Многошаговые методы. Метод Адамса. Если дифференциальное уравнение у'=f(х, у)имеет в правой части сложное аналитическое выражение, значение которого быстро изменяется при незначительном изменении аргумента, то рассмотренные выше одношаговые методы не дают желаемую точность вычислений. В таких случаях применяют многошаговые методы решения ДУ. К таким методам относятся экстраполяционный и интерполяционный методы Адамса. Интерполяционный метод Адамса. Пусть для дифференциального уравнения у'=f(х, у)заданы начальные условия х=х0, у=у0, а также известны или определены с помощью одношаговых методов ещё m точек искомой функции у1, у2, … уm. Требуется найти решение уравнения у'=f(х, у) на отрезке [а, b].
Разобьем отрезок [а, b] равномерно на n частей точками хi=х0+ h.i, i=0, 1,...,n, h = (b - а)/n. Выберем произвольно элементарный отрезок, на котором проинтегрируем дифференциальное уравнение
или
Если обозначить
,
то рекуррентная формула метода примет вид
уi+1=уi+уi.
Для нахождения производной воспользуемся второй интерполяционной формулой Ньютона. С учётом t= (х - хi)/h получим:
Подставим полученное выражение для у' в интегральное уравнение и, учитывая, что dх = hdt, имеем
где
Обозначим через qi=уi' h=f(хi, уi).h, , тогда для любой разности mqi=m (уi'h) имеем выражение
yi=qi+1/2.qi-1+5/12 .2qi-2+3/8.3qi-3+…+Сm.mqi-m+…,
используемое для получения решения уравнения
уi+1= уi+уi.
Две последние формулы являются основными в экстраполяционном методе Адамса.
Погрешность экстраполяционного метода Адамса можно оценить по формуле
,
где .
Для метода Адамса характерно убывание абсолютных величин конечных разностей. Этим обстоятельством обусловлен выбор m и h. Чем меньше h, тем ниже будет m – порядок конечных разностей. Однако это приводит к увеличению узловых точек, а значит и применению укороченных формул, что в свою очередь связано с ростом погрешности вычислений. Обычно m и h стараются подобрать так, чтобы последняя конечная разность, участвующая в вычислениях была практически постоянной. Обрывать формулу на практически постоянной разности удобно ещё из тех соображений, что это обстоятельство может быть использовано для текущего контроля вычислений.
Чаще всего применяется экстраполяционный метод Адамса ограниченный тремя конечными разностями.
уi+1 = уi +qi+1/2.qi-1+5/12 .2qi-2+3/8.3qi-3
Для начала процесса вычисления нужны четыре начальных значения у0, у1, у2и у3, которые можно определить любым известным методом. Далее, зная у0, у1, у2и у3, находят q0=hy0=h f(x0, y0); q2= hy2 =h f(x2, y2); q3 = hy3=h f(x3, y3); q4= hy4= hf(x4, y4)и составляют таблицу конечных разностей величин q (табл.)
Таблица 4.3 № п/п
| xi
| yi
| yi
| yi’=f(x0,y0)
| qi = hyi’
| Конечные разности
| 0
| x0
| y0
|
| f(x0,y0)
| —
| —
| —
| —
| 1
| x1
| y1
|
| f(x1,y1)
| q0
| q0
| 2q0
| 3q0
| 2
| x2
| y2
|
| f(x2,y2)
| q1
| q1
| 2q1
|
| 3
| x3
| y3
| y3
| f(x3,y3)
| q2
| q2
|
|
| 4
| x4
| y4
|
| f(x4,y4)
| q3
|
|
|
| 5
| x4
| y5
|
| ...
| ...
|
|
|
| ...
| ...
| ...
|
|
|
|
|
|
| Метод Адамса заключается в продолжении данной таблицы разностей с помощью формулы дляуi. Используя уже вычисленныеq3, q2, q1 иq0, расположенные в таблице диагонально, по формуле для уi получают, полагая n = 3,
у3 = q3 + 0.5q2 + (5/12). q1 + (3/8). q0,
у3 вносят в таблицу и находят у4 = у3+у3. Затем, используя х4 и у4находят f(х4,у4), q4, q3, q2 иq1, т.е. новую диагональ. По этим данным определяют значение у4, которое тут же вносят в таблицу, и находят у5 = у4 + у4.
Таблицу продолжают по описанному алгоритму до ее заполнения, вычисляя правую часть формулы при этом только один раз. Чтобы оценить погрешность полученного результата, можно применить правило Рунге или просто следить за третьими разностями qi, которые считаются постоянными. Этого можно добиться, выбирая h каждый раз такой, чтобы выражение для оценки погрешности было |3qi-1 - 3qi| < . На практике h выбирают из неравенства h4< , где - заданная точность решения.
Метод Рунге состоит в том, что сначала находится решение дифференциального уравнения при шаге h, а затем значение h удваивается и находится решение при новом шаге. Погрешность оценивается по формуле
= (2m - 1). |yn - y2n| ,
где yn- значение приближенного вычисления при двойном шаге; m - порядок метода.
Экстраполяционный метод Адамса (уточняющая формула). Алгоритм экстраполяционного метода Адамса можно представить в виде
где ;
.
Для применения экстраполяционной формулы Адамса на начальном этапе необходимо знать приближённое значение функции в точке xi+1. Для этого можно использовать интерполяционную формулу Адамса. Тогда экстраполяционная формула Адамса служит, как уточняющая в методе Адамса.
На практике поступают следующим образом:
по интерполяционной формуле Адамса вычисляют yi+1;
затем это значение уточняют с помощью экстраполяционной формулы;
если , то в качестве уточнённого решения принимается , иначе производится уточнение для по экстраполяционной формуле Адамса.
перейти в каталог файлов
| Образовательный портал
Как узнать результаты егэ
Стихи про летний лагерь
3агадки для детей |