Главная страница
Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей
qrcode

ТЕОРИЯ-ТЕРВЕР 126. Таблица, характеризующая событие А


НазваниеТаблица, характеризующая событие А
АнкорТЕОРИЯ-ТЕРВЕР 126.doc
Дата13.01.2017
Размер2.79 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаTEORIYa-TERVER_126.doc
ТипДокументы
#4529
страница3 из 4
КаталогОбразовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей
Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей
1   2   3   4

74. Перечислите основные свойства функции плотности вероятности. Чем объясняется название «плотность вероятности»?

Св-ва плотности:

f(x)µ §

µ §

во всех точках, где ф-ция плотности непрерывна вып. равенство

f(x)=F’(x)

Поясним смысл назв. «плотность вероят-ти»

µ §

по т. о среднем интеграле, стоящ. в прав. части, равен µ §, где µ § некоторая точка из инт. µ §.

Отсюда µ §

Представим себе, что инт. µ §, стягив. к некоторой точке µ §, причем в этой точке функция f(x) непрерывна. Тогда µ § будет стремиться к числу f(µ §), и мы получим:

µ §

Отношение, стоящее под знаком предела, есть своего рода «вер-ть на ед-цу длины» интервала µ §. Предел этого отношения рассмотрим как плотность вероятности в самой т. µ §. Во всякой т. µ §, где f(x) непрер., число f(x) совп. с поним-й плотностью вер-ти в т. µ §. Что и требовалось доказать.
75. Показательный закон.

Случайная величина Х, принимающая только неотрицательные значения, распределена по показательному закону, если для некоторого параметра л›0 функция плотности имеет вид:

f(x)= лe-лx, xЎЭ0

График функции плотности

Функцию распределения найдем по формуле

F(x)=Sx0f(x)dt

Подставляя выражение для функции плотности, получим

F(x)=Sx0 лe-лtdt=-e-лt 0 1=1- e-лx, xЎЭ0


76. Как определяется равномерный закон распределения на отрезке [a, b]? Укажите формулу для функции плотности f(x), найдите соответствующую функцию распределения F(x) и постройте графики функции f(x) F(x).

Скажем, что случайная величина X, сосредоточенная на отрезке [a, b], равномерно распределена на этом отрезке, если ее функция плотности равна константе:

µ §

Значение постоянной с определяется из условия:

µ §

Графикf(x)

Связь между функцией распределения и плотностью вероятности дается форму-лой

µ §

Подставляя сюда функцию f(t), получим:

µ §


77. Возможно ли равномерное распределение на всей числовой оси? Чему равна вероятность Р(ca, d
1)Р(c
2) Р(cНепрерывная СВ Х имеет равномерный закон распределения на всей числовой оси, если ее плотность вероятности f(x) постоянна на всей числовой оси, т.е. f(x)=const.
78. Как определяется нормальный закон распределения на прямой? Укажите формулу для функции плотности f (x) , найдите соответствующую функцию распределения F(x) и приведите формулу для вычисления вероятности P(б ЎЬ X ЎЬ в ) .

Мы говорим, что непрерывная случайная величина Х подчиняется нормальному закону распределения, если она имеет плотность вероятности следующего специального вида:

µ §, где

А, µ § и а ЁC постоянные, причем А>0, µ §>0.
Стандартная запись функции плотности нормального закона распределения.

µ §
Найдем функцию распределения нормальной случайной величины.

Общая формула:

µ §

Заменим µ § на z. Получим µ §, где

µ §есть функция Лапласа.

Таким образом, функция распределения нормальной случайной величины:

µ §µ §
µ §
79. Запишите плотность распределения нормальной случайной величины x, для которой М(x)=m, D(x)=д2. Как изменится график плотности распределения, если: а) увеличится m, б) увеличится д?

µ §

а) известно, что графики функций f(x) и f(x-a) имеют одинаковую форму: сдвинув график f(x) в положительном направлении оси x на а единиц масштаба при а<0 получим график f(x-a). Отсюда следует, что изменение величины параметра m (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к её сдвигу вдоль оси Ох. При увеличении m график плотности сдвинется вправо.

