ТВ-3.1 Гаусс. Нормальное распределение (распределение гаусса) непрерывная случайная величина

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАУССА)

НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

РАСПРЕДЕЛЕНА ПО НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ,

ЕСЛИ ЕЕ ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ ИМЕЕТ

СЛЕДУЮЩИЙ ВИД:

Здесь

μ = M(X) - математическое ожидание,

σ2 = D(X) - дисперсия,

σ = σ(X) – среднеквадрати-ческое отклонение Х.

Кривая Гаусса

График плотности вероятности

нормально распределенной величины

носит название

кривой Гаусса:

Интегральная кривая Гаусса

График ее функции распределения –

интегральная кривая Гаусса:

Введение нормированной нормальной величины

Для определения вероятности попадания нормальной СВ в некоторый интервал

требуется вычисление интеграла от f(x),

а этот интеграл не вычисляется в элементарных функциях.

Поэтому ИЗ бесконечного множества

нормальных величин

с разными μ и σ выделяют одну,

у которой

μ = 0, σ = 1.

НОРМИРОВАННАЯ НОРМАЛЬНАЯ ВЕЛИЧИНА

Такая нормальная величина называется нормированной и обозначается

Т.

Плотность вероятности нормированной нормальной величины

Функция распределения нормированной нормальной величины

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ Φ (t)

Приближенные значения Φ (t) для значений аргумента t ≥ 0 вычислены и указаны в специальной таблице

("табулированы").

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ F(X)

Значения функции распределения F(х)

произвольной нормальной величины

можно определить через

нормированную

путем

СПЕЦИАЛЬНОЙ

ЗАМЕНЫ

ПЕРЕМЕННОЙ:

Вероятность попадания значений нормальной величины в произвольный интервал

Для любой нормальной величины

формула имеет следующий вид:

P(a

Значения Φ находятся по таблице нормального распределения.

ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ

Вероятность того,

что значения нормальной величины

распределятся в окрестности ε

(« эпсилон »)

ее математического ожидания,

вычисляется по формуле:

ε = σ

Чем больше окрестность ε,

тем выше вероятность попадания в нее

значений

величины Х.

Найдем эту вероятность при значениях ε,

кратных σ.

ε = 2σ, ε = 3σ

2) ε = 2σ.

Аналогичный расчет дает вероятность

0,9544

(или 95,44%).

ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ

ПРАКТИЧЕСКИ ДОСТОВЕРНО,

ЧТО ВСЕ ЗНАЧЕНИЯ

НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ

ОКАЖУТСЯ В ОКРЕСТНОСТИ « 3σ »

ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ.

перейти в каталог файлов