Главная страница

Ответы. Подсказка Подумайте, чему может быть равна последняя цифра искомого числа. Решение


Скачать 96.5 Kb.
НазваниеПодсказка Подумайте, чему может быть равна последняя цифра искомого числа. Решение
АнкорОтветы.doc
Дата26.09.2017
Размер96.5 Kb.
Формат файлаdoc
Имя файлаОтветы.doc
ТипРешение
#20270
Каталог

С этим файлом связано 41973 файл(ов). Среди них: и ещё 41963 файл(а).
Показать все связанные файлы

  1. Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз.

Подсказка


Подумайте, чему может быть равна последняя цифра искомого числа.

Решение


При умножении на 5 последняя цифра не изменилась, значит, она была 0 или 5. Если бы последняя цифра была 0, то всё число было бы 0, а мы ищем натуральные числа. Значит, последняя цифра была 5. А всё число 25. Естественно, больше 25 это число быть не может, поскольку оно в 5 раз больше цифры, т.е. не может превышать 45.

Ответ


 25.


  1. Одно трехзначное число состоит из различных цифр, следующих в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одной и той же буквы. Другое трехзначное число, наоборот, состоит из одинаковых цифр, но в его названии все слова начинаются с разных букв. Какие это числа?

Подсказка


Заметьте, "числа равны" и "числа начинаются с одной и той же буквы"  — это два совершенно разных утверждения.

Решение


Эти числа, соответственно, 147 и 111. Задача решается простым перебором вариантов, которых не так уж много.

Ответ


 147 и 111.


  1. Напишите в строчку первые 10 простых чисел. Как вычеркнуть 6 цифр, чтобы получилось наибольшее возможное число?

Подсказка


Заметьте, первые 10 простых чисел составят 16-значное число.

Решение


Вот первые десять простых чисел, записанных подряд: 2357111317192329

Ответ


 Получится число 7317192329.


  1. Найдите двузначное число, которое в 5 раз больше суммы своих цифр.

Подсказка


Обратите внимание: искомое число должно делиться на 5.

Решение


Число, которое в 5 раз больше суммы своих цифр, должно делиться на 5. Значит, оно оканчивается на 0 или на 5. Однако на 0 оно оканчиваться не может, ибо в этом случае будет в 10 раз больше суммы своих цифр. Итак, искомое число можно записать в виде 10a + 5. Сумма цифр этого чиста равна a + 5. Значит, можно составить уравнение

10a + 5 = 5(a + 5).

Решив его, получим: a = 4, искомое же число 45.

Ответ


 45.


  1. Найдите числа, равные удвоенной сумме своих цифр.

Подсказка


Если первая цифра двузначного числа равна a, а вторая равна b, то само число равно 10a + b.

Решение


Легко заметить, что однозначных чисел, больших нуля, с требуемым свойством нет. Попробуем найти решение среди двузначных чисел. Если первая цифра двузначного числа равна a, а вторая равна b, то само число равно 10a + b. Имеем 10a + b = 2(a + b). Отсюда 8a = b, то есть a = 1, b = 8.

Можно показать, что других решений нет (идея: самое маленькое трёхзначное число — 100, а самая большая сумма трёх цифр 9 + 9 + 9 = 27). Но это на олимпиаде не требовалось.

Ответ


0; 18.


  1. Найдите двузначное число, которое вдвое больше произведения своих цифр.

Подсказка


Попробуйте составить уравнение для определения искомого числа.

Решение


Обозначим искомое число через 10a + b, тогда условие задачи примет вид:

10a + b = 2ab.

Это равенство может выполняться только при чётном b, т.е. b = 2c. Заменив в нашем уравнении b на 2c, получим

10a + 2c = 4ac,    или    5a + c = 2ac,    или    5a = (2a - 1)c.

Чтобы выполнялось последнее равенство, необходимо, чтобы соблюдалось одно из двух условий:

2a - 1 = 5    или    c = 5.

Если c = 5, то b = 10, что невозможно (b  — цифра). Это значит, что 2a - 1 = 5, откуда a = 3. Определив a, найдём: c = 3, b = 6, т.е. искомое число равно 36.

Ответ


 36.


  1. Отличник Поликарп составил огромное число, выписав подряд натуральные числа от 1 до 500:123...10111213...499500. Двоечник Колька стёр у этого числа первые 500 цифр. Как вы думаете, с какой цифры начинается оставшееся число?

Подсказка


Обратите внимание: Колька стирал цифры, а Поликарп записывал числа  — однозначные, двузначные, трехзначные.

Решение


Из 500 цифр, стёртых Колькой, на однозначные числа уйдёт 9 цифр, значит, на остальные останется 491 цифра. На двузначные числа уйдёт 90×2 = 180 цифр, значит, на остальные останется 311 цифр. Из этого количества цифр получится 103 трехзначных числа и ещё две цифры от 104го. Это значит, что интересующая нас цифра  — 3я цифра 104го трехзначного числа. Это число 203, значит, искомая цифра 3.

