РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
СТЕРЖНЯ ПРИ ЦЕНТРАЛЬНОМ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ)
Центральное растяжение (сжатие) возникает в том случае, когда внешние сосредоточенные силы, распределенные нагрузки или их равнодействующие приложены вдоль оси стержня. Стержень – это брус (элемент конструкции) с прямолинейной осью, работающий на растяжение (сжатие). Сосредоточенные силы такие, которые передаются через малые площадки (давление шарика на кольцо подшипника; усилия, возникающие на кромке резца).
Распределенные нагрузки передаются через протяженные участки стержня (силы веса, инерции стержня; силы трения при нагружении составного стержня с прессовым соединением). В поперечных сечениях стержня возникает один внутренний силовой фактор – нормальная сила Nz.
Нормальная сила принимается положительной по знаку, если она растягивает стержень и наоборот. Положительная нормальная сила направлена от поперечного сечения стержня.
В каждой точке поперечного сечения стержня действуют нормальные напряжения σ, которые определяются по формуле
, (1.1)
где Nz – значение нормальной силы; F – площадь рассматриваемого поперечного сечения. Нормальные растягивающие напряжения принимаются по знаку положительными, сжимающие – отрицательными. Нормальные напряжения σ и упругие относительные деформации ε, возникающие в поперечном сечении стержня, взаимосвязаны законом Р. Гука
, (1.2)
где Е – модуль упругости материала при растяжении (сжатии). Для сталей среднее значение Е = 2∙105 МПа. Закон Р. Гука (1.2) справедлив, если рабочее напряжение σ не превышает предела пропорциональности материала при растяжении σпц.
При действии внешних сосредоточенных сил и распределенных нагрузок стержень на одних участках растягивается, на других – сжимается. Перемещение Δz рассматриваемого сечения стержня с абсциссой z вычисляется по закону Р. Гука в интегральной форме
, (1.3)
где EF – жесткость сечения при растяжении (сжатии) стержня.
Для обеспечения надежной работы элемента конструкции в виде стержня необходимо выполнение условия прочности:
наибольшие напряжения, действующие в опасном сечении стержня, не должны превышать допускаемых напряжений
, (1.4)
где [σ] – допускаемое напряжение.
В ряде случаев элемент конструкции в виде стержня должен быть не только прочным, но и достаточно жестким. Для этого должно выполняться условие жесткости: наибольшие перемещения Δzmax, возникающие при работе стержня, не должны превышать допускаемых перемещений [δ]
, (1.5)
Величина допускаемого перемещения [δ] обосновывается в каждом конкретном случае в соответствии с требованиями по жесткости конструкции.
С учетом указанных дифференциальных зависимостей можно сформулировать следующие правила контроля эпюр Nz и Δz:
- если в каком-то сечении стержня приложена сосредоточенная сила, то на эпюре Nz в этом же сечении должен быть скачок, равный приложенной силе, а на эпюре Δz – излом;
- в сечениях, где qz = 0 или Nz = 0, на эпюрах соответственно Nz или Δz наблюдаются экстремумы (максимумы или минимумы);
- кривизна эпюр Nz и Δz определяется знаками вторых производных; если и , то в правой системе координат эпюры Nz и Δz будут выпуклыми, в противных случаях – вогнутыми кривыми;
- на участках стержня, где эпюра Nz > 0, эпюра Δzвозрастает, а при Nz < 0 эпюра Δzубывает.
Варианты расчетно-проектировочной работы «РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ СТЕРЖНЯ
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ)» Задан ступенчатый стержень, нагруженный внешними сосредоточенными силами Pi и распределенными нагрузками qj .
При расчетах принять:
- распределенная нагрузка q=2 кН/см;
- q2 =0;
- длина l=50 см;
- сила Р=0,5ql=50 кН;
- модуль упругости материала стержня при растяжении Е=2105 МПа;
- предел текучести материала стержня σт =300 МПа;
- допускаемое перемещение []=210–4 м. Необходимо для ступенчатого стержня выполнить следующее.