2) Исследуем функцию на экстремум.

µ §

f’(x)=0 при x=m

При x=m функция имеет максимум

µ §

С возрастанием д максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси Ох.

80. Как вычисляется математическое ожидание в случае распределения с плотностью f(x)? Может ли для какой-либо абсолютно непрерывной случайной величины не существовать математического ожидания? Ответ обоснуйте.

Математическое ожидание абсолютно непрерывной СВ Х с функцией плотности f(x) определяется равенством: М(Х)= интеграл xf(x)dx от минус беск до плюс беск

Мат. ожиданием случайной величины Е называется число µ §. Если указанный справа предел не существует, то мат. ожидание величины х также считается несуществующим.

Если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество возможных значений, то µ §, причем мат. ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Т.к. ряд может и расходиться, то соотв. случайная величина может и не иметь мат. ожидания. На практике, как правило, множество возможных значений случайной величины распространяется лишь на ограниченный участок оси абсцисс и, значит, мат. ожидание существует.
81. Как вычисляется дисперсия в случае распределения с плотностью f (x)? Докажите, что для случайной величины X с плотностьюµ §дисперсия D(X ) не существует, а математическое ожидание M(X ) существует.

Дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины.

Дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины X с функцией плотности f(x) и матема-тическим ожиданием m = M(X) определяется таким же равенством, как и для дискретной величины

Из равенства (5.26) следует, что справедлива следующая формула

Поскольку формула (5.29) может быть записана в следующем виде

то формулу (5.30) можно представить таким образом


В случае когда абсолютно непрерывная случайная величина X сосредоточена на промежутке [a, b], формулы (5.30), (5.32) примут вид

.

Дисперсия непрерывной случайной величины определяет степень рассеивания значений, прини-маемых случайной величиной, вокруг ее математического ожидания.

Среднее квадратичное отклонение, или стандартное отклонение, непрерывной случайной ве-личины X определяется так же, как и для дискретной случайной величины:


4°. Свойства математического ожидания и дисперсии.

Для математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины X сохраняются свойства числовых характеристик дискретной случайной величины. Напомним эти свойства.

4. Постоянный множитель выносится из под знака дисперсии в квадрате.

5. Если к случайной величине прибавить константу, то дисперсия не изменится.

6. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Это не полное т.к. доказать не могу=(
82. Выведите формулу для нахождения мат. ожидания и дисперсии случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a; b].

C.В. Х, сосредоточенная на [a;b], равномерно распределена на этом отрезке, если её функция плотности равна константе: f(х)=с (const), aЎЬхЎЬb.

Значение постоянной с определяется из условия: ЃзЃ‡-Ѓ‡ f(х)dх=1, которому удовлетворяет любая плотность вероятности. В данном случае это условие принимает вид: с(b-a)=1, откуда следует, что с=1/(b-a).

М(Х)= Ѓзba хf(х)dх= Ѓзba сdх, т.к. для абсолютно непрерывной С.В. Х с непрерывной плотностью f(х) М(Х)= Ѓзba хf(х)dх.

Т.к. с=1/(b-a), то М(Х)=с*х2/2 |ba = c*(b2-a2)/2=(b+a)/2. Таким образом мы получили, что числу М(Х) соответствует середина [a; b].

Для нахождения дисперсии воспользуемся формулой, где D(Х)= Ѓзba х2f(х)dх- m2, где m=M(Х).

D(Х)= 1/(b-a) Ѓзba х2dх ЁC ((a+b)/2)2= 1/(b-a)*(b3-a3)/3 - ((a+b)/2)2= (b2+ab+a2)/3 - ((a+b)/2)2= (b-a)2/12.
Таким образом, М(Х)=(b+a)/2, а D(Х)= (b-a)2/12.

83. Объясните (с доказательством) вероятностный смысл параметра m в формуле µ § для функции плотности случайной величины Х, распределенной по нормальному закону.

