Основы молекулярно-кинетической теории (МКТ). Лекции 4 Основы молекулярно-кинетической теории (мкт)

Теоретическая справка к лекции 4
Основы молекулярно-кинетической теории (МКТ)
Газы принимают форму сосуда и полностью заполняют объѐм, ограниченный непроницаемыми для газа стенками. Стремясь расшириться, газ оказывает давление на стенки сосуда или любого другого тела, с которым он соприкасается.
Размер атомов составляет для всех веществ величину порядка
10 10
м

Моль любого вещества содержит одно и то же число атомов и молекул. Это число обозначается
A
N
и называется постоянной Авогадро. Значение постоянной
Авогадро составляет
23 6 022 10
-1
,
моль .
A
N


Молярной массой
M называют массу данного вещества, взятого в количестве одного моля. Молярная масса равна произведению массы
0
m
одной молекулы данного вещества на постоянную Авогадро:
0
.
A
M m N

Масса
m тела, состоящего из N одинаковых молекул равна
0
m m N

. Тогда, используя выражения для
m и молярной массы M , для количества вещества ν в теле можно записать
ν
.
A
N
m
N
M


Идеальный газ. Молекулы газа считаются твѐрдыми, абсолютно упругими шариками, причем размеры молекул малы по сравнению со средним расстоянием между ними. Взаимодействие между молекулами проявляется только при непосредственном столкновении их друг с другом.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа. Пусть в сосуде объѐма
V находится N одинаковых молекул идеального газа, а
0
m
- масса одной молекулы. Давление
P
газа определяется выражением
2 2
0 0
2 1
2 3
3
,
,
m v
E E
P
m nv
n



где
/
n N V

- концентрация молекул газа,
2
v
- среднее значение квадрата скорости молекулы,
E - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.
В МКТ идеальных газов температура по шкале Кельвина
T
(абсолютная температура) связана со значением
E соотношением
3 2
,
E
kT


где
23 1 38 10
,
Дж/К
k



- постоянная Больцмана. Связь между температурой
T
по шкале Кельвина и температурой
t
по шкале Цельсия даѐтся формулой:
273
T t
 
Скорость хаотического (теплового) движения молекул характеризуется средней
квадратичной скоростью
2 0
3
ср.кв
.
v
kT
m
v


Уравнение состояния идеального газа в МКТ
.
P nkT

Уравнение состояния идеального газа
В состоянием термодинамического равновесия давление
P и температура T газа принимают значения постоянные по всему объѐму
V
сосуда. Связь между тремя параметрами состояния идеального газа (объѐмом
V , давлением
P
и температурой
T
) описывается уравнением состояния (или законом) Менделеева-Клапейрона.
ν
,
m
PV
RT
RT
M


Здесь
m и M - масса и молярная масса газа.
Закон Авогадро
При нормальных условиях


5 1
10 273
,
P
атм
Па T
К



1 моль любого идеального газа занимает объем


3 3
22 4 10 22 4
,
,
,
м
л


Закон Дальтона
Давление
P
смеси газов, химически невзаимодействующих между собой, равно сумме парциальных давлений компонентов смеси:
1 2
...
,
N
P P P
P
   
где
N - число газов в смеси,
i
P
- парциальное давление
i
-го газа


1 2
, ,...,
i
N

, т.е. давление, которое производил бы каждый из газов, составляющих смесь, если удалить остальные газы из сосуда.
Квазистатические процессы
Каждое равновесное состояние газа данной массы
m
можно изобразить точкой на координатной плоскости ,
P V (вместо координат ,
P V можно использовать и другие пары
,
P T или ,
V T ). Любой равновесный процесс, происходящий с газом, представляется на такой плоскости в виде линии. Неравновесный процесс невозможно изобразить графически.
Процессы, протекающие при постоянной массе газа и неизменном значении одного из параметров состояния газа (давление, объѐм или температура), принято называть
изопроцессами. Например, процесс, происходящий при постоянной температуре,

называется изотермическим, при постоянном объѐме – изохорическим, при постоянном давлении – изобарическим. Графики изотермических, изохорных и изобарных процессов в различных координатах представлены рисунках 1, 2 и 3, соответственно.
Внутренняя энергия идеального газа
U
.
Внутренняя энергия идеального газа
U
зависит только от температуры
T и определяется формулой
ν
2
,
i
U
R T
   
где
ν
- количество моль газа,
R - универсальная газовая постоянная, T - абсолютная температура газа,
i
- число степеней свободы молекулы газа. Для одноатомных газов
(гелий, неон)
3
i

, для двухатомных газов (водород
2
H , азот
2
N )
5
i

, для многоатомных газов (водяной пар
2
H O, метан
4
CH )
6
i

. Если температура идеального газа изменяется от начального значения
1
T до конечного
2
T , то изменение внутренней энергии
Δ
U
определяется выражением


2 1
2 1
Δ
ν
2
.
i
U U
U
R T T




Работа газа в тепловом процессе
A .
Для произвольного равновесного теплового процесса, описываемого некоторой зависимостью давления газа от объема
 
P V , работа газа определяется «площадью»
S
под графиком процесса (см.рис.) в координатах
,
P V
(площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми
1
V V

,
2
V V

,
0
P

и графиком функции
 
P V ). При расширении газа


2 1
V
V

работа газа положительна:
A
S
 
. При сжатии газа


2 1
V
V

работа газа отрицательна:
A
S
 
. В


P P
P

2 2
1 0
T,K
V
P
1
Рис.3 0


V V
V

2 2
1
T,K
P
V
1
Рис.2 0
T
1
V
P
T
T

2 1
Рис.1 0
P
V
V
1
V
2
S
A=S, A>0

изохорном процессе


V const

работа газа равна нулю


0
A

. Следует различать работу газа
A и работу внешних сил над газом
ВНЕШ
A
. Для одного и того же процесса
ВНЕШ
A
A
 
Количество теплоты
Q (или ΔQ ).
Энергию, полученную телом в процессе теплообмена, называют количеством теплоты.
Будем считать, что
0
Q

, если тело получает теплоту, и
0
Q

, если тело теплоту отдает.
Теплоемкость.
Пусть при проведении теплового процесса тело получает (или отдает) количество теплоты
Δ
Q и его температура изменяется при этом на величину ΔT . Теплоемкостью тела в данном тепловом процессе называется величина
Δ
Δ
.
Q
C
T

Теплоемкость одного и того же тела зависит от характера процесса. Молярной теплоемкостью тела называется величина
μ
Δ
νΔ
.
Q
C
T

Здесь
ν - число молей тела. Для процесса, в котором теплоемкость остается постоянной:
μ
Δ
ν Δ
Q C T C
T
 

 
Первый закон термодинамики.
Внутренняя энергия тела может изменяться при совершении работы и в процессе теплопередачи. Закон сохранения и превращения энергии, применительно к тепловым процессам, называется первым законом термодинамики и записывается в виде
Δ
.
Q
U A


Первое начало термодинамики и молярная теплоемкость для процессов с участием идеального газа
Процесс
Первый закон термодинамики
Молярная теплоемкость
Изохорный
Δ
0
,
Q
U A


μ
2
V
i
C
C
R


Изобарный
Δ
Δ
,
Q
U A A P V


 
μ
2
P
i
C
C
R R



Изотермический
Δ
0
,
Q A
U


μ
C
 
Адиабатный
0
Δ
,
Q
A
U

 
μ
0
C


Тепловые машины
Круговым процессом (или циклом) называется термодинамический процесс с телом, в результате совершения которого тело, пройдя ряд промежуточных состояний, возвращается в исходное состояние.
Графиком равновесного цикла является замкнутая кривая.
В равновесном цикле работа тела (газа) за цикл
ЦИКЛ
A
по модулю равна «площади» фигуры, ограни- ченной графиком процесса в координатах
,
P V
. Работа газа положительна, если цикл проходит по часовой стрелке (такой цикл называется прямым) и отрицательна, если направление обхода цикла противоположное.
В круговом процессе газ возвращается в исходное состояние, т.е. в состояние с начальной внутренней энергией. Изменение внутренней энергии за цикл равно нулю
Δ
0
ЦИКЛ
U

На некоторых участках прямого цикла тело (газ) получает теплоту от окружающих тел («нагревателя»), а на некоторых участках отдает теплоту «холодильнику». Из первого закона термодинамики следует, что работа тела (газа) за цикл
ЦИКЛ
A
связана суммарными количествами полученной теплоты


0
Q Q



и отданной теплоты


0
Q Q



соотношением
.
ЦИКЛ
A
Q
Q




Коэффициентом полезного действия (КПД) прямого цикла называется величина
η
1
.
ЦИКЛ
A
Q
Q
Q
Q
Q
Q









 
Французский ученый С.Карно установил, из всех тепловых машин, работающих в контакте с нагревателем, имеющим абсолютную температуру
1
T
, и холодильником, имеющим абсолютную температуру


2 2
1
T T
T

, максимально возможный КПД есть
2 1
η
1
.
K
T
T
 
Это достигается, если рабочее тело тепловой машины совершает цикл Карно, т.е. цикл, состоящий из двух адиабат и двух изотерм с температурами
1
T
и
2
T
0
P
V
S
A=S, A>0

Агрегатные состояния и фазовые переходы
Основные агрегатные состояния вещества – твердое, жидкое и газообразное. Фазой называется физически однородная часть вещества, отделенная от других частей границей раздела. Например, вещество вода может существовать в виде льда, собственно воды и пара.
Если с телом происходит процесс, в котором происходит теплообмен, изменение температуры, но агрегатное состояние вещества не изменяется, расчет количества теплоты
Q
для этого процесса производится по формуле
Δ ,
Q cm T

где
c - удельная теплоемкость вещества в этом агрегатном состоянии, m - масса вещества,
Δ
T
- изменение температуры вещества.
При заданном давлении существует определенная температура, при которой две фазы вещества находятся в равновесии и могут переходить друг в друга при этой температуре. Например, фазовое равновесие между льдом и водой при внешнем давлении
5 0
1 10
P
атм
Па


осуществляется при температуре
0 0
0
t
C

. А вот равновесие между паром и водой при давлении
5 0
1 10
P
атм
Па


наступит при температуре
0 100
t
C

При изменении внешних параметров (температуры, давления), подвода или отвода теплоты, агрегатное состояние вещества (или его части) может изменяться, т.е. становится возможным переход вещества из одного состояния в другое (фазовый переход). Пока одна фаза полностью не перейдет в другую, температура будет оставаться постоянной, несмотря на подвод или отвод теплоты. Основные фазовые переходы: плавление и кристаллизация, испарение (парообразование) и конденсация. При плавлении и испарении теплота поглощается, при кристаллизации и конденсации теплота выделяется.
Чтобы расплавить кристаллическое тело массой
m , надо подвести количество теплоты
λ ,
Q
m

где
λ
- удельная теплота плавления. Плавление (кристаллизация) происходит при постоянной температуре, называемой температурой плавления (таяния).
Для превращения в пар жидкости массой
m требуется подвести количество теплоты
,
Q rm

где
r - удельная теплота парообразования. Равновесное испарение (конденсация) происходит при постоянной температуре, называемой температурой кипения.

Работой твердого тела или жидкости обычно можно пренебречь, что означает, что приведенные выше формулы для
Q
можно использовать и для расчета изменения внутренней энергии
Δ
U (это следует из первого закона термодинамики).
При сгорании топлива массой
m выделяется количество теплоты
,
Q qm

где
q - удельная теплота сгорания топлива.
Уравнение теплового баланса – в теплоизолированной системе энергия, отданная в виде теплоты одними телами, равна энергии, полученной другими телами:
1 2
3 1
2 3
,
,
,
,
,
,
...
... .
ОТД
ОТД
ОТД
ПОЛ
ПОЛ
ПОЛ
Q
Q
Q
Q
Q
Q


 



Основные используемые при расчетах величины:
Удельная теплоемкость льда


2100
/
Л
c
Дж кг К


Температура плавления льда при давлении
5 0
10
P
Па

равна
0 0
ПЛ
t
C

Удельная теплота плавления (таяния) льда
5
λ
3 34 10
,
/
Л
Дж кг


Удельная теплоемкость воды


4200
/
В
c
Дж кг К


Температура кипения воды при давлении
5 0
10
P
Па

равна
0 100
КИП
t
C

Удельная теплота парообразования воды
6 2 26 10
,
/
В
r
Дж кг


Пар
В тех случаях, когда газ образуется в результате испарения жидкости или может конденсироваться, его называют паром.
Насыщенным паром называется пар, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью: число молекул, испаряющихся с поверхности жидкости в единицу времени, равно числу возвращающихся молекул.
Считая насыщенный пар идеальным газом, для плотности насыщенного пара
ρ
Н.П.
и его давления
Н.П.
P
имеем
ρ
Н.П.
П
Н.П.
P M
,
RT

где
T
- температура пара.
Плотность насыщенного пара и его давление зависят только от температуры
жидкости и пара, т.е. при данной температуре не зависят от объема пара (!).
Давление пара
П
P при некоторой температуре
T
не может превышать давление насыщенного пара
 
Н.П.
P
T при этой температуре:
 
 
П
Н.П.
P T
P
T

Давление насыщенных паров воды при температуре


0 100 373
t
C T
K


равно
5 0
10
P
Па


Если при постоянной температуре медленно увеличивать объем сосуда, в котором находятся жидкость и еѐ насыщенный пар, то плотность пара и его давление будут оставаться постоянными, т.е. пара будет все больше, а жидкости все меньше. После того как вся жидкость превратится в пар, его плотность и давление начнут уменьшаться обратно пропорционально объему
(см. рис.). Такой пар называется ненасыщенным. При обратном изотермическом сжатии ненасыщенного пара он превратится в насыщенный и начнется его конденсация.
В воздухе содержится водяной пар. Давление воздуха
P
складывается из парциальных давлений сухого воздуха
С.В.
P и паров воды
П
P :
С.В.
П.
P P
P .


Количество пара в воздухе описывается абсолютной и относительной влажностью.
Абсолютной влажностью воздуха называется плотность водяных паров
ρ
П
Относительной влажностью воздуха называется величина
ρ
φ
100 100
ρ
П
П
Н.П
Н.П
P
%
%.
P




Здесь
Н.П.
P
- давление насыщенного водяного пара при той же температуре, что и
П
P .
При охлаждении ненасыщенного пара с абсолютной влажностью
ρ
П
до такой температуры
T
, при которой
 
ρ
ρ
Н.П.
П
T

, начнется процесс конденсации. Эту температуру называют точкой росы (для данной абсолютной влажности
ρ
П
). насыщ.
0
P
0
P
V ненасыщ.
T=const