Влияние высоты балки на прогиб
 Скачать 18.16 Kb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
Влияние поперечных сил на прогиб балки. Общие положенияПоперечные силы, действующие в том или ином поперечном сечении балки, определяются по соответствующей Площадь поперечного сечения балки может быть не постоянной величиной, поэтому площадь рассматриваемого сечения обозначена как F Как правило при соотношении длины балки к высоте l/h > 10 (где h - высота, l - длина балки) влияние касательных напряжений в поперечных сечениях балки на прогиб относительно мало и не превышает 0.8%. А для балок с соотношением l/h > 20 - и вовсе 0.2%. В таких случаях можно пользоваться упрощенными уравнениями ∫dx∫M Эта формула в частности означает, что в данном случае при определении прогиба интегрированием уравнения моментов учитываются только нормальные напряжения, действующие в поперечных сечениях балки. Как Если соотношение длины балки к высоте l/h < 10, то влияние поперечных сил на значение прогиба желательно учитывать. И чем меньше соотношение длины к высоте, тем больше будет влияние поперечных сил. На первый взгляд это кажется странным. Ведь чем больше высота балки, тем больше будет жесткость балки. И тут даже не линейная зависимость, потому как например момент инерции поперечного прямоугольного сечения I = bh3/12. Однако ничего странного тут нет, действительно, чем больше высота балки, тем больше в итоге жесткость балки и тем меньше прогиб балки. Но при этом необходимо учитывать возрастающее влияние касательных напряжений на это относительно небольшое значение прогиба. То есть, чем больше высота балки по отношению к длине, тем сильнее балка, с точки зрения строительной механики рассматриваемая как Как мы знаем, особенность Для этого может использоваться следующее уравнение, учитывающее действие касательных напряжений: ∫dx∫M где k - безразмерный коэффициент, зависящий от геометрической формы поперечного сечения. - Для балок прямоугольного сечения k = 6/5 - Для балок сплошного круглого сечения k = 10/9, - Для тонкостенных труб - k = 2. Примечание: Нормальные напряжения, действующие вдоль оси х, и вызывающие линейные деформации вдоль оси х, сами по себе вроде бы не приводят к прогибу - вертикальному смещению нейтральной оси балки вдоль оси у. Однако в результате линейных деформаций, различных по высоте балки, изменяется угол наклона поперечного сечения, в результате прогиб зависит от угла наклона поперечного сечения. Поэтому для определения прогиба уравнение момента интегрируется дважды. В свою очередь касательные напряжения действуют вдоль оси у и деформация сдвига происходит сразу вдоль оси у, поэтому для учета влияния касательных напряжений уравнение поперечных сил интегрируется один раз. Возможно это и не самое правильное объяснение природы действия касательных напряжений, но зато достаточно наглядное. Другие возможные объяснения, в частности рассматривающие плоское напряженное состояние в различных точках балки, я здесь не привожу. Определение прогиба балки с учетом поперечных силРассмотрим влияние поперечных сил на значение прогиба на следующем достаточно простом примере. Имеется консольная балка, на конце балки приложена сосредоточенная нагрузка, проще говоря, сила Q. Уравнения моментов и поперечных сил, действующих в поперечных сечениях такой балки, М Q Кроме того, нам известны начальные параметры для такой балки: М Q θ f Проинтегрировав уравнения момента и поперечных сил с учетом значений начальных параметров, получим: f В данном случае отрицательный знак перед вторым членом уравнения в правой части учитывает отрицательное направление прогиба. Впрочем как и интегрируемое уравнение момента. Максимальный прогиб балки будет в конце - в точке приложения сосредоточенной силы (х = l), тогда: - f В принципе все необходимые данные для определения прогиба уже есть, тем не менее попробуем привести правую часть уравнения к общему знаменателю, чтобы оценить влияние прогиба от поперечных сил на общее значение прогиба. Модуль сдвига и модуль упругости материала связаны между собой следующей зависимостью: Е = 2(1 + μ)G ( из этого следует, что G = E/2(1 + μ) (536.7) где μ - это коэффициент Пуассона. А чтобы получить момент инерции сечения I, нужно площадь сечения F = bh умножить на h2 и разделить на 12: Fh2/12 = I (536.8.1) из этого следует, что F = 12I/h2 (536.8.2) Тогда, GF = 6EI/((1 + μ)h2) (536.9) Подставим полученные значения в уравнение (536.6): - f А чтобы вынести в правой части уравнения (536.6) выражение Ql3 за скобки, умножим и разделим член уравнения (536.10) на l2: - f Если мы заменим достаточно длинное выражение kh2(1 + μ)2l2 неким коэффициентом λ: λ = k(1 + μ)h2/2l2 (536.12) То форма записи уравнения (536.11) значительно сократится: - f При этом коэффициент λ как раз и будет показывать приращение прогиба, зависящее от высоты балки. То есть для того, чтобы оценить влияние на прогиб высоты балки при соответствующей длине, достаточно определить значение коэффициента λ. И даже абсолютные значения высоты и длины балки при этом не нужны, достаточно знать отношение длины к высоте. Например для балки прямоугольного сечения, материал которой имеет коэффициент Пуассона μ = 0.3 и соотношение l/h = 10, т.е. h/l = 0.1, значение λ составит: λ = 6(1 + 0.3)0.12/2·5 = 0.0078 или 0.78% от прогиба, происходящего в результате действия нормальных напряжений. При соотношении h/l = 0.2 влияние поперечных сил для такой балки оценивается в 3.1%, а при соотношении h/l = 0.5 - в 19.5%. При h/l = 1 в 78%. И так далее. |
перейти в каталог файлов