1. Начертить индивидуальную расчетную схему стержня.
2. Построить эпюру нормальных сил Nz в долях Р.
3. Построить эпюру нормальных напряжений σz в долях P/F,
где F = πd 2/4 – площадь сечения диаметром d стержня.
4. Построить эпюру перемещений z в долях Pl/EF.
5. Найти диаметры поперечных сечений участков стержня из условия прочности при заданном коэффициенте запаса прочности nт.
6. Проверить и при необходимости обеспечить выполнение условия жесткости стержня.
Обобщенная расчетная схема стержня
Исходные данные
ЦНВ
| 1-я ЦНВ
| 2-я ЦНВ
| 3-я ЦНВ
| 4-я ЦНВ
|
| l1
| P1
| d1
| D2
| l2
| P2
| d3
| q1
| l3
| P3
| d4
| q3
| l4
| P4
| nт
| q4
| 1
| 2l
| –2P
| 2d
| 2d
| 2l
| 5P
| 0,5d
| –q
| l
| P
| 2d
| 0
| l
| 7P
| 2,0
| q
| 2
| 3l
| –P
| 3d
| 3d
| 3l
| –4P
| 2,5d
| 2q
| 4l
| 4P
| 3d
| –q
| 3l
| –8P
| 2,5
| 2q
| 3
| l
| 2P
| 4d
| 4d
| l
| 4P
| 1,5d
| –3q
| 2l
| –5P
| 4d
| 2q
| 1,5l
| 5P
| 3,0
| 3q
| 4
| 2l
| 3P
| 6d
| 6d
| 2l
| –3P
| 1,5d
| –2q
| 3l
| 3P
| 5d
| –2q
| 2l
| –6P
| 3,5
| 4q
| 5
| 3l
| –3P
| 2d
| 2d
| 3l
| –2P
| d
| 2q
| 2l
| –3P
| d
| 0
| l
| 6P
| 4,0
| –q
| 6
| 2l
| 4P
| 2d
| 2d
| 2l
| 3P
| 2d
| q
| l
| 2P
| 2d
| 3q
| 2l
| –4P
| 4,5
| –2q
| 7
| 4l
| –4P
| 8d
| 8d
| 4l
| –P
| 1,5d
| –q
| 3l
| –2P
| d
| –3q
| 1,5l
| 4P
| 5,0
| –3q
| 8
| l
| 5P
| 3d
| 3d
| l
| –2P
| 2d
| 3q
| 2l
| P
| 2d
| 4q
| 3l
| –2P
| 2,0
| –4q
| 9
| 1,5l
| 5P
| 5d
| 5d
| 1,5l
| P
| d
| –4q
| 3l
| –6P
| d
| –4q
| 4l
| 2P
| 3,0
| 5q
| 0
| l
| P
| d
| d
| l
| –5P
| 1,5d
| q
| 1,5l
| –4P
| d
| q
| 2l
| –10P
| 1,5
| 0
|
РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНАЯ РАБОТА
«РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ СТЕРЖНЯ
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ)» Задан ступенчатый стержень, нагруженный внешними сосредоточенными силами Pi и распределенными нагрузками qj. При этом:
d1 = d,
| l1 = l,
| P1 = 4P,
| q1 = –3q,
| d2 = d,
| l2 = l,
| P2 = –2P,
| q3 = –2q,
| d3 = 1,5d,
| l3 = 1,5l,
| P3 = –5P,
| q4 = q,
| d4 = 2d,
| l4 = 2l,
| P4 = 8P,
| nт = 2,5.
| При расчетах принять: распределенная нагрузка q=2 кН/см; q2 =0; длина l=50 см; сила Р=0,5ql=50 кН; модуль упругости материала стержня при растяжении (сжатии) Е=2105 МПа; предел текучести материала стержня σт =300 МПа; допускаемое перемещение []=210–4 м. Необходимо для ступенчатого стержня выполнить следующее.