Формула µ §описывает плотность нормального распределения вероятностей непрерывной с.в..

Как видно, нормальное распределение определяется двумя параметрами: m и µ §. Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Докажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: m есть математическое ожидание.

По определению математического ожидания непрерывной с.в.,

µ §Введем новую переменную µ §. Отсюда µ §. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

µ §

Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно m (интеграл Пуассона µ §).

Итак, M(X)=m, т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру m.
84. Объясните (с доказательством) вероятностный смысл параметра у в формуле для функции плотностиµ § случайной величины, распределенной по нормальному закону.

Докажем, что µ §- среднее квадратическое отклонение нормального распределения.µ § Введем новую переменную z==(хЎЄm)/µ §. Отсюда µ §.Приняв во внимание, что новые пределы инте­грирования равны старым, получим µ § Интегрируя по частям, положив u=z, µ §найдем µ § Следовательно, µ §.Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру µ §.
85. Докажите, что для случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром µ §, математическое ожидание µ §

Найти числовые характеристики случайной величины X, распределенной по пока-зательному закону с плотностью µ §§

Решение. Для нахождения математического ожидания воспользуемся формулой

M(X)=§ µ §

Найдем интеграл методом интегрирования по частям, полагая u = x, dv = eЁCлxd(лx), так что du = dx, v = ЁCeЁCлx. Получим §µ §

Таким образом, M(X)=µ §

86 Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [a,b]. Можно ли для любых m и д>0 подобрать параметры a и b так, чтобы M(x)=m, D(x)=д2? Как по m и д найти a и b?
СВ Х, сосред. на [a,b] называется равном. распередёлнной, если её µ § на [a,b].

µ § µ § докажем это

µ §

µ §

µ §

Если M(x)=m, а D(x)= д2 и m, д>0 ЁC любые, тогда мы всегда можем подобрать параметры a и b, чтобы выполнялось это условие.

Пример: пусть m=3, д=4 ЁC тогда µ § µ § ; µ § µ §

µ §; µ §; µ §; µ §
87.Что такое правило µ §для нормального распределения? Верно ли, что для любой нормальной случайной величины Х существует отрезок µ §, для которого µ §? Ответ обоснуйте.

Правило трех сигм ЁC отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания будет не более трех средних квадратических отклонений (по абсолютной величине). Правило трех сигм применимо для большинства СВ, встречающихся на практике. P (|X-a|<=3сигма) для нормального закона = 0,9973. Для равномерного закона =1. Для показательного = 0,9827 и т.д.

Для нормально распределенной с.в.Х справедлива формула µ §

Преобразуем эту формулу, приняв µ § В итоге получим

µ §

Если t=3 и, следовательно, µ §, то µ §, т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.
2. Верно.
88. Формулируйте определение начальных µ § моментов случайной величины. Докажите, что если Х и У независимые случайные величины, то µ §

Начальным моментом порядка k (k принадлежит N), свободная величина Х называется мат.ожиданием k-й степени Х.

µ §

Центральным моментом порядка k СВ Х называется мат.ожидание k-й степени отклонения:

µ §

µ §

µ §

Теорема: если Х и У независимые СВ, то µ §

Док-во:

µ §

89. Пусть µ § - начальные, а µ § - центральные моменты некоторой случайной величины.

Докажите, что:µ §

Докажем связь начальных и центральных моментов:

µ §

90. Сформулируйте определение асимметрии As(X ) случайной величины X и укажите ее основные свойства. Что характеризует асимметрия случайной величины?
Определение. Асимметрией распределения называют отношение третьего центрального момента к кубу стандартного отклонения:

µ §

Замечание. Асимметрия случайной величины X совпадает с третьим начальным (центральным) моментом соот-ветствующей нормированной случайной величины.

Действительно, по определению

µ §
Свойство 1. Асимметрия и эксцесс инвариантны относительно линейной замены случайной ве-личины:

µ §

Таким образом, асимметрия и эксцесс не меняются при сдвигах и растяжениях и их можно ис-пользовать в качестве характеристик формы распределения.

Свойство 2. Для независимых случайных величин X1, ЎK, Xn имеем µ §
µ §, µ §

Заметим, что в случае одинаково распределенных независимых случайных величин X1, ЎK, Xn асимметрия и эксцесс их суммы стремится к нулю, когда n Ўж µ §
91. Сформулируйте определение эксцесса Ex(X) случайной величины X и укажите его основные свойства. Чему равен эксцесс для нормального распределения?

Эксцессом распределения назыв. величина:

µ §

для норм. распределения Ex=0 (поскольку для станд. норм. распред. N(0,1) µ §)

Св-ва:

1µ §

2µ §

µ §

i=1,ЎK,n

µ § им. один дисперсию, то

µ §

В случае одинаково распред. нез. сл. вел µ §

µ §

92 Найдите асимметрию и эксцесс равномерного распределения на отрезке [а,b].

Тк As и Ex не меняются при меняющихся заменах, а любое равномерное распределение на отрезке может быть получено линейной заменой из любого другого равномерного распределения, например, из равномерного распределения на отрезке, то достаточно посчитать As и Ex для этого распределения.

As=м3/у3, у=ЃгD, м3=M[(x-M(x)3]

Ex= м4/у4-3

Плотность fx=1/(b-a)=1, м3= Sb a fx(t)tdt== Sb a tdt=t2/2 в пределах от a до =(b-a)2/2

D== Sb a fx(t)t2dt=(b-a)3/3

у=ЃгD=Ѓг(b-a)3/3 

As=м3/у3=((b-a)2/2)/( Ѓг(b-a)3/3 )

Ex= м4/у4-3=((b-a)5 /5)/(( b-a)3/3)2 - 3

м4= M[(x-M(x)4] fx(t)tdt= Sb a t4dt=(b-a)5 /5
93.Что называется системой случайных величин? Сформулируйте определение функции распределения двумерного случайного вектора (Х,Y) и дайте его геометрическую интерпретацию.

Определение. Упорядоченная пара случайных величин (X, Y), определенных на одном и том же пространстве элементарных событий §Щ, называется системой случайных величин, двумерным случайным вектором или двумерной случайной величиной.

Определение. Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называется ве-роятность совместного выполнения двух событий X < x и Y < y
µ §

Геометрической интерпретацией может служить рис, на котором значением функции распределения может служить вероятность попадания случайной величины (X, Y) в бесконечный квад-рант Q(x, y) с вершиной в точке (x, y), лежащий левее и ниже ее.

94. Сформулируйте основные свойства функции распределения случайного вектора (Х,У) и приведите примеры двумерной функции распределения.
0ЎЬF(x) ЎЬ 1 вытекает из вероятностного смысла функции распределения.

F(x)-неубывающая функция, т.е. µ §

Следствие 1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определённое значение, равна нулю, т.е. Р(Х=х1)=0.

=F(b)-F(a)/

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определённое значение, равна нулю, т.е. Р(Х=х1)=0.

Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a;b), то 1) F(x)=0, х ЎЬa, 2) F(x)=1, х ЎЭ b.

Следствие: Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливо равенство: µ § µ §

Свойства функции совместного распределения

Для простоты обозначений все дальнейшие рассуждения и формулировки приводятся в случае n=2 для случайного вектора µ §

1) µ §

2) µ § не убывает по каждой координате вектора µ §.

3) Для любого i=1,2 существует µ §
Для любого i=1,2 существует µ §
При этом µ §

4) Функция µ §по каждой координате вектораµ § непрерывна слева.
Функция, дающая для любой пары значений x, y вероятность того, что случайная величина Х будет меньше или равна x, а случайная величина Y меньше или равна y:
F(x,y) = P(Xµ §x; Yµ §y).
Примечание. Это понятие можно легко обобщить на большее число случайных величин.

Лапласа-Гаусса
95. Какой случайный вектор называется абсолютно непрерывным? Укажите основные свойства функции плотности распределения двумерного случайного вектора. Как можно найти непрерывную функцию плотности распределения двумерного случайного вектора, если известна его функция распределения? Укажите функцию плотности для равномерного распределения в круге радиуса R.

Случайный вектор называется абсолютно непрерывным, если существует µ §- плотность распределения, такая, что:

µ §

Свойства f(x;y):

f(x;y) ЁC неотрицательная

µ §dxdy=1

µ § В точке непрерывности µ §

Если F(х;у) известна => µ § - в точках непрерывности f(x,y).

Пример: Случ вектор (Х;У) равномерно распределен в круге радиуса R.

Найти функцию плотности.

µ § кругу (if = если)

µ §

µ §

µ §кругу
96. Как найти функцию распределения µ §двумерного случайного вектора (X,Y), если известна функция плотности распределения f µ §? Укажите функцию распределения µ §для случайного вектора (X,Y), равномерно распределенного в прямоугольнике со сторонами a и b.

Ответ:

По св-ву плотности распределения следует:

µ §

Равномерное распределение в прямоугольнике =>

F(x,y)= µ §

1 = µ §

µ §

F(x,y)= µ §

F(x,y)= µ §т.к. иначе F(x,y), x>m+b, y>n+a, F(x,y)=1, x
= µ §=

= µ §(x(y-n)-m(y-n))= µ §(xy-xn-ym+mn).
97. Как найти функцию плотности fx(x) и fy(y) компонент Х и Y, если известна функция плотности fX,Y(x,y) двумерного распределения (Х,Y)?
Для того чтобы найти функцию распределения компоненты при известной функции распределения двумерного распределения. Необходимо проинтегрировать данную функцию распределения по противоположной компоненте, т.е.

fx(x)= µ § и соответственно наоборот.
f(x,y)= µ §µ §

fx(x)= µ §= 1/36µ §=µ §
98. Как можно найти функцию ( , ) , f x y X Y плотности распределения случайного вектора (X,Y) с независимыми компонентами X и Y , если известны их плотности распределения f (x) X и f ( y) Y ? Будут ли независимыми компоненты случайного вектора (X,Y) , равномерно распределенного в прямо-

угольнике a ЎЬ x ЎЬ b, c ЎЬ y ЎЬ d ? Ответ обоснуйте.

По определению:

Компоненты Х и У абсолютно непрерывного случайного вектора называются независимыми, если

µ §

Пример: прямоугольник µ §, в котором вектор (х,у) равномерно распределен.

F(x;y)=µ § иначе

При решении уравнения µ §найдем µ §

µ §

а)µ §

б)µ §µ §

µ §

Аналогично для µ §

µ §

Компоненты Х и У - независимые
99. Как можно найти функцию распр Fx,y(x,y) случайного вектора (X,Y) с независимыми компонентами X и Y, если известны их ф-ии распр FX(x) и FY(y)?

Если X и Y ЁC независимые компоненты случ вектора (X,Y) и известна их ф-ия распр FX(x) и FY(y), то его ф-ия распр Fx,y(x,y)= FX(x)*FY(y). Обоснование.

Пусть A=(X
100. Как найти математическое ожидание функции , где Х,У ЁC компоненты случайного вектора (Х,У)? Как определяются начальные k,l и центральные k,l моменты случайного вектора (Х,У)?

Для математического ожидания функции ф(х, у) от компонент случайного вектора (X, Y) справедлива формула

µ §

Мы видели, что в одномерном случае основные числовые характеристики случайной величины выражались через начальные и центральные моменты. Дадим аналогичное определение для случайного вектора.
Началъным моментом порядка (к, 1} называется математическое ожидание функции хку':

µ §

(1)

Центральным моментом порядка (к, Г) называется математическое ожидание функции (х-тх) \y-mY) ,где тх = М(Х), mY = M{Y):

Числа к и l характеризуют порядок момента по отношению к каждой компоненте случайного вектора. Число r = к + l называют суммарным порядком момента. Соответственно суммарному порядку моменты можно разделить на моменты первого, второго и т.д. порядка. Мы рассмотрим более подробно моменты первого и второго порядка.

