Мастицкий С. Э. Методическое пособие по использованию программы STATISTICA при обработке данных биологических исследований. Методическое пособие по использованию программы statistica при обработке данных биологических исследований Минск руп Институт рыбного хозяйства

44
Рисунок
5.2.
Окно модуля однофакторного дисперсионного анализа.

Нажать на кнопку Variables и выбрать зависимую («Урожайность») и группирующую переменные
(«Удобрение»). Нажать на кнопки:
Factor codes > All (так мы укажем программе, что в анализе должны участвовать все задействованные в эксперименте группы) > ОК > OK. В итоге появится окно с 8 закладками
(рис. 5.3). Автоматически программа откроет его на закладке Quick
(Быстро).
Результаты анализа можно получить уже на данном этапе, если нажать на кнопку All effects (Все эффекты).
Однако рассматриваемый вариант дисперсионного анализа является параметрическим, т.е. предполагает выполнение следующих обязательных условий в отношении данных: 1) в каждой из сравниваемых групп значения анализируемого признака распределяются
нормально; 2) групповые дисперсии однородны (т.е. между ними нет статистически значимой разницы). Кроме того, все сравниваемые выборки должны быть независимыми. Поэтому перед получением результатов анализа следует проверить, выполняются ли указанные условия, и поступаем ли мы корректно, используя данный вариант дисперсионного анализа.
Рисунок 5.3
Окно выбора результатов дисперсионного анализа.
Ру ко пи сь

45
Для проверки условий ANOVA необходимо выполнить следующее:

Нажать на кнопку More results (Дополнительные результаты), расположенную в нижней части окна ANOVA Results. В результате этого появится окно, представленное на рис. 5.4.
Рисунок 5.
4.
Окно дополнительных результатов дисперсионного анализа на закладке
Assumptions.

Открыть закладку Assumptions (Допущения). Для проверки однородности групповых дисперсий в поле Homogeneity of
variances/covariances нажать на кнопку Levene’s test (тест
Левена). Если результат этого теста указывает на отсутствие различий между дисперсиями (Р > 0,05), то применение параметрического варианта дисперсионного анализа является обоснованным. В нашем примере различий действительно нет (Р = 0,993) (проверьте самостоятельно).

Для проверки нормальности распределения анализируемых данных необходимо воспользоваться одной из опций, доступных в поле Distribution of variables within groups
(Распределение переменных внутри групп). Примечание: если число наблюдений в сравниваемых группах невелико, лучше использовать график нормальных вероятностей (кнопка
Normal p-p; см. также разд. 3.4). Если же их много, то можно оценить характер распределений, построив гистограммы
(кнопка Histograms). При нажатии на одну их этих кнопок программа предложит список групп, участвующих в анализе.
Пример графика, построенного на «вероятностной бумаге»
Ру ко пи сь

46 для «Старого» удобрения, приведен на рис. 5.5. Видно, что точки-наблюдения тесно укладываются вдоль теоретически ожидаемой прямой. Аналогичная ситуация характерна и для остальных двух групп из рассматриваемого примера. Таким образом, анализируемые данные по урожайности удовлетворяют обоим условиям ANOVA.
Рисунок 5.
5
. Окно дополнительных результатов дисперсионного анализа на закладке
Assumptions.

Наконец, необходимо на закладке Summary (рис. 5.4) нажать кнопку Test all effects (Проверить все эффекты). В появившейся таблице результатов (рис. 5.6) необходимо разыскать ячейку с величиной ошибки Р для нулевой гипотезы об отсутствии связи между урожайностью и типом удобрения (строка «Удобрение»). Поскольку в нашем примере P << 0,05, можно заключить, что средняя урожайность культуры статистически значимо различается в зависимости от использованного удобрения.
Рисунок 5.6
Результаты однофакторного дисперсионного анализа.
Ру ко пи сь

47
5.2. Апостериорный анализ
Важно помнить, что дисперсионный анализ позволяет проверить лишь гипотезу об отсутствии различий между сравниваемыми группами в целом. Однако с его помощью невозможно узнать, какие именно группы различаются между собой. Для выяснения этого необходимо воспользоваться методами множественных сравнений, являющихся частью т.н. апостериорного анализа (Post-hoc analysis). Механизм их работы заключается в проведении попарных сравнений средних значений всех групп, включенных в дисперсионный анализ.
Рисунок 5.
7
. Окно дополнительных результатов дисперсионного анализа на закладке
Post-hoc.
Для выполнения множественных сравнений необходимо открыть закладку Post hoc (рис. 5.7) в окне дополнительных результатов дисперсионного анализа (More results). Программа
STATISTICA предлагает ряд тестов для множественных сравнений, несколько различающихся по мощности: Fisher LSD,
Bonferroni, Scheffe, Tukey HSD, Newman-Keuls, Duncan’s, Dunnet.
Наиболее часто используемыми являются тесты Тьюки (Tukey
HSD) и Ньюмена-Кейлса (Newman-Keuls). Нажатие на кнопку соответствующего теста приводит к появлению рабочей книги с матрицей значений Р. Из рис. 5.8, например, видно, что статистически значимая разница в урожайности существует между парами удобрений «Старое – Новое 1» и
Ру ко пи сь

48
«Старое – Новое 2» (Р < 0,05), тогда как оба новых удобрения по эффективности не различаются (Р > 0,05) (выполнен тест Тьюки для выборок с одинаковыми объемами).
Рисунок 5.
8
. Результат выполнения теста Тьюки.
5.3.
Параметрический двухфакторный дисперсионный
анализ
В примере с тремя типами удобрений (предыдущий раздел) мы не обращали внимания на то, на каких опытных участках произрастала культура. Участки выбирались случайным образом, а это значит, что просто в силу случая они могли оказаться очень разными по своим физико-химическим свойствам, что, в свою очередь, также могло сказаться на урожайности. Теперь мы учтем это обстоятельство и выполним двухфакторный дисперсионный анализ (фактор 1 – тип удобрения, фактор 2 – тип почвы опытного участка). Поскольку в анализ включен дополнительный фактор, в таблицу с данными необходимо добавить еще одну группирующую переменную, которая будет содержать коды типов почвы (рис. 5.9). Для выполнения двухфакторного дисперсионного анализа в программе STATISTICA необходимо выполнить следующее:

Запустить модуль
Factorial
ANOVA
(Факторный дисперсионный анализ) из меню Statistics > ANOVA. Можно также нажать кнопку на дополнительной панели инструментов.

В появившемся окне (рисунок не приводится) нажать кнопку
Variables и выбрать зависимую («Урожайность») и
Ру ко пи сь

49 группирующие переменные («Удобрение» и «Тип почвы»).
Нажать на кнопки: Factor codes > All > ОК > OK. В итоге появится уже знакомое вам по рис. 5.3 окно с 8 закладками.
(Примечание: при изложении дальнейшего материала предполагается, что анализируемые данные успешно прошли проверку на нормальность распределения и однородность групповых дисперсий – см. выше).

Нажать на кнопку All effects.
Это приведет к появлению таблицы с результатами дисперсионного анализа
(рис. 5.10). Самое главное для нас в этой таблице – это вторая и третья строки. В конце этих строк приведены вероятности ошибок для нулевых гипотез об отсутствии влияния типа удобрения и типа почвы на урожайность. Видно, что лишь в случае с типом удобрения Р < 0,05. Это говорит о значительном влиянии данного фактора на урожайность.
Доказать подобный же эффект для типа почвы нам в данном эксперименте не удалось
(Р
>
0,05).
Строка
«Удобрение

Тип почвы» касается взаимного влияния исследуемых факторов на урожайность. Как видим, взаимодействие между этими факторами также отсутствует (Р > 0,05).
Аналогичным образом в программе
STATISTICA можно выполнить дисперсионный анализ и с большим количеством факторов.
Рисунок 5.
9
. Пример оформления данных для выполнения двухфакторного дисперсионного анализа.
Обозначения: «Старое»,
«Новое 1», и «Новое 2»
- типы удобрений; «п» и «т»
- песчаная и торфянистая почва.
Ру ко пи сь

50
Рисунок 5.10. Результаты двухфакторного дисперсионного анализа.
5.4.
Дисперсионный анализ Фридмана
Рассмотренные выше варианты дисперсионного анализа помимо обязательных условий о нормальности и однородности групповых дисперсий предполагали также, что сравниваемые группы являются независимыми. В случае с зависимыми выборками необходимо воспользоваться
дисперсионным
анализом Фридмана (Friedman ANOVA). Следует отметить, что, являясь непараметрическим методом, анализ Фридмана не требует нормальности распределения данных и однородности дисперсий.
На рис. 5.11 представлены данные, полученные в ходе наблюдений за изменениями длины раковины моллюска
Sphaerium sp. в летние месяцы.
Десять особей были посажены в специальный садок, который затем установили в озере в типичном для моллюска биотопе.
Каждый месяц измеряли длину раковины у всех 10 моллюсков.
Необходимо выяснить, произошли ли существенные изменения средней длины раковины к концу опыта.
Рисунок 5.11. Пример оформления данных для выполнения дисперсионного анализа
Фридмана.
Ру ко пи сь

51
Поскольку измерения раковины выполнялись на одних и тех же особях Sphaerium, три полученные выборки являются зависимыми. Сравним их с помощью дисперсионного анализа
Фридмана. Для этого необходимо:

Запустить модуль анализа (рис. 5.12) из меню Statistics >
Nonparametrics > Comparing multiple dependent samples
(Сравнение нескольких зависимых выборок). Можно также нажать кнопку на дополнительной панели инструментов.

Нажать кнопку Variables и выбрать переменные, которые должны участвовать в анализе.

Нажать кнопку Summary: Friedman ANOVA and Kendall’s
concordance (Результат: ANOVA по Фридману и критерий
согласованности Кендалла).

В появившейся таблице с результатами необходимо отыскать величину ошибки Р для нулевой гипотезы о том, что в течение трех месяцев наблюдений длина раковины у моллюсков существенно не изменилась. Эта величина находится в заголовке таблицы (рис. 5.13). При Р < 0,05 (как в нашем случае) можно сделать вывод о наличии статистически значимых различий между группами. В этом же заголовке приводится т.н. коэффициент согласованности
Кендалла.
Он рассчитывается путем усреднения коэффициентов корреляции Спирмена (см. разд. 6.3) для каждой пары участвующих в анализе групп. Чем больше различия между группами, тем ближе коэффициент
Кендалла к 1.
Рисунок 5.12.
Модуль дисперсионного анализа
Фридмана.
Ру ко пи сь

52
Рисунок 5.13.
Результаты дисперсионного анализа
Фридмана.
Вероятность ошибки Р
указана стрелкой
5.5
. Дисперсионный анализ Крускала
-
Уоллиса
Как уже отмечалось в главе 3, в биологических исследованиях данные распределены по нормальному закону достаточно редко. И даже если выборочные единицы отбираются из нормально распределенных генеральных совокупностей, объем выборок часто оказывается слишком малым для того, чтобы вообще сделать какие-либо выводы относительно вида распределения. Это делает параметрический дисперсионный анализ неприменимым. Выходом становится использование непараметрического дисперсионного анализа
Крускала-Уоллиса (или Н-теста) (Kruskal-Wallis ANOVA), хотя он и обладает несколько меньшей мощностью в сравнении с параметрическим вариантом.
Неподчинение данных нормальному распределению особенно часто встречается в экологических исследованиях, например, при определении плотности популяций животных или растений методом учетных площадок. На рис. 5.14 представлены данные о плотности популяции моллюска Dreissena polymorpha на разных глубинах озера. Как видно, число наблюдений для каждой из глубин невелико (n = 7). При этом даже если объединить все имеющиеся данные в одну совокупность, окажется, что их распределение далеко от нормального
(проверьте самостоятельно).
Чтобы выяснить, различается ли плотность популяции моллюска на разных глубинах, применим дисперсионный анализ
Крускала-Уоллиса. Для этого в программе STATISTICA необходимо выполнить следующее:
Ру ко пи сь

53

Запустить модуль анализа
(рис. 5.15) из меню Statistics
>
Nonparametrics
>
Comparing
multiple
independent
samples
(Сравнение нескольких независимых выборок).
Можно также нажать кнопку на дополнительной панели инструментов.

Нажать кнопку Variables и выбрать зависимую
(«Плотность») и группирующую («Глубина») переменные.
Нажать на кнопки: Factor codes > All >
ОК > OK.

Нажать на кнопку Summary:
Kruskal-Wallis ANOVA and
Median
test
(Результат:
ANOVA по
Крускалу-
Уоллису и медианный тест).
Рисунок 5.15.
Модуль дисперсионного анализа
Крускала
-
Уоллиса.

В появившейся таблице с результатами (рис. 5.16) необходимо отыскать величину ошибки Р для нулевой гипотезы о том, что плотность популяции дрейссены на исследованных глубинах не различается. Если Р > 0,05 (как в
Рисунок 5.
14
. Пример оформления данных для выполнения дисперсионного анализа Крускала
-
Уоллиса.
Ру ко пи сь

54 нашем примере), то следует вывод об отсутствии различий между сравниваемыми группами. Вместе с результатом
Kruskal-Wallis ANOVA на отдельном листе в рабочей книге программа выдает также результаты т.н. медианного теста.
Этот тест проверяет ту же нулевую гипотезу, что и Н-тест
Крускала-Уоллиса, однако является менее мощным.
Рисунок 5.16. Результаты дисперсионного анализа Крускала
-
Уоллиса. Величина ошибки Р
указана темной стрелкой справа.
На отдельном листе (см. светлые стрелки слева) программа выдает также результаты медианного теста.
Глава 6. Корреляционный анализ
Ответьте на вопрос: «Есть ли связь между ростом и весом тела человека?»
Правильно, есть, и она положительна: в целом, чем человек выше, тем он тяжелее. Но насколько сильна данная связь?
Ответить на этот второй вопрос уже сложнее, т.к. далеко не все высокие люди много весят, равно как и не все низкие люди худые. Однако выход есть – его дает область статистики, называемая корреляционным анализом. Корреляционный анализ позволяет сделать заключение не только о том, какова связь между двумя признаками по направлению (прямая или обратная), но и, что очень важно, выразить ее количественно при помощи коэффициента корреляции – величины, изменяющейся от -1 до +1. Чем ближе коэффициент к 1 (по модулю), тем сильнее связь между признаками. Знак коэффициент указывает на направлении зависимости. В этой главе мы рассмотрим, как выполнить корреляционный анализ при помощи программы
STATISTICA.
Ру ко пи сь

55
6.1. Коэффициент корреляции Пирсона
Использование коэффициента корреляции Пирсона для оценки степени связи между двумя признаками предполагает выполнение следующих двух обязательных условий:

значения обоих анализируемых признаков распределены
нормально;

связь между признаками является линейной.
Способы проверки данных на нормальность распределения мы рассмотрели ранее (глава 3). О том, как установить линейность зависимости между признаками, изложено ниже.
Предположим, необходимо выяснить наличие связи между длиной крыла и длиной хвоста у некоторого вида птицы. Для этого были выполнены соответствующие измерения у 12 особей.
Полученные данные приведены на рис. 5.1.
Для расчета коэффициента корреляции
Пирсона необходимо выполнить следующее:

Запустить модуль анализа из меню Statistics > Basic
Statistics/Tables > Correlation
Matrices
(Корреляционные матрицы).
Можно воспользоваться также кнопкой на дополнительной панели инструментов.

В появившемся окне выбрать переменные, которые должны участвовать в анализе. Для этого нужно нажать либо кнопку One variable list (Один список переменных) либо Two lists (rect. matrix) (Два списка
(прямоугольная матрица)). В первом случае анализируемые переменные последовательно выбираются из одного списка, а во втором – из двух (рис. 6.2).

Проверить условия применимости коэффициента Пирсона
(см. выше). Для визуальной оценки выполнения этих условий можно нажать кнопку Scatterplot matrix for selected variables
Рисунок 6.1. Пример оформления данных для расчета коэффициента корреляции Пирсона.
Ру ко пи сь

56
(Диаграмма рассеяния для выбранных переменных). В результате программа построит точечный график, по осям которого будут отложены значения соответствующих переменных (рис. 6.3). Диагональная линия на этом графике служит для оценки линейности связи между анализируемыми признаками. Если точки-наблюдения укладываются вдоль этой линии на близком расстоянии, можно говорить о существовании прямолинейной зависимости. Вместе с диаграммой рассеяния программа строит также распределения значений анализируемых признаков в виде гистограмм, по форме которых можно проверить условие о нормальности распределения.
(Примечание: в рассматриваемом примере условие нормальности распределения явно не выполняется, однако в учебных целях мы продолжим расчет коэффициента корреляции Пирсона).
Рисунок
6.2.
Выбор переменных для расчета коэффициента корреляции
Пирсона.
Рисунок 6.3.
Визуальная оценка условий применимости коэффициента корреляции
Пирсона
Ру ко пи сь

57

Нажать на кнопку Summary: Correlation matrix (Результат:
Корреляционная матрица). В результате появится таблица, содержащая рассчитанный программой коэффициент корреляции (рис. 6.4). В нашем случае коэффициент оказался очень высоким (r = 0,87), что указывает на существование тесной связи между длиной крыла и длиной хвоста у исследуемого вида птиц. Одновременно с расчетом коэффициента программа оценивает и его статистическую значимость, т.е. проверяет нулевую гипотезу о том, что в действительности связь между признаками отсутствует.
Статистически значимые коэффициенты корреляции Пирсона в программе STATISTICA выделяются красным цветом
(Р < 0,05).
6.4. Результат расчета коэффициента Пирсона.
6
.2. Сравнение двух коэффициентов корреляции Пирсона
В ряде случаев возникает необходимость сравнить два коэффициента корреляции, рассчитанных на основе разных выборок. Рассмотрим следующий пример. В ходе обследования
98 рыб одного вида выяснилось, что коэффициент корреляции между общей длиной тела и длиной головы у них составляет
0,78. У другой популяции того же вида рыб (обследовано 95 особей) эта же зависимость выражалась несколько более высоким коэффициентом – 0,84. Случайна ли разница между этими двумя коэффициентами?
Нулевая гипотеза, которую нам предстоит проверить, заключается в том, что разница действительно случайна. Для ее проверки воспользуемся модулем программы, который
Ру ко пи сь

58 называется Difference tests (Тесты на различие). Он находится в меню Statistics > Basic Statistics/Tables > Difference tests: r, %,
means. Внешний вид модуля приведен на рис. 6.5.
Рисунок
6.5.
Окно модуля
Difference
tests.
Рассмотрите рис. 6.5 внимательно. В верхней части изображенного на нем диалогового окна имеется поле Difference
between two correlation coefficients (Различие между двумя коэффициентами корреляции) с четырьмя ячейками, в которые необходимо ввести соответствующие данные для выполнения анализа. В ячейки r1 и r2 вводятся значения сравниваемых коэффициентов корреляции, в N1 и N2 – объемы выборок, на основе которых эти коэффициенты были рассчитаны. Рядом с ячейками нужно указать, какой вариант теста мы собираемся выполнять – одно- (One-sided) или двухсторонний (Two-sided).
Поскольку мы просто хотим выяснить наличие разницы между коэффициентами, оставим Two-sided. Если бы стояла необходимость проверить гипотезу о том, что один из коэффициентов значительно больше другого, то нужно было бы выбрать опцию One-sided. Наконец, следует нажать кнопку
Compute (Рассчитать). В том же поле программа покажет, чему равна вероятность справедливости нулевой гипотезы. В нашем примере Р = 0,2309, что больше обычно принимаемого уровня
«0,05».
Следовательно, наблюдаемая разница между коэффициентами корреляции является случайной.
Ру ко пи сь

59
6
.3. Коэффициент
корреляции Спирмена
При расчете коэффициента корреляции Пирсона для длины крыла и хвоста птиц (рис. 6.1) мы столкнулись с тем, что значения этих признаков не были распределены нормально
(рис. 6.3). В подобных ситуациях применение коэффициента
Пирсона может приводить к выводам, не соответствующим действительности. Вместо него следует воспользоваться одним из непараметрических коэффициентов корреляции.
Из последних наиболее обычен ранговый коэффициент корреляции
Спирмена. Рассчитаем его для тех же данных о длине крыла и хвоста у птиц (рис. 6.1). Для этого необходимо выполнить следующее:

Запустить модуль
Nonparametric
correlations
(Непараметрические корреляции) из меню Statistics >
Nonparametrics > Correlations (Spearman, Kendall tau, gamma)
(Корреляции (Спирмена, тау Кендалла, гамма)).

В появившемся окне (рис. 6.6) нажать на кнопку Variables и выбрать столбцы, содержащие необходимые данные.

Нажать кнопку
Spearman R или Spearman
rank R. Появится таблица с результатами анализа (рис.
6.7), которая содержит столбцы Valid N (число наблюдений), Spearman R
(коэффициент корреляции
Спирмена),
t(N-2)
(значение критерия
Стьюдента для числа степеней свободы n-2), и Р
(вероятность ошибки для нулевой гипотезы об отсутствии связи между признаками).
В нашем примере коэффициент корреляции Спирмена оказался несколько ниже рассчитанного ранее коэффициента
Пирсона (0,85 против 0,87). При этом он является в высокой степени статистически значимым (Р << 0,05).
Рисунок 6.
6.
Модуль непараметрического корреляционного анализа.
Ру ко пи сь

60
Рисунок
6
.7. Результат расчета коэффициента корреляции
Спирмена.
6.4. Коэффициент ассоциации
(связанности)
Коэффициенты корреляции
Пирсона и
Спирмена применяются для оценки связи между количественными признаками. Однако многие биологические исследования сопряжены с изучением качественных величин (окраска, пол, наличие или отсутствие определенного состояния, и т.п.). Для таких признаков также можно определить степень
«связанности». Один из показателей, который позволяет это сделать – коэффициент ассоциации φ, который изменяется от 0 до 1. Чем ближе φ к 1, тем сильнее связь.
Рассмотрим пример из иммунологии. Совокупность из 111 мышей разделили на две группы: по 57 и 54 мыши. Первой группе мышей сделали инъекцию патогенных бактерий при последующем введении сыворотки с антителами. Животные из второй группы служили контролем – им сделали только инъекции бактерий. После некоторого времени инкубации оказалось, что всего погибло 38 мышей, а выжило 73. Из погибших 13 принадлежали первой группе, а 25 – ко второй
(контрольной). Вопрос: есть ли связь между введением сыворотки и выживаемостью мышей?
Данные описанного эксперимента удобно представить в виде т.н. таблицы сопряженности размером 2

2 (= четырехпольная таблица, или таблица с двумя входами):
Погибло
Выжило
Бактерии + сыворотка
13 44
Только бактерии
25 29
Ру ко пи сь

61
Для расчета коэффициента ассоциации необходимо:

Запустить модуль анализа четырехпольных таблиц
(рис. 5.11) из меню Statistics
> Nonparametrics > 2

2
Tables.

В ячейки появившейся панели (рис. 6.8) ввести данные о численности мышей в каждой из экспериментальных групп
(в соответствии с приведенной выше таблицей).

Нажать кнопку Summary. В результате этого появится таблица с большим набором статистических показателей
(рис. 6.9). Нам необходима строка Phi-square, в которой находится значение коэффициента ассоциации, возведенное в квадрат для придания ему положительного значения. В нашем случае фи-квадрат равен 0,061. После извлечения корня получаем φ = 0,247. Таким образом, полученное значение фи указывает на достаточно слабую связь между введением сыворотки и выживаемостью зараженных мышей.
Рисунок 6.
9.
Результат анализа таблицы сопряженности
2

2.
Рисунок 6.8. Модуль анализа таблиц сопряженности 2

2.
Ру ко пи сь

62
Заметьте, что модуль 2

2 Tables можно использовать также для сравнения частот бинарных качественных признаков в двух группах. Так, в таблице на рис. 6.9 помимо коэффициента ассоциации приведены значения: критерия

2
без поправки
Йетса и с ней; точного критерия Фишера; критерия Мак-
Нимара для зависимых групп. Анализируя, например, результат теста

2
, можно заключить, что несмотря на установленный нами слабый эффект от введения сыворотки с антителами, выживаемость мышей в контрольной и экспериментальной группах все же статистически значимо различается (Р = 0,0091; см. строку Chi-square (df = 1) на рис. 6.9).

перейти в каталог файлов