1. Начертить индивидуальную расчетную схему стержня.
2. Построить эпюру нормальных сил Nz в долях Р.
3. Построить эпюру нормальных напряжений σz в долях P/F, где F = πd 2/4 – площадь сечения диаметром d стержня.
4. Построить эпюру перемещений z в долях Pl/EF.
5. Найти диаметры поперечных сечений участков стержня из условия прочности при заданном коэффициенте запаса прочности nт.
6. Проверить и при необходимости обеспечить выполнение условия жесткости стержня. Решение
1. Вычерчиваем индивидуальную расчетную схему стержня (рис. 1.3) в соответствии с цифрами номера варианта. 2. Определяем реакцию опоры из условия статического равновесия стержня ,
откуда получаем R = 4ql + 2P = +10P. 3. Используя метод сечений, определяем законы изменения нормальной силы на участках стержня. Первый участок: , . При = 0 ,
При = l . Второй участок: , .
Третий участок: ,
. При = 0 ,
При = 1,5l . Видно, что непрерывная функция меняет знак.
Следовательно, она принимает нулевое значение
при .
- индивидуальная расчетная схема стержня;
- эпюра нормальных сил;
- эпюра нормальных напряжений;
- эпюра перемещений.
Четвертый участок:
, . При z4 = 0 Nz4 = 12P
При z4 = 2l Nz4 = 12P – q·2l = 8P. По полученным значениям Nz строим эпюру нормальных сил. 4. Обозначаем площадь поперечного сечения стержня диаметром d через
F = πd 2/4 и выражаем через F площади поперечных сечений участков стержня: F1 = F; F2 = F; F3 = π(1,5d)2/4 = 2,25F; F4 = π(2d)2/4 = 4F. 5. Вычисляем нормальные напряжения, действующие в поперечных сечениях, на участках стержня.
Первый участок: .
При = 0 , при = l . Второй участок: . Третий участок: .
При = 0 , при = 1,5l .
Четвертый участок: .
При z4 = 0 σz4 = 3P/F, при z4 = 2l σz4 = 2P/F.
По полученным значениям σz строим эпюру нормальных напряжений в P/F. 6. Используя закон Р. Гука в интегральной форме, находим перемещения на участках стержня.
Первый участок: . При = 0 = 0 При = 0,5l
При = l . Второй участок: .
Перемещение начала координат второго участка равно
.
С учетом этого получаем .
При = 0 При = l . Третий участок: .
Перемещение начала координат третьего участка равно
.
С учетом этого находим .
При = 0
При = l
При = 1,5l .
Четвертый участок: . Перемещение начала координат четвертого участка равно
. С учетом этого получаем . При = 0 При = l При = 2l . По вычисленным значениям Δz строим эпюру перемещений в Pl/EF. 7. Вычисляем допускаемое нормальное напряжение
[σ] = σт / nт = 300 / 2,5 = 120 МПа,
где
σт = 300 МПа – предел текучести материала стержня при растяжении;
nт = 2,5 – коэффициент запаса прочности стержня. 8. Из условия прочности при растяжении (сжатии) стержня
вычисляем допускаемый диаметр
. 9. Проверяем выполнение условия жесткости стержня
. Видно, что условие жесткости не выполняется.
10. Определяем допускаемый диаметр из условия жесткости стержня
м = 112 мм.
Таким образом, окончательно принимаем: d1 = d = 112 мм;
d2 = d = 112 мм;
d3 = 1,5d = 168 мм;
d4 = 2d = 224 мм. При этих значениях поперечных размеров будет обеспечена как прочность, так и жесткость стержня.
перейти в каталог файлов
| Образовательный портал
Как узнать результаты егэ
Стихи про летний лагерь
3агадки для детей |