Главная страница
Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей
qrcode

ТЕОРИЯ-ТЕРВЕР 126. Таблица, характеризующая событие А


НазваниеТаблица, характеризующая событие А
АнкорТЕОРИЯ-ТЕРВЕР 126.doc
Дата13.01.2017
Размер2.79 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаTEORIYa-TERVER_126.doc
ТипДокументы
#4529
страница4 из 4
КаталогОбразовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей
Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей
1   2   3   4


105. Как определяются условные законы распределения для дискретных случайных величин X и Y?

Мы можем найти зависимость СВ через условные законы распределения, т.е. закона распределения одной СВ, при условии, что др. СВ приняла определенное значение.

Если СВ X и Y дискретные, то их условные законы распр-я могут быть определены, используя теорию умножения вероятностей P(X=µ §| Y=µ §)=µ §, для всех µ §, таких что µ §>0 определяет усл. распределение ДСВ x, при условии µ §.

P(Y=µ § | X=µ §)= µ §, для всех µ §, таких что µ §>0 опред. условие распр-е ДСВ y, при условии µ § .
106 Сформулируйте определение условной ф-ии распр СВ Х при усл Y=y. Как определяется условная плотность f(y|x) распределения? Чему равна f(y|x), если СВ X и Y независимы?

Набор вероятностей fx|y(xk|yk)=P(X=xk|Y=yl)={P(X=xk,Y=yl)}/P(Y=yl) для всех yl, таких, что P(Y=yl)>0 определяет условное распределение дискретной СВ Х при условии Y=yl. Аналогично для определения условного распр Y при условии X=xk. Если X и Y независимы, то fX|Y(xk|yy)=fX(xk); fY|X(yl|xk)=fY(yl).
107. Как определяется условное математическое ожидание непрерывной слу-

чайной величины Y при условии X = x и математическое ожидание слу-

чайной величины X при условии Y = y? Докажите, что M(M(X |Y))= M(X )

и M(M(Y | X ))= M(Y).
Определение. Условным математическим ожиданием случайной величины Y при условии, что случайная величина X приняла значение x, называется величина

.

Аналогично определяется условное математическое ожидание X при условии, что Y = y

.

Заметим, что, вообще говоря, условное математическое ожидание, определенное формулой (7.41), не является числом, а выражается в виде некоторой функции, зависящей от x. Более того, каж-дую из функций (7.41), (7.42) можно рассматривать соответственно как функцию от случайной вели-чины X и Y. Поэтому можно найти их математическое ожидание

Сформулируем полученное соотношение в виде теоремы.

Теорема 7.3. Выполняются следующие соотношения

Если не прибегать к излишней строгости, соотношения (7.43) и (7.44) можно выразить словами: «Математическое ожидание от условного математического ожидания дает математическое ожидание исходной величины».
108. Сформулируйте и докажите неравенство Чебышева.

Неравенство Маркова: если x„d0, a>0, то P(X„da) „T M(X)/a

Н-во Чебышева: пусть X ЁC СВ, у кот есть M(X)=m и D(X)=a, тогда ѓp ѓХ>0 справедливо н-во

P(|X-m|„dѓХ) „T D(X)/ѓХ2 Док-во: P(X„dѓХ) „T m/ѓХ - н-во Маркова. |X-m|„dѓХ; (X-m)2/ѓХ2„d1;

P(|X-m|„dѓХ) = P((X-m)2/ѓХ2„d1) „T M((X-m)2/ѓХ2) = 1/ѓХ2 M((X-m)2) = D/ѓХ2; P(|X-m|„dѓХ)„T D(X)/ѓХ2.
109. Используя н-во Чебышева, сформулируйте и док-те «правило трех сигм» для произвольной СВ X.

Н-во Чебышева: пусть X ЁC СВ, у кот есть M(X)=m и D(X)=a, тогда ѓp ѓХ>0 справедливо н-во

P(|X-m|„dѓХ) „T D(X)/ѓХ2. Противоположное событие: 1 - P(|X-m|„dѓХ) „d 1 - D(X)/ѓХ2; P(|X-m|<ѓХ) „d1 - D(X)/ѓХ2.

Правило 3ѓг: Пусть ѓХ=3ѓг: P(|X-m|<3ѓг) „d 1-ѓг2/9ѓг2 = 8/9.

110. Сформулируйте и докажите теорему Чебушева для бесконечной последовательности случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, ограниченными одним и тем же числом.

1°. Теорема Чебышева. Неравенство Чебышева позволяет доказать ряд важных теорем, объе-диненных одним общим названием "закон больших чисел". Основная из этих теорем принадлежит самому П.Л. Чебышеву.

Теорема 10.1. (теорема Чебышева). Пусть имеется бесконечная последовательность X1, X2, ЎK независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием m и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной:

Тогда, каково бы ни было положительное число , вероятность события

стремится к единице при

Доказательство. Положим,

.

В силу свойств математического ожидания имеем:

.

Далее, так как величины независимы, то

.

Сопоставив полученное неравенство с неравенством Чебышева:

,

будем иметь:

Это показывает, что с ростом n вероятность события стремится к 1.

Смысл теоремы Чебышева можно пояснить следующим примером. Пусть требуется измерить некоторую физическую величину m. В силу неизбежных ошибок результат измерения будет случай-ной величиной. Обозначим эту величину X; ее математическое ожидание будет совпадать с измеряе-мой величиной m, а дисперсия равна некоторой величине D (характеризующей точность измеритель-ного прибора). Произведем n независимых измерений и обозначим:

X1 ЁC результат первого измерения;

X2 ЁC результат второго измерения

и т.д. Совокупность величин X1, X2, ЎK, Xn представляет собой систему n независимых случайных ве-личин, каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и сама величина X. Среднее ариф-метическое этих величин тоже является, конечно, случайной величиной. Однако с увеличением n эта величина почти перестает быть случайной, она все более приближается к постоянной m. Точная количественная формулировка этой близости состоит в том, что событие становится как угодно достоверным при достаточно большом n.

Тем самым оправдывается рекомендуемый в практической деятельности способ получения бо-лее точных результатов измерений: одна и та же величина измеряется многократно, и в качестве ее значения берется среднее арифметическое полученных результатов измерений.

Близость к M(X) среднего арифметического опытных значений величины X уже подчеркивалась нами при самом введении понятия математического ожидания. Однако соответствующее рассуждение относилось только к дискретным случайным величинам; кроме этого, само высказывание о близости мотивировалось соображениями эмпирического характера. В противоположность этому теорема Че-бышева дает точную характеристику близости среднего арифметического к M(X) , и притом для любой случайной величины.
111 Сформулируйте и докажите теорему Бернулли (закон больших чисел).
Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если µ § - сколь угодно малое поло­жительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство µ §. Доказательство. Обозначим через Х1 дискретную случайную величинуЎЄчисло появлений события в первом испытании, через Х2ЎЄво втором, ..., ХnЎЄв n-м испы­тании. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие А наступило) с вероят­ностью р и 0 (событие не появилось) с вероятностью 1ЎЄр=q. Можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева? Можно, если случайные величины по­парно независимы и дисперсии их ограничены. Оба усло­вия выполняются. Действительно, попарная независимость величин X1, Х2, . . ., Хn следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины Xi (i= 1, 2, . .., n) равна произведению pq, так как p+q=1,то произве­дение pq не превышает 1/4 и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом С =1/4. Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рас­сматриваемым величинам, имеем µ § Приняв во внимание, что математическое ожидание а каждой из величин Xi (т. е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно ве­роятности р наступления события, получим µ § Остается показать, что дробь (X1+X2+ЎKXn)/n равна относительной частоте т/п появлений события А в испытаниях. Действительно, каждая из величин X1,X2,ЎKXn при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следовательно, сумма X1+X2+ЎK+Xn равна числу m появления события в n испытаниях, а значит, µ § Учитывая, это равенство, окончательно получим

µ §. Итак, теорема Бернулли утверждает, что при µ §относительная частота стремится по вероятности к p.
112. Сформулируйте центральную предельную теорему. Укажите примеры ее применения.

ЦПТ для одинаково распределенных СВ: Пусть X1ЎKXn ЁC последовательность независимых одинаково распределенных СВ M(X1)=ЎK=M(Xn)=m<+„f; D(X1)=ЎK=D(Xn)=ѓг2<+„f, тогда закон распр СВ

Sn = (x1+ЎK+xn ЁC nm)/Ѓгnѓг, тогда Sn стремится к стандартному нормальному закону при nЎж„f {µ §

Применение: При измерении какой-либо физ величины на результат влияет огромное кол-во факторов. Каждый из этих факторов порождает ничтожную ошибку Xk. Результирующая ошибка Sn будет суммой величин Xk, то есть вся сумма Sn будет иметь закон распределения, близкий к нормальному. Сл-но, случайная ошибка измерения подчиняется нормальному закону распр: мат ожидание равно нулю, среднее квадратич откл ЁC характеризует точность измерения. Др. пример: массовое производство. Изготовляются большие партии однотипных изделий, где каждое должно соответствовать стандарту. Но есть отклонение от стандарта, кот порождаются причинными случайного хар-ра (Xk). Sn имеет норм распр.
113. Сформулируйте центральную предельную теорему для одинаково распределенных случайных величин и приведите пример ее применения.

Если x1 , ЎK xn - последовательность независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией б2 , то при неограниченном увеличении n закон распределения нормализованной суммы неограниченно приближается к нормальному.

114. Используя центральную предельную теорему, обоснуйте интегральную формулу Лапласа.

µ § Х ЁC биномин. Случайная величина с параметрами n и p

Если Х ЁC случайная величина, явл-ся суммой большого числа независимых случайных величин, то случайная величина Х-МХ/тх имеет распределение, близкое к стандартному нормальному, т.е.

Р{бЎЬX-MX/тxЎЬв} = µ §=Ф(в)-Ф(б) Х ЁC число успехов в серии из n испытаний Х=Х1+Х2+ЎKХn

Где Хi=0, если в i-ом успеха не было, 1, если успех был. Р{бЎЬ(X-np)/ЃгnpqЎЬв}= Ф(в)-Ф(б)

Р{np+бЃгnpqЎЬxЎЬnp+вЃгnpq}
115. Как вводятся основные характеристики статистической совокупности (выборки): среднее, дисперсия, центральные моменты высших порядков,


асимметрия, эксцесс? Какие из перечисленных характеристик остаются неизменными при линейных преобразованиях x Ўж ax + b?

Определение. Центральным моментом порядка k (k е N) случайной величины X называют математическое ожидание k-й степени отклонения = X ЁC m, где m ЁC математическое ожидание X:

Для дискретных случайных величин формула для центрального момента порядка k выглядит следующим образом:

для непрерывных случайных величин

Определение. Асимметрией распределения называют отношение третьего центрального момента к кубу стандартного отклонения:

Замечание. Асимметрия случайной величины X совпадает с третьим начальным (центральным) моментом соответствующей нормированной случайной величины.

Действительно, по определению

Определение. Эксцессом распределения называется величина

Поскольку для стандартного нормального распределения N(0, 1) мы нашли, что м4 = 3 (см. (6.22)), то для нормального распределения эксцесс равен нулю. В частности, вычисляя эксцесс неизвестного распределения, мы можем судить о близости его к нор-мальному по этой числовой характеристике.

Для биномиального закона

Действительно, воспользуемся формулой (6.18). Имеем

дится ниже и носит название дисперсии.

Определение. Дисперсией случайной величины X называется число

Другими словами, дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения.

Из определения (4.8) легко вытекают следующие свойства дисперсии.

остаются неизменными при линейных преобразованиях x Ўж ax + b Дисперсия, асимметрия, эксцесс

Проблемя, найдите определение средней!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
116 Сформулируйте определение выборочной (эмпирической) функции распр для СВ Х. Как связаны ф-ии распределения признака в генеральной и выборочной совокупностях?

µ §, где n(x)=µ § - эмпирическая ф-ия распределения. Она обладает всеми свойствами функции распределения, при этом она кусочно-постоянна.

Случ выборкой объема n из ген совокупности X называется случ вектор Zn=(X1ЎKXn), компоненты которого являются независимыми СВ, распредел так же как и X. Реализацией выборки называется вектор Zn=(X1,ЎKXn), его компоненты xn ЁC реализацией Xk. Мн-во S всех реализаций выборки Zn называется выборочным пространством. F(x) ЁC ген закон распр, то ѓp ѓХ>0 limP(|Fn(X)-F(X)|< ѓХ)=1; µ §; µ § при n Ўж„f.
117. Каким образом на рисунках изображаются выборочные распределения непрерывных и целочисленных случайных величин? Что такое полигон частот? Как строится гистограмма относительных частот? Чему равна сумма площадей столбиков диаграммы?

Хз как ответить на первый вопрос(в учебниках нет), наверное при помощи полигона и гистограммы.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х1; п1), (х2; п2), ..., (xk; nk). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат ЎЄ соответствующие им частоты ni. Точки (хi; пi) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению Wi/h (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии W{/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна hWi/h=WiЎЄотносительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице
118.Сформулируйте понятие несмещенной точечной оценки. Будет ли оценка математического ожидания m, построенная по результатам двух измерений X1и X2 в форме m=1/10X1+(1-1/10)X2, несмещенной оценкой m?Ответ обоснуйте.
Несмещенной точечной оценкой называют оценку, математическое ожидание которой

равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.


µ § параметра µ §называется несмещенной, если µ § В противном случае оценка ЁC смещенная. µ § - является ли несмещенной оценкой?
µ §

µ §

119.Сформулируйте понятие несмещенной, состоятельной и эффективной оценки параметра генерального распределения. Приведите примеры.

Предположим, что функция распределения генеральной совокупности имеет вид где неизвестные параметры. Функцию , которая при фиксированных значениях принимает значение, рассматриваемое как приближенное зна-чение неизвестного параметра и генерального распределения, называют статистической оценкой па-раметра и. По определению оценка является несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру. Эффективной называют оценку, которая при заданном объеме выборки п имеет наименьшую возможную дисперсию. Наконец, оценка называется состоятельной, если при она стремится (по вероятности) к оцениваемому параметру.

Выборочное среднее

является состоятельной и несмещенной оценкой для генерального среднего. Выборочная дисперсия

является состоятельной, но смещенной оценкой дисперсии. Статистическая оценка


называемая исправленной дисперсией, является состоятельной несмещенной оценкой генеральной дисперсии.
120.Докажите, что для генерального распределения с математическим ожиданием m и конечной дисперсией у2 выборочное среднее является несмещенной и состоятельной оценкой m.

Выборочное среднее Їx=1/n*Уxn является несмещённой состоятельной оценкой математического ожидания m. Док-во. Поскольку каждая из величин генеральной выборки имеет математическое ожидание M(X), математическое ожидание выборочного среднего Ї M(X)= 1/n*У M(Xi) = M(X), т.е выборочное среднее является несмещённой оценкой. В силу независимости величин выборки DЇx=1/n2*УD(Xi)=D(x)/n. Состоятельность докажем с помощью нер-ва Чебышева для выборочного среднего с учётом несмещённости: с(РЇx - M(X)Р>= е) <= D(Їx) / е2 = D(x)/n е2 для всякого е>0. Поэтому limnЎжЃ‡ с(РЇx - M(X)Р>= е)=0. Отсюда limnЎжЃ‡ с(РЇx - M(X)Р< е)= 1 - limnЎжЃ‡ с(РЇx - M(X)Р>= е) = 1.
121. Пусть X1,ЎKXn ЁC выборка из распр с дисперсией ѓг2. Док-те, что µ § - несмещенная оценка ѓг2.

Пусть Zn = (x1ЎKxn) ЁC случ выборка объема n, тогда исправленной выборочной дисперсией называется величина s2=n/(n-1) µ §. Следствие: S2 ЁC несмещенная оценка ѓг2.

M(S2)=M(n/(n-1) µ §) = n/(n-1) M(µ §) = n/(n-1) * (n-1)/n * ѓг2 = ѓг2, т.к.

M(µ §)= µ §.
122. Выведите формулу для дисперсии выборочного среднего бесповторной выборки.

В случае простой бесповторной выборки x1ЎKxn мат ожидание и дисперсия выборочного среднего опр по формулам M(µ §)=m D(µ §)=ѓг2/n * (N-n)/(N-1).

Док-во: 1) M(µ §) = M ((x1+ЎK+xn)/n) = 1/n (m+ЎK+m)=m.

2)D((x1+ЎK+xn)/n)=1/n2 * D(x1+ЎK+xn) = 1/n2 * {D(x1)+...+D(xn) + 2 µ §} = 1/n2 (nѓг2+2C2n*C)=

= 1/n2 (nѓг2+2*{n(n-1)/2}*C)=1/n (ѓг2+(n-1)C) ====

Рассм. случ выборку, сост из элементов ген совокупности (n=N), тогда µ § - не случ величина, а константа, сл-но, при n=N D(µ §)=0=1/N (ѓг2+(N-1)C), сл-но, C = -ѓг2/(N-1)

==== 1/n (ѓг2+(n-1)* {-ѓг2/(N-1)}) = ЎK
123. Что такое интервальная оценка для параметра ѓб при доверительной вероятности ѓЧ? Какой практический смысл имеет такая оценка, если ѓЧ близка к 1? Как изменится доверительный интервал при уменьшении доверительной вероятности?

Пусть ѓб - неизвест пар-р или числовая хар-ка ген распр. Если выполняется µ §, то интервал µ § - называется доверительным интервалом, который покрывает неизвестный пар-р ѓб ген распределения с доверительной вероятностью ѓЧ (надежность оценки); ѓФ - точность оценки.

Если ѓЧ близка к 1, то такая оценка является надежной. При уменьшении ѓЧ, ѓФ тоже уменьшается, значит, чтобы точно попасть в интервал его надо развинуть.
124. Пусть n X , X , ..., X 1 2 ЁC выборка из нормального распределения с математическим ожиданием m и дисперсией у 2. Докажите, что для t > 0 интервал накрывает m с вероятностью 2 Ф (t), где Ф (t) ЁC функция Лапласа.

Пусть X1, ..., Хn ЁC выборка из нормального распределения Х с параметрами:

M(X)=m, D(X)=у2

тогда для t>0 доверит. интерв. (X-tу/Ѓгn; X+tу/Ѓгn), где µ § ЁC выб. сред., а t ЁC реш-е ур-ния Ф(t) = j/2, к-рый накрывает неизв. параметр m c над-тью j с вер-тью 2Ф(t), т.е. 2Ф(t)=j

Док-во:

Связь между надежностью j и точностью оценки у. По данному j найдем у, так чтобы P(ќµ §-mќ<у)=J
X

N(m, у2), µ §N(m, у2/n)

P(ќµ §-mќ<у)=P(m-у<µ § 2Ф(t)=л
125
126 Укажите приближенный г -доверительный интервал для доли признака в генеральной совокупности по относительной частоте. При каких n формула дает хорошее приближение?
Пусть р - доля признака генеральной совокупности, k/n-выборочная доля, тогда доверительный интервал равен:

µ §
Где Ф(t)=г/2

nЎЭ50

1   2   3   4

перейти в каталог файлов

Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей

Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей