей статье.
Докажем формулу (
5
):
sin
π
2
+ α = sin
π
2
cos α + cos
π
2
sin α = 1 · cos α + 0 · sin α = cos α.
1

Аналогично доказывается и формула (Тождества для тангенса и котангенса являются следствиями соответствующих тождеств для синуса и косинуса. Например, формула (
3
) получается в результате деления равенства) на равенство (
2
).
2. Формулы приведения c опорной точкой π (случай n = 2):
sin (π − α) = sin α;
(9)
cos (π − α) = − cos α;
(10)
tg (π − α) = − tg α;
(11)
ctg (π − α) = − ctg α;
(12)
sin (π + α) = − sin α;
(13)
cos (π + α) = − cos α;
(14)
tg (π + α) = tg α;
(15)
ctg (π + α) = ctg Формулы (
15
) и (
16
) показывают, что период тангенса и котангенса равен π. Этот факт уже известен нам из геометрической интерпретации тангенса и котангенса. Формулы приведения c опорной точкой 3π/2 (случай n = 3):
sin
3π
2
− α
= − cos α;
(17)
cos
3π
2
− α
= − sin α;
(18)
tg
3π
2
− α
= ctg α;
(19)
ctg
3π
2
− α
= tg α;
(20)
sin
3π
2
+ α
= − cos α;
(21)
cos
3π
2
+ α
= sin α;
(22)
tg
3π
2
+ α
= − ctg α;
(23)
ctg
3π
2
+ α
= − tg α.
(24)
4. Формулы приведения c опорной точкой 2π (случай n = 4):
sin (2π − α) = − sin α;
(25)
cos (2π − α) = cos α;
(26)
tg (2π − α) = − tg α;
(27)
ctg (2π − α) = − ctg α;
(28)
sin (2π + α) = sin α;
(29)
cos (2π + α) = cos α;
(30)
tg (2π + α) = tg α;
(31)
ctg (2π + α) = ctg α.
(32)
2

Формулы (
29
) и (
30
) отражают тот факт, что период синуса и косинуса равен 2π. Формулы) и (
32
) вытекают также из периодичности тангенса и котангенса с периодом Любую формулу приведения можно вывести из формул сложения. Однако существует простое правило, позволяющее быстро получить нужную формулу. Оно состоит из двух шагов. Прежде всего задаём себе вопрос Меняется ли функция на кофункцию?» и двигаем туда-сюда головой вдоль той осина которой расположена опорная точка.
В случае опорных точек π/2 и 3π/2 это вертикальная ось ординат, ив результате получается утвердительный кивок Да, меняется. Мы видим это на примере формул (и (
17
)–(
24
): везде функция меняется на кофункцию.
В случае опорных точек π и 2π это горизонтальная ось абсцисс, и движение головой даёт отрицательный ответ Нет, не меняется. Мы видим это на примере формул (
9
)–(
16
) и функция в правой части равенства везде та же, что ив левой. Теперь нужно разобраться со знаком правой части. Когда ставится плюс и когда — минус?
Всё очень просто. Берём левую часть f nπ
2
± α формулы приведения и предполагаем,
что угол α острый, то есть точка α расположена впервой четверти. Определяем, в какой четверти расположен аргумент функции f и какой знак будет иметь функция f в данной четверти. Это и будет искомый знак правой части!
Так, точка π/2 − α будет также расположена впервой четверти, где все функции положительны. Соответственно, в правых частях формул (
1
)–(
4
) стоит знак плюс.
Точка π/2 + α окажется во второй четверти, где синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны. Соответственно, в правой части формулы (
5
) стоит знак плюса в формулах (
6
)–(
8
) — минус.
Точка π − α расположена во второй четверти. Поэтому в формуле (
9
) мы видим плюса в формулах (
10
)–(
12
) — минус.
Точка π + α расположена в третьей четверти, где синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны. Соответственно, в формулах (
13
), (
14
) мы видим плюса в формулах (
15
), (
16
) — минус.
Продолжая рассуждать также, вы легко разберётесь со знаками ив оставшихся формулах приведения.
Таким образом, зубрить формулы приведения нет никакой необходимости. Никто их наизусть и не помнит :-) Если вы усвоили несложное правило мотания головой и определения знака правой части, то любую формулу приведения восстановите с лёгкостью. Ну а в самом крайнем случае вам на помощь придут формулы сложения — их, конечно, надо знать назубок