Первые начальные моменты - это нам уже знакомые математические ожидания случайных величин X и Y.

Аналогично,

Точка с координатами (М(Х), M(Y)) характеризует центр системы случайных величин, вокруг которого происходит рассеивание возможных значений.

Кроме первых моментов широко применяют вторые централь­ные моменты, которые бывают трех типов. Два из них дают знакомые нам дисперсии компонент X и Y:

которые характеризуют рассеивание возможных значений случайных величин X и 7 вдоль осей х и у.

Особую роль в определении взаимодействия компонент играет второй смешанный центральный момент


Мы уже рассматривали эту характеристику дискретных систем случайных величин, которую называли ковариацией. Она имеет важное значение и для непрерывных случайных векторов.
101.Каков смысл начальных и центральных моментов двумерного случайного вектора (X,Y)?Ответ обоснуйте.

Первые начальные моменты ЁC это математические ожидания случайных величин Х и У.

, аналогично

Точка с координатами (М(Х),М(У)) характеризует центр системы случайных величин, вокруг которого происходит рассеивание возможных значений. Кроме первых моментов широко используют вторые центральные моменты, которые бывают трех типов. Два из них дают знакомые нам дисперсии компонент Х и У:

которые характеризуют рассеивание возможных значений случайных величин X и 7 вдоль осей х и у.

Особую роль в определении взаимодействия компонент играет второй смешанный центральный момент


102.Дайте определение корреляционной и ковариационной матриц для системы случайных величин Х1,Х2ЎKХn и сформулируйте их основные свойства.

Для набора случайных величин X1, X2, ЎK, Xn ковариационной матрицей и корреляцион-

ной матрицей называют квадратные матрицы порядка n, составленные из всех парных ко-

вариаций и всех коэффициентов корреляции
Пусть C ЁC ковариационная матрица случайных величин ЁC произвольный ненулевой вектор констант. Тогда для случайной величины
выполняется соотношение

при этом условие равносильно равенству , означающему вырожденность матрицы C.

Ковариационная и корреляционная матрицы всегда симметричны и неотрицательно определены,

поэтому их определители неотрицательны:

Определитель корреляционной матрицы удовлетворяет также дополнительному ограничению:
103. Как найти ковариацию Сov(X,Y) случайных величин X и Y , если известна функция плотности µ §

двумерного распределения (X;Y)? Верно ли, что из равенства Сov(X,Y)=0 вытекает независимость X и Y , если (X;Y) ЁC двумерный нормальный случайный вектор?

Ковариацией или корреляционным момен­том случайного вектора (X, Y) называют величину

Cov(X, Y) = µ §

Ковариация обладает следующими свойствами:

1. Соv(Х, Y) = M(XY) - M(X)M(Y).

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Соу(Х, X) = D(X).

D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y).

Если X и Y независимы, то Cov(X, Y) = 0.

Cov(X, Y) = Cov(Y, X).

Cov(aX,Y) = Cov(X,aY) = aCov(X, Y).

Coy(X+Y, Z) = Cov(X, Z) +Coy(Y,Z).

Cov(X, Y+ Z) = Cov(X, Y) + Cov(X, Z).
Если Cov(X, Y) = 0, то случайные величины X и Y называются некоррелированными. Таким образом, согласно свойству 4 из неза­висимости X и Y следует их некоррелированность. Обратное ут­верждение неверно.
104. Укажите формулу для плотности распределения случайной величины Y +X= Z , если ( X,Y) ЁC двумерный случайный вектор с функцией плотности f(x,y) и независимыми компонентами X и Y . Приведите пример ее применения.
µ §
если даны 2 независ. случ. величины Х и У, распределённые равномерно соответственно на отр-ках [0,m] и [0,n] (m<=n), то можно найти функцию плотности Z=X+Y.

Z сосредоточена на отр-ке [0,m+n], формула принимает вид

µ §
При µ §:

µ §

При µ §

µ §
При µ §
µ §

1   2   3   4

перейти в каталог файлов

Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей

Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей