ТЕОРИЯ-ТЕРВЕР 126. Таблица, характеризующая событие А
 Скачать 2.79 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
Пример: Монета бросается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадает при этом ровно 3 раза? Решение: В данном случае успехом считается выпадение герба, вероятность p этого события в каждом опыте равна Ѕ , так что q=1-p=1|2. Отсюда µ §. 31. Выведите формулу µ § для вероятности k успехов в серии n испытаний по схеме Бернулли. Когда производится n одинаковых и независимых опытов, каждый из которых имеет только 2 исхода {A;µ §}. Т.е. некоторый опыт повторяется n раз, причем в каждом опыте некоторое событие А может появиться с вероятностью P(A)=q или не появиться с вероятностью P(µ §)=q-1=p . Пространство элементарных событий каждой серии испытаний содержит µ § точек или последовательностей из символов А и µ §. Такое вероятностное пространство и носит название схема Бернулли. Задача же заключается в том, чтобы для данного k найти вероятность того, что при n-кратном повторении опыта событие А наступит k раз. Для большей наглядности условимся каждое наступление события А рассматривать как успех, ненаступление А ЁCкак неуспех. Наша цель ЁC найти вероятность того, что из n опытов ровно k окажутся успешными; обозначим это событие временно через B. Событие В представляется в виде суммы ряда событий ЁC вариантов события В. Чтобы фиксировать определенный вариант, нужно указать номера тех опытов, которые оканчиваются успехом. Например, один из возможных вариантов есть µ §. Число всех вариантов равно, очевидно, µ §, а вероятность каждого варианта ввиду независимости опытов равна µ §. Отсюда вероятность события В равна µ §. Чтобы подчеркнуть зависимость полученного выражения от n и k, обозначим его µ §. Итак, µ §. 32. Выведите формулу для дисперсии выборочной средней бесповторной выборки. Выборочная дисперсия Db- среднее арифметическое квадрата отклонения наблюдаемого значения признака от их среднего значения µ §. Если все значения х1+х2+ЎK+хn выборки v n различны, то DB=µ § Если значения признака х1,х2,ЎKхn имеют соответствующие частоты n1,ЎKnk; n1+ЎK+nk=n DB=µ § D=µ § D=µ §= µ §µ § =µ §=µ § 33. Пусть µ §- вероятность k успехов в серии n независимых испытаний с вероятностью успеха p в каждом испытании. При каком k вероятность µ § достигает максимума? Совпадает ли это число с математическим ожиданием количества успехов? Чему равна сумма µ §? Рассмотрим два соседних числа µ § и µ §. Между ними имеет место одно из соотношений: µ §(меньше, равно или больше) или, что эквивалентно, µ §. Подставляя вместо числителя и знаменателя их выражения по формулам µ §, µ § или учитывая, что µ § , получим соотношения µ § или µ §. Собирая все слагаемые с множителем k и учитывая , что p+q=1 , получим эквивалентные соотношения µ §. Обозначим число np+p через µ §. Тогда перепишется : µ §. Таким образом, для всех значений k меньших чем µ §справедливо неравенство µ §, для µ §( это возможно только в том случае, когда µ § - целое число) имеет место равенство µ §, наконец, при µ §выполняется неравенство µ §. Тем самым при значениях µ §функция µ § возрастает, а при значениях µ § убывает. Следовательно, если число µ § не является целым, то функция имеет единственный максимум; он достигается при ближайшем к µ § слева целом значении k , т.е. при таком целом µ § , которое заключено между µ §-1 и µ §: np-q<µ § Если же µ § - целое число, то два равных между собой максимума достигается при µ § и µ §. Если число µ §не является целым, то наиболее вероятное число успехов равно ближайшему к µ § слева целому числу. В случае когда µ § есть целое число, наиболее вероятное число успехов имеет два значения: µ §-1 и µ §. Сумму не знаю как посчитать. 