Ответ


 3.


  1. Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц?

Решение


Задачу можно решить простым перебором.
1) Если цифра единиц есть 0, то цифра десятков может принимать значения от 1 до 9.
2) Если цифра единиц есть 1, то цифра десятков может принимать значения от 2 до 9.
3) Если цифра единиц есть 2, то цифра десятков может принимать значения от 3 до 9.

9) Если цифра единиц есть 8, то цифра десятков может принимать значения только 9.
Следовательно, всего случаев 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45 чисел.


  1. Подряд выписаны все целые числа от 1 до 100. Сколько раз в этой записи встречаются цифры: а) нуль? б) единица; в)три?

Решение


Запишем решение в таблицу (записываем число цифр в соответствующей десятке).

 

Считаем нули

Считаем единицы

Считаем тройки

От 1 до 10

1

2

1

От 11 до 20

1

10

1

От 21 до 30

1

1

2

От 31 до 40

1

1

10

От 41 до 50

1

1

1

От 51 до 60

1

1

1

От 61 до 70

1

1

1

От 71 до 80

1

1

1

От 81 до 90

1

1

1

От 91 до 100

2

2

1

Ответ


а)11; б)21; в)20.


  1. Припишите к числу 10 справа и слева одну и ту же цифру так, чтобы полученное четырёхзначное число делилось на 12.

Решение


Пусть приписана цифра а. Тогда полученное число запишется в виде а10а. Поскольку это число делится на 12, то оно должно делиться и на 4, и на 3. Это в свою очередь означает, что а делится на 4, а  2а + 1  делится на 3. Это возможно лишь при  а = 4.

Ответ


4104.

  1. Незнайка взял у Пилюлькина книжку и сосчитал, сколько понадобилось цифр, чтобы пронумеровать все страницы, начиная с 1-й. У него получилось 100 цифр. Могло ли так быть, или Незнайка ошибся? Если могло, скажите, сколько было страниц, если не могло  — объясните почему.

Подсказка


Заметьте, номер последней страницы  — двузначное число. Почему?

Решение


При этих условиях номер последней страницы  — двузначное число (сумма цифр во всех двузначных и однозначных числах равна 9 + 90×2 > 100). Но все однозначные страницы дадут 9 цифр, т.е. нечётное число, а добавление любого количества страниц с двузначным номером прибавит чётное число цифр, т.е. оставит эту сумму нечётной, т.е. никак не равной 100. Значит, Незнайка ошибся.

Ответ


 Незнайка ошибся.

  1. Назовем число зеркальным, если справа налево оно читается так же, как слева направо. Например, число 78887– зеркальное. Найдите все зеркальные пятизначные числа, в записи которых используются только цифры1и0.

Решение


Заметим, что в старшем разряде не может стоять цифра 0. Значит, на первом и на последнем местах обязательно стоит цифра 1. Теперь несложно подсчитать, что задача имеет четыре решения– два решения с нулем в середине и два решения с единицей в середине (доказывать это учащиеся не обязаны).

Ответ


10001, 10101, 11011, 11111.


  1. На карточках записаны числа 415, 43, 7, 8, 74, 3 (см. рисунок). Расположите карточки в ряд так, чтобы получившееся десятизначное число было наименьшим из возможных.


Ответ




  1. У 2009 года есть такое свойство: меняя местами цифры числа 2009, нельзя получить меньшее четырехзначное число (с нуля числа не начинаются). В каком году это свойство впервые повторится снова?

Решение


Автор: Раскина И.В.

В 2010, 2011, ..., 2019 годах и в 2021 году в номере года есть единица, и если её поставить на первое место, число заведомо уменьшится. Число 2020 можно уменьшить до 2002. А вот число 2022 нельзя уменьшить, переставляя цифры.

Ответ


в 2022 году.


  1. Попробуйте прочесть слово, изображённое на рис. 1, пользуясь ключом (см. рис. 2).


Подсказка


Не напоминают ли вам элементы ключа уменьшенные фрагменты основного рисунка?

Решение


Ключ показывает, какие именно стрелки отходят из того места, где стоит буква, которую мы должны выбрать. В результате прочитывается слово КОМПЬЮТЕР.

Ответ


 КОМПЬЮТЕР.


  1. Дано трехзначное число ABB, произведение цифр которого  — двузначное число AC, произведение цифр этого числа равно C (здесь, как в математических ребусах, цифры в записи числа заменены буквами; одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным  — разные). Определите исходное число.

Подсказка


Подумайте, чему равно А.

Решение


Из условия задачи видно, что AC = C; тогда A = 1 и  BB = 10 + C, где C  — цифра. Последнее уравнение имеет единственное решение B = 4, C = 6. Значит, искомое число 144.

Ответ


 144.


  1. Робот придумал шифр для записи слов: заменил некоторые буквы алфавита однозначными или двузначными числами, используя только цифры 1, 2 и 3 (разные буквы он заменял разными числами). Сначала он записал шифром сам себя:  РОБОТ = 3112131233.  Зашифровав слова КРОКОДИЛ и БЕГЕМОТ, он с удивлением заметил, что числа вышли совершенно одинаковыми! Потом Робот записал слово МАТЕМАТИКА. Напишите число, которое у него получилось.

Решение


  Рассмотрим слово  РОБОТ = 3112131233.  В нём 5 букв и 10 цифр, так что все коды двузначные и определяются без труда. Напишем все двенадцать возможных кодов и те буквы, которые мы точно знаем:



  Теперь подумаем, как запишется слово  КРОКОДИЛ = БЕГЕМОТ.  Начинается оно с  Б = 13,  то есть  К = 1.  Теперь мы можем записать начало слова: 
КРОКО... = 13112112...
  Начинаем его читать как слово БЕГЕМОТ:  Б = 13,  Е ≠ 1,  то есть  Е = 11, а тогда  Г = 2,  иначе второе Е не получается. Ну а М начинается на 2, то есть  М = 2*.  Теперь посмотрим на конец слова, там ...OT, то есть ...1233. Это значит, что  Л = 3  и  И = 23,  а Д заканчивается на 1, то есть  Д = *1.  Звёздочка – единственная оставшаяся неразгаданной цифра.
  Разгадать её нетрудно:  31 = Р,  11 = Е,  так что  Д = *1 = 21.  Тогда  M = 22,  и мы раскрыли почти весь шифр:



  Теперь мы знаем всё, что нужно, чтобы записать шифром слово МАТЕМАТИКА, кроме одного – как шифруется буква А. Но раз Робот смог записать это слово, значит, для А должен найтись код. И этот код 32, ибо все остальные использованы.

Ответ


2232331122323323132.


  1. Какой должна быть следующая фигурка в ряду, изображённом на рисунке?


Подсказка


Не напоминают ли вам эти фигурки почтовые индексы?

Решение


Здесь нарисованы цифры, написанные шрифтом почтовых индексов и симметрично отражённые относительно правой вертикальной границы сетки. Фигурка справа "сделана" из цифры 6.


Ответ


 См. рисунок справа.




  1. Найдите ключ к "тарабарской грамоте"  — тайнописи, применявшейся ранее в России для дипломатической переписки: "Пайцике тсюг т "`камащамлтой чмароке"'  — кайпонили, нмирепяшвейля мапее ш Моллии цся цинсоракигелтой неменилти".

Подсказка


Известный венгерский математик Д.Пойа в таких случаях предлагал смотреть на условие задачи до тех пор, пока решение само не придёт в голову:

Найдите ключ к "тарабарской грамоте" - тайнописи, применявшейся ранее в России для дипломатической переписки:

Пайцике тсюг т "камащамлтой чмароке" - кайпонили, нмирепяшвейля мапее ш Моллии цся цинсоракигелтой неменилти.

Решение


Известный венгерский математик Д.Пойа в таких случаях предлагал смотреть на условие задачи до тех пор, пока решение само не придёт в голову. Последовав этому методу и присмотревшись к напечатанному условию задачи, можно заметить, что в зашифрованной фразе и фразе, предшествовавшей ей, все гласные буквы совпадают, а согласные  — распределены по парам и каждая буква из пары заменяет другую из той же пары. Это значит, что здесь зашифрована первая фраза условия задачи.

Ответ


 Зашифрована первая фраза условия задачи.


  1. В озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится пополам, и вместо одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый из получившихся лотосов делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было заполнено наполовину?

Подсказка


Обратите внимание, за сутки число лотосов удваивается.

Решение


Если вы прочтёте условие задачи внимательно, то поймёте, что озеро было заполнено наполовину через 29 суток. За сутки до того, как озеро заполнится, оно будет заполнено ровно наполовину.

Ответ


 Через 29 суток.


  1. У Джона была полная корзина тремпончиков. Сначала он встретил Анну и дал ей половину своих тремпончиков и еще полтремпончика. Потом он встретил Банну и отдал ей половину оставшихся тремпончиков и еще полтремпончика. После того, как он встретил Ванну и снова отдал ей половину тремпончиков и еще полтремпончика, корзина опустела. Сколько тремпончиков было у Джона вначале? (Что такое тремпончики выяснить не удалось, так как к концу задачи их не осталось.)

Решение


Заметим, что перед встречей с Ванной у Джона остался один тремпончик, так как полтремпончика составляли половину этого количества. Перед встречей с Банной у него было 3 тремпончика, так как половину этого количества составляли один и еще полтремпончика, то есть полтора. Аналогично получаем, что изначально было 7 тремпончиков.

Ответ


7 тремпончиков
перейти в каталог файлов
связь с админом