34. Может ли наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли отличаться от математического ожидания числа успехов на 2? Ответ обоснуйте. По схеме Бернулли наиболее вероятное число успехов: k=np+p. Мат. ожидания: так как схему Бернулли можно представить как биноминальное распределение M(x)=np np+p-np=p Следовательно, в схеме Бернулли наиболее вероятное число успехов может отличаться от мат. ожидания на число р - вероятность успеха и известно, что p+q=1, p=1-q p<1. А значит отличаться на 2 не может. 35. Запишите локальную приближенную формулу Лапласа, приведите основные свойства функции Гаусса Х (x) и укажите ее график. При каких условиях данная формула дает хорошее приближение? Какие условия применимости отличают эту формулу от приближенной формулы Пуассона? Если число опытов достаточно велико но не бесконечно, а вероятность появления события А в каждом опыте не стремится к 0, применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р причем 1>р>0, то это событие наступает ровно m раз приблизительно равна µ § 36. Запишите интегральную приближенную формулу Лапласа и приведите основные свойства функции Лапласа Ц(x) . При каких условиях данная формула дает хорошее приближение? Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р, причем 1>р>0, то событие А наступит не менее m1 раз и не более m2 раза приблизительно равно µ § Эта формула дает хорошее приближение при больших n 37. Укажите выражение для функции Лапласа Ф(x). Докажите нечётность функции Ф(x) и нарисуйте график y=Ф(x). Чему равно Ф(12)? Функция: Ф(x) = µ § Доказ-во Ф(-x) = -Ф(x): запишем выражение Ф(-x) = µ § и выполним замену z = -t, dz = -dt, при этом нижний предел интегрирования не изменится, а верхний станет равным x. Таким образом, Ф(-x) = µ §= -Ф(x), ч.т.д. График: симметричен относительно начала координат, проходит через (0;0). Горизонтальные асимптоты: -0,5 и 0,5. Ф(12) = 0,5. 38. Используя интегральную приближённую формулу Лапласа, выведите формулу для оценки отклонения относительной частоты события А от вероятности p наступления A в одном опыте. В условиях схемы Бернулли с заданными значениями n и p для данного ѓХ>0 оценим вероятность события µ §, где k ЁC число успехов в n опытах. Это неравенство эквивалентно |k-np|„TѓХn, т.е. -ѓХn „T k-np „T ѓХn или np-ѓХn „T k „T np+ѓХn. Таким образом, речь идёт о получении оценки для вероятности события k1 „T k „T k2, где k1 = np-ѓХn, k2 = np+ѓХn. Применяя интегральную приближённую формулу Лапласа, получим: P(µ §„l µ §. С учётом нечётности функции Лапласа получаем приближённое равенство P(µ §„l 2Ф(µ §. Примечание: т.к. по условию n=1, то подставляем вместо n единицу и получаем окончательный ответ. 39. Сформулируйте и докажите предельную теорему Пуассона. При n„_„V, p„_0 b, а величина ѓЬ = np остаётся постоянной µ §. Док-во: имеем: µ §, и так как p=ѓЬ/n, то µ §. Выражение µ § - это произведение k множителей, стремящихся к 1; поэтому и всё произведение стремится к 1. Выражение µ § стремится к 1. Что касается выражения µ §, то его можно записать в виде µ §. Замечая, что выражение в квадратных скобках имеет пределом число µ §, получим окончательно: µ §, где ѓи„_1. Отсюда тотчас же следует формула, указанная в теореме. 40. Запишите приближённые формулы Пуассона. При каких условиях они дают хорошее приближение? Приведите примеры их применения. формулы Пуассона: µ § и µ §. Они дают хорошее приближение при больших n и малых p (npq„T10). Пример: в тесто засыпают большое количество изюма (например, 10000 изюмин) и нужно оценить вероятность того, что в случайно выбранной булке, испечённой из этого теста, окажется, к примеру, ровно 2 изюмины). То есть получается, что p=2/10000 = 0,0002). В этом случае также npq<10. В итоге, можем применять приближённую формулу Пуассона. 41. Что такое сл.величина? Дискретная величина? Что назыв функцией распределения случ. величины? Привести пример функции распределения некоторой дискретной сл вел и построить график. Величина, принимающая в результате испытания определенное значение, называется случайной величиной. Случайная величина Х называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно: Х(§Щ)={x1, x2,ЎK} Функция, определенная в каждой точке х числовой оси формулой Fx(x)=F(x)=P(X Называется функцией распределения случайной величины Х. Пример: Дан ряд распределения с.в. Х: Хi 1457Pi 0,40,10,30,2 Найти и изобразить графически ее функцию распределения. 0 при хЎЬ1, 0,4 при 1<хЎЬ4, F(x)= 0,5 при 4<хЎЬ5, 0,8 при 5<хЎЬ7, 1,0 при х>7. 42. Сформулируйте основные свойства функции распределения сл величины и продемонстрируйте их на примере. 1) 0 „T F(x) „T 1, т.к. 0 „T P „T 1 2) F(x) ЁC неубывающая ф-ия 3) P(x1„TX 4) F(-„f) = 0, F(+„f) = 1 5) F(x) ЁC непрерывная слева ф-ия, т.е. F(x) = F(x-0) ЁC предел слева 6) F(x+0) = P(X„Tx) ЁC предел справа 7) если x1„Tx2, то а) P(x1„TX„Tx2) = F(x2+0)-F(x1) б) P(X=x) = F(x+0) ЁC F(x) в) P(x1 г) P(x1 43. Может ли график функции распределения быть прямой линией? Ответ обоснуйте. Нет, не может, т.к. µ § 44. Что такое дискретная случайная величина? Может ли таблица Х-1092Р0,20,40,3рассматриваться как закон распределения дискретной случайной величины? СВ Х называется дискретной, если мн-во ее значений не более чем счетно, т.е конечно или счетно. По опр сумма значений строчке * должна быть равна 1. То есть, нет не может. 45. Дана дискретная случайная величина с законом распределения ХX1X2ЎKXn РP1P2ЎKpn Что является её функцией распределения F(x)? Постройте график F(x) и опишите его точки разрыва. Как вычисляется вероятность µ §? Пусть хо - любое число. Среди чисел х1 , x2, ... выделим те, которые меньше х0. Пусть ими будут хi1, xi2 ,.... Событие x<х0 является суммой событий X = хi2, X ЁC xi1 , ..., поэтому его вероятность равна pi1 + pi2 +... F(x)= ‡”pi График для X на три значения: хь х2, хз. x1 < х2 < хз. График представляет собой ступенчатую ломаную со скачками в точках х1 х2, х3. Величины скачков равны соответственно p1,p2,p3 - Левее график совпадает с осью Ох, правее c прямой y=1. P(aЎЬXЎЬb)=P(b)-P(a). 46. Что называется геометрическим распределением с параметром p? Приведите пример опытов, в котором определена случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром p? Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых с одной и той же вероятностью наступает событие А. Опыты продолжаются до первого появления события А, после чего прекращаются. Рассматривается случайная величина - х число произведенных опытов. Составить для нее закон распределения. Возможные значения величины Событие Х= n (n - любое натуральное) означает, что в первых п - 1 опытах событие А не наступает, а в n-м опыте наступает. Вероятность такого исхода равна: pqn-1 где q = 1 -р. Следовательно, закон распределения величины Xбудет: X123пррpqpq2pqn-1 47 Что называется биномиальным распределением с параметрами n и p? Приведите пример опытов, в котором определена случайная величина, распределенная по биномиальному закону. Пусть производится определенное число п независимых опытов. В каждом из них с одной и той же вероятностью р может наступить некоторое событие А. Рассматриваемая случайная величина Х- число наступлений событий А в п опытах. Соответствующая таблица имеет вид: X01л-1прPn(0)pn(1)Pn(n-1)Pn(n) где Pn(k)=Cnkpk(1-p)n-k 48. Какой закон распределения называется законом Пуассона? Увяжите с предельной теоремой Пуассона. Если число испытаний велико, а вероятность p появления события в каждом испытании очень мала, то используют следующую формулу µ § , где µ §- число появлений события в n независимых испытаниях, ѓЬ= np (среднее число появлений события в n испытаниях), и говорят, что с.в.распределена по закону Пуассона. (Есть спец.таблицы для нахождения P µ §(k), зная µ §и ѓЬ. В виде таблицы это выглядит так X01 KЎKpµ §µ §µ §ЎK 49. Как определяется независимость случайных величин? Игральную кость бросают 200 раз. Пусть X1 ЁC число выпадений грани 1; X2 ЁC число выпадений грани 2 . Будут ли зависимыми случайные величины X1 и X2 ? Ответ обоснуйте. X и Y независимы, если выполняется равенство P(X=a, Y=b) = P(X=a)P(Y=b). P(X1=200) = (1/6)200 (т.к. опыт проводился 200 раз). Следовательно, можно записать P(X1=200, Y1=200) = 0. Однако такого быть не может, т.к. если одна грань выпала 200 раз, то вторая уже не может (она эти 200 раз НЕ ВЫПАЛА). Следовательно эти величины зависимы. 50. Пусть X,Y,X ЁC независ СВ, принимающие с вероятностью 1\2 значения 0 и 1. Верно ли, что X+Y и Y+Z ЁC независ СВ? Y+z012p1\41\21\4X,y,z01p1\21\2X+y012p1\41\21\4 P(x+y=0, y+z=0)=P(x=y+z=0)=1\8; P(x=0)*P(y=0)*P(z=0); P(x+y=0)*P(y+z=0)=1\16 ЁC P(x+y,y+z)=1\4*1\4 1\8„j1\16 - зависимые. Дайте определение математического ожидания дискретной случайной величины. Поясните его смысл на примере случайной величины с двумя возможными значениями, исходя из статистического определения вероятности Xi X1X2nin1 n2 Пусть случайная величина X связана с некоторым опытом. Провели n испытаний и при этом возникла статистика Найдем среднее значение X = µ § „» при n стремящимся к бесконечности = X1*p1 + X2*p2 т.к по статистическому определению вероятность события примерно равна отношению числа успехов к общему числу испытаний. Lim X = X1*p1 + X2*p2 M(X)) 52. Перечислите основные свойства математического ожидания дискретной случайной величины. Объясните, что понимается под суммой и произведением случайных величин. Математическим ожиданием дискретной случайной величины µ § с законом распределения µ § µ § ЎK µ § µ § ЎKНазывается число µ § Математическое ожидание имеет следующие свойства: Математическое ожидание случайной величины равно ей самой: М(С)=С .Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания: М(сХ)=сМ(Х). Следовательно: M(aX+bY)=aM(X)+bM(Y) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их мат. Ожиданий: µ § Если случайные величины µ § независимы, то мат. ожидание их произведений равно произведению их мат. ожиданий: µ § Мат. ожидание от функции µ § равно: µ § Для определения суммы и произведения случ. вел. Х и У будем считать, что мы рассматриваем случайную величину µ §, где g(X,Y) ЁC некоторая числовая функция. Тогда система (Х,У) характеризуется следующей таблицей: Y X µ § µ § ЎK µ § µ § ЎK µ § µ § µ § ЎKЎKЎKЎKЎK53. Приведите (с обоснованием) пример дискретного распределения вероятностей, для которого не существует математическое ожидание. X1 222ЎK2nЎKPµ §µ §µ §ЎKµ §ЎKµ § ряд расходится т.к. => нет математич. ожидания. µ § 54. Может ли математическое ожидание дискретно случайно величины, принимающей целые значения, быть числом не целым? Ответ обойснуйте. Математическое ожидание дискретной случайное величины, принимающей целые значения, может быть числом нецелым. Например, найдём математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости, обозначим указанную случ. величину через X, принимающий целые значения (1; 2; 3; 4; 5; 6). Её закон распределения имеет вид: X123456Pµ §µ §µ §µ §µ §µ §µ § - нецелое число 55. Пусть X ЁC дискретная случайная величина, принимающая только неотрицательные значения и имеющая математическое ожидание m . Докажите, что P(X ЎЭ 5) ЎЬ m/5 . Докажем неравенство Маркова: Если x>0 и a=const, a>0, то µ § Док-во: Введём новую величину: µ § Y0aPP(x Xµ §Y M(x) µ §M(y), M(y)= aP(Xµ §a) aP(Xµ §a) µ §M(x) P(Xµ §a) µ § µ § В нашем примере a=5 (т.е. a=const), a>0, M(x)=m По неравенству Маркова: P(Xµ §5) µ § µ § 56. Докажите, что если X и Y ЁC независимые дискретные случайные величины, принимающие конечное множество значений, то M(XY)=M(X)M(Y) Если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий (теорема умножения математических ожиданий). Возможные значения X обозначим x1, x2, ЎK, возможные значения Y - y1, y2, ЎK а pij=P(X=xi, Y=yj). Закон распределения величины XY будет выражаться соответствующей таблицей. А M(XY)=µ § Ввиду независимости величин X и Y имеем: P(X= xi, Y=yj)= P(X=xi) P(Y=yj). Обозначив P(X=xi)=ri, P(Y=yj)=sj, перепишем данное равенство в виде pij=risj Таким образом, M(XY)= µ §=µ §. Преобразуя полученное равенство, выводим: M(XY)=( µ §)(µ §) = M(X)M(Y) 57. Докажите, что если X и Y ЁC дискретные случайные величины, принимающие конечное множество значений, то M(X +Y) = M(X ) +M(Y). Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:M(X+Y)= M(X)+M(Y). Док-во. Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения(*)( возьмем 2 значения): X x1 x2 p p1 p2Y y1 y2 g g1 g2 Составим все возможные значения величины X+Y. Для этого к каждому возможному значению X прибавим возможное значение Y; получим x1+y1, x1+y2, x2+y1, x2+y2. Предположим, что эти возможные значения различны( если не так, то доказательство аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через p11,p12,p21,p22. Математическое ожидание величины X+Y равно сумме произведений возможных значений на их вероятности: M(X+Y) = (x1+y1)* *p11+(x1+y2)* p12+(x2+y1)* p21+(x2+y2)* p22, или M(X+Y) = x1*(p11+p12)+ x2*(p21+p22)+ +y1*(p11+p21)+ y1*(p12+p22). Докажем, что p11+p12=p1. Событие, состоящие в том, что X примет значение x1 (вероятность этого события равна p1), влечет за собой событие, которое состоит в том, что X+Y примет значение x1+y1 или x1+y2 (вероятность этого события по теореме сложения равна p11+p12), и обратно. Отсюда следует, что p11+p12=p1. Аналогично доказываются равенства p21+p22=p2, p11+p21=g1 и p12+p22=g2. Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим M(X+Y)=(x1p1+x2p2)+(y1g1+y2g2), или M(X+Y)= M(X)+M(Y). 58. Как определяется и что характеризует дисперсия дискретной случайной величины X ? Перечислите основные свойства дисперсии. На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Поэтому вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которе и называется дисперсией. Дисперсией(рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(X)=M[X-M(X)]2. Более удобная формула: D(X) = M(X 2) Ѓ|M2 (X). Св-ва: 10. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D (С) = 0. 20. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX)=С2D(X). 30. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X + Y)= D(X)+D(Y). 40. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X-Y)=D(X)+D(Y). 50 Прибавление( вычитание) константы к случайной величине не меняет ее дисперсии. D(X+C)=D(X). 59. Докажите, что если X ЁC дискретная случайная величина, то D(X) = M(X 2) Ѓ|M2(X). Док-во: Математическое ожидание M(X) есть постоянная величина, следовательно, 2M(X) и M2(X) также постоянные величины. D(X) = M(X 2) Ѓ|M2 (X)= M[X-M(X)]2=M[X2-2XM(X)+M2(X)]=M(X2)-2M(X)M(X)+M2(X)=M(X2)-2M2(X)+M2(X)=M(X2)-M2(X). т.е. D(X) = M(X 2) Ѓ|M2(X). 60. Пусть X ЁC дискретная случайная величина. Может ли выполняться неравенство M(X 2)<(M(X ))2 ? Ответ обоснуйте. По определению дисперсии D(X)=M[X-M(X)] 2,тогда D(X)=M[X2-2ХM(X)+ M2 (X)]= M(X2)-2 M2 (X)+ M2 (X)= M(X2)- M2 (X). Итак, для любой с.в.Х D(X)= M(X2)- M2 (X), D(X)ЎЭ0, поэтому для любой с.в. Х всегда выполняется неравенство M(X2) ЎЭM2 (X). Поэтому неравенство М(Х2)< [M(X)] 2 выполняться не может. 61. Докажите, что если X и Y ЁC независимые случайные величины, то D[XY]= D[X ]ЕD[Y ]+M[X ]2 D[Y ]+M[Y ]2 D[X ]. D(XY) = (M(XY)2)-[M(XY)]2 = M(X2Y2)-(M(x))2(M(Y))2 = M(X2)M(Y2)-M2(X)M2(Y) = (D(X)+[M(X)]2)(D(Y)+[M(Y)]2) ЁC M2(X)M2(Y) = D(X)D(Y)+M(Y)2D(X)+M(X)2D(Y). Ч.т.д. 62. Пусть Х ЁC дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону распределения с параметрами n и р. Докажите, что М(Х)=nр, D(Х)=nр(1-р). Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью р, так что вероятность противоположного события В равна q=1-p. Рассмотрим сл. величину Х ЁC число появления события А в n опытах. Представим Х в виде суммы индикаторов события А для каждого испытания: Х=Х1+Х2+ЎK+Хn. Теперь докажем, что М(Хi)=р, D(Хi)=np. Для этого рассмотрим закон распределения сл. величины, который имеет вид: Х01РрqОчевидно, что М(Х)=р, случайная величина Х2 имеет тот же закон распределения, поэтому D(Х)=М(Х2)-М2(Х)=р-р2=р(1-р)=рq. Таким образом, М(Хi)=р, D(Хi)=pq. По теореме сложения математических ожиданий М(Х)=М(Х1)+..+М(Хn)=nр, D(Х)=D(Х1)+ЎK+D(Хn)=npq=np(1-р). 63. Докажите, что для биномиального закона распределения сл. величина с вероятностью успеха р в каждом из n независимых испытаний выполняется равенство: µ §= 64. Пусть X ЁC дискретная случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром . Докажите, что M(X ) = D(X ) = л . Закон Пуассона задается таблицей: X 0 1 2 3 ЎK P лЃ|e ллЃ|e ллЃ|e!22ллЃ|e!33ЎK Отсюда имеем: µ §=µ § Таким образом, параметр л, характеризующий данное пуассоновское распределение, есть не что иное как математическое ожидание величины X. Это легко понять, если вспомнить, что формулы Пуассона получились как предельный вариант формул Бернулли, когда , причем Ѓ‡ЎжnЃ‡Ўжnл = np. Поскольку для биномиального закона математическое ожидание равно np, то неудивительно, что для пуассоновского закона M(X) = . Более того, мы можем предположить, что дисперсия X тоже будет равна л, поскольку для биномиального закона D(X) = npq и 1 при Ўжq. Действительно, непосредственный подсчет дисперсии подтверждает это предположение, однако мы не приводим его здесь из-за сложности выкладок. Ниже мы выведем эти формулы более простым способом. Таким образом, для закона Пуассона M(X) = л, D(X) = л 65. Пусть Х ЁC дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р. Докажите, что M (X) = µ §. Геометрический закон µ § связан с последовательностью испытания Бернулли до 1-го успешного А (события), р=р(А) х12ЎKnЎKРрpqЎKPqn-1ЎKµ § 66. Пусть Х ЁC дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р. Докажите, что D (X) = µ §. µ § 67.Как определяется ковариация Cov(X,Y) случайных величин X,Y?Докажите, что D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y). 1.Ковариацией COV(X,Y) случайных величин X,Y называется математическое ожидание произведения отклонений X и Y. Сov(X,Y)=M[(X-M(X)][Y-M(Y)] 2. Пусть Х и У ЁC две случайные величины. Положим, Z=X+Y По теореме сложения математических ожиданий будем иметь: М(Z)=M(X)+M(Y). Вычитая это равенство из предыдущего, получим: µ §, где µ §обозначает, как и раньше, отклонение величины Х. Отсюда µ §=µ § Найдем дисперсию Х+У. Имеем D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2M(µ §), где М(µ §) = Cov(X,Y). Формула принимает вид: D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2Cov(X,Y) 68. Сформулируйте основные свойчтва ковариации Cov(X,Y) случайных величин Х и У. Докажите, что Cov(X,Y)=M(XY)-M(X)M(Y) Ковариацией (корреляционным моментом) Cov(X, Y) случайных величин X, Y называется мате-матическое ожидание произведения отклонений X и Y Cov(X, Y) = M[(X Ѓ| M(X))(Y Ѓ| M(Y))]. Ковариация обладает следующими свойствами: 1. Cov(X, Y) = M(XY) Ѓ| M(X)M(Y). 2. Cov(X, X) = D(X). 3. D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y). 4. Если X и Y независимы, то Cov(X, Y) = 0. 5. Cov(X, Y) = Cov(Y, X). 6. Cov(aX , Y) = Cov(X, aY) = aCov(X, Y). 7. Cov(X +Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). 8. Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y) + Cov(X, Z). Если Cov(X, Y) = 0, то случайные величины X и Y называются некоррелированными. Нет доказательства!!!!!!!!!!!!!! 69. Как определяется коэффициент корреляции с (X;Y) случайных величин X иY ? Каковы основные свойства коэффициента корреляции? Что можно сказать о X и Y , если Рс(X;Y) Р =1? Коэффициент корреляции случайных величин X и Y определяется формулой с (X;Y)= Cov(X;Y)/ (у(X)*у(Y)), где Cov(X;Y) ЁC ковариация X и Y, а у(X) ЁC среднее квадратичное отклонение Х, у(Y) ЁC среднее квадратичное отклонение Y. Основные св-ва: с(X;Y)=с(Y;X) Рс(X;Y) Р <=1 Рс(X;Y) Р =1 равнозначно существованию констант a,b таких, что равенство Y=a+bX выполняется с вероятностью 1. 70. Докажите, что коэффициент корреляции µ § случайных величин Х и У удовлетворяет условию µ §. Что можно сказать о Х и У, если µ §? Если µ §? Определение. Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин: pxy=Kxy/«сигма»х«сигма»х. Из определения следует, что рху=рух=р. Очевидно также, что коэффициент корреляции есть безразмерная величина. Отметим свойства коэффициента корреляции. 1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1;1],т.е. -1<р<1.Из неравенства µ § 2. Если коэффициент корреляции двух случайных величин равен (по абсолютной величине) единице, то между этими случайными величинами существует линейная функциональная зависимость: µ § 71. Чему равен с(X,Y) и Cov(X,Y) при условии независимости случайных величин X, Y ? Что можно сказать о с(X, Y), если Y=a+bX, где a и b ЁC некоторые числа (bЃ‚0)? Ответ обоснуйте. Если X и Y независимые случайные величины, то Cov(X, Y) = M(X,Y) ЁC M(X)M(Y) = M(X)M(Y) - M(X)M(Y) = 0 µ § Если µ § (вЃ‚0), то µ § Док-во: Cov(X,Y) = Cov(X, б + вX) = M (X(б+вX)) ЁC M(X)M(б+вX) = M(Xб+вX2) - M(X)(M(б) + M(вX)) = M(Xб) + M(вX2) ЁC бM(X) ЁC в(M(X))2 = в(M(X2) ЁC (M(X))2) = вD(X) µ § тоесть µ § ч.т.д. 72. Дайте определение непрерывной случайное велчини X. Чему в этом случае равна вероятность P(X=a), где а ЁC определённое число? Следует ли из равенства P(X=a)=0 для непрерывной случайное величины X, что событие X=a никогда не наступает? Случайная величина X называется непрерывной, если её функция распределения F(X) непрерывна в любой точке X. P(X=a), где а ЁC определённое число, есть вероятность каждого и отдельного значения. P(X=a)=0, т.е. вер-ть каждого отдельного значения равна нулю. Однако это не означает, что событие Х=а невозможно. В результате испытания случ. величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным а. 73. Какое распределение называется абсолютно непрерывным? Что такое плотность распределения и какова ее связь с функцией распределения? Может ли абсолютно непрерывная случайная величина иметь разрывную функцию плотности f (x)? Ответ обоснуйте. Случайная величина X называется абсолютно непрерывной, если найдется неотрицательная функция f(x), называемая плотностью распределения, такая, что для a < b вероятность попадания X в промежуток [a, b] получается путем интегрирования данной функции µ § Для функции распределения F(x) имеем µ § Плотность распределения обладает следующими свойствами: 1. µ §, µ §(неотрицательность). 2. µ § (условие нормировки). 3. µ §в точке непрерывности f(x). Математическое ожидание непрерывной функции µ §находится пу-тем интегрирования произведения данной функции и плотности распределения: µ § Произвольная случайная величина X называется сосредоточенной на промежутке [a, b], если вероятность попадания X в данный промежуток равна 1. Плотность распределения абсолютно непрерывной случайной величины, сосредоточенной на промежутке [a, b], равна 0 вне [a, b]. Функцию распределения F(x) абсолютно непрерывной случайной величины, сосредоточенной на промежутке [a, b], можно представить в виде µ §  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |