Задание 19. Арифметика и алгебра. Задача (профильный уровень)
 Скачать 0.79 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
| . Ответ. Нет решений. Указание. Рассмотрите остатки отделения на 3. . Ответ. Нет решений. Указание. Рассмотрите остатки отделения на 4. . Ответ. Нет решений. Указание. Рассмотрите остатки отделения на 4. . Ответ. Нет решений. Указание. Рассмотрите остатки отделения на 5. . Ответ. (1; 3). Указание. Рассмотрите остатки отделения на и на 4. . Ответ. (1; 2), (2; 1), (k; k), где k ∈ . Указание. Используйте разложение на множители. Ответ. (11; 5). Указание. Так как 2 y < 2 x , наибольшая степень двойки, на которую делится левая часть, равна y. А 2016 = 32 · Следовательно, y = 5. . Ответ. (0; 0), (1; 2). Указание. Разложите на множители левую часть и рассмотрите остатки отделения на 4. . Ответ. (2; 1). Указание. Рассмотрите остатки отделения на или на 4. . Ответ. (4; 6). Указание. Рассмотрите остатки отделения на 5. . Ответ. (0; 3), (2; 4). Указание. Из уравнения следует, что 2 y > > 7, те. Значит, x 0. Если x = 0, то y = 3. При x 1 рассмотрите остатки отделения на 3 и на 4 и докажите, что обе переменные чётные. Дальше задача решается разложением на множители. Ответ. (2; 4), (4; 2). Указание. Одно из возможных решений этой задачи — прологарифмировать уравнение по основанию e и исследовать функцию f (x) = x ln на монотонность . Неравенства и оценки в задачах теории чисел Диагностическая работа . Ответ. 1. . Ответ. 1999. . Ответ. 18. Ответы, указания, решения. Среднее арифметическое. Неравенство о средних Подготовительные задачи. Указание. Сведите неравенство к формуле квадрата разности. Указание. Домножьте неравенство на знаменатель и перенесите все в одну часть. Указание. Примените два раза неравенство о средних для двух чисел. Указание. Домножьте исходное неравенство на все знаменатели и упростите получившееся неравенство. Указание. Примените неравенство о средних для каждой из скобок. Указание. Примените неравенство о средних для трёх чисел. Ответ. 8. . Ответ. Нет. Воспользуйтесь определением среднего арифметического и докажите, что в этом случае сумма десяти чисел будет нецелой. Ответ. 1,22 м. Ответ. 32. . Ответ. 70. . Указание. Примените неравенство о средних для n чисел. Основные задачи. Указание. Домножьте обе части на 2. Разбейте левую часть в сумму 6 слагаемых и трижды воспользуйтесь неравенством о средних для двух чисел. Указание. Домножьте обе части на 2. Разбейте левую часть в сумму 6 слагаемых и трижды воспользуйтесь неравенством о средних для двух чисел. Указание. Разбейте и примените неравенство о средних для трёх чисел. Ответ. От 15 до 55 включительно. Указание. Рассмотрите максимальное из всех чисел. Докажите, что все соседние с ним числа равны ему. Их соседи — тоже и т. д. Указание. Обозначьте среднее арифметическое данных чисел через новую переменную, а в качестве второй переменной введите разность между большим числом и средним арифметическим, после чего докажите, что произведение чисел будет максимальным, когда введённая разность равна нулю. Ответ. 4. Ответы, указания, решения. Ответ. 96433469. Указание. В искомом числе разница между цифрой и следующей за ней убывает. Отсюда и из того, что все цифры не больше 9, следует, что цифр в искомом числе не более 8. Следовательно, осталось подобрать восьмизначное число, причём набор разностей должен быть таким 3, 2, 1, 0, −1, −2, −3. . Ответа б) отрицательных в) 17. Указание. Обозначьте через три переменные количество положительных чисел, количество отрицательных и количество нулей в нашем наборе, после чего воспользуйтесь определением среднего арифметического. Неравенства и оценки Подготовительные задачи. Ответ. (1; 2), (2; 1). . Ответ. (0; 0), (1; 0), ( −1; 0), (−1; 1), (0; 1), (1; 1), (−1; 2), (0; 2), (1; 2). Указание. Ограничьте множество возможных значений y. . Ответ. 3 200 . Указание. Представьте оба выражения как сотые степени. Ответ. 3 28 . Представьте оба выражения как четвёртые степени. Ответ. 4 200 . Указание. Воспользуемся неравенством 2 100 + 2 100 < < 4 100 . Ответ. 1234568 2 . Указание. Воспользуйтесь формулой разности квадратов. Ответ. 51 101 . Указание. Воспользуйтесь формулой разности квадратов 50 раз. Указание. Если n > 2, то n 2 = n · n > 2n. . Ответ 3. Указание. Оцените x сверху из области определения корня и снизу из условия, что правая часть должна быть неотрицательной. Ответ. −2. Основные задачи. Указание. Докажите, что 26 15 < 10 23 . Для этого, например, воспользуйтесь оценкой 26 2 < 10 3 . Ответ. 31. Указание. Докажите, что 2 100 > 10 30 , а затем — что 100 < 10 31 . Для доказательства второго неравенства можно воспользоваться оценкой 5 7 > 2 16 . Ответ. 17 14 . Указание. Докажите, что 32 11 < 16 14 . Ответ. 8 85 . Указание. Представьте 8 как степень двойки, после чего каждое из трёх неравенств докажется с помощью сокращения показателей и базовых оценок 2 5 > 5 2 , 2 5 > 3 3 , 2 17 > 7 6 Ответы, указания, решения. Указание. Первые четыре слагаемых данной алгебраической суммы уже больше 5 . Ответ 3 . Указание. Воспользуйтесь тем, что + 41 3 — целое число, обозначьте это целое число через новую переменную, выразите через неё x и подставьте результат в выражение + 17 10 . Ответ 4 ; 0; 7 2 . Указание. Если [n] < 0, то 2 [n] ∈ (0; 1), а значит, и 2n + 1 ∈ (0; 1), из чего следует, что n ∈ − 1 2 ; 0 . Тогда [n] = −1, откуда легко найти n. Если же [n] 4, то решений нет, так как левая часть больше правой. Остальные случаи нетрудно перебрать. Ответ. 1, 2, …, 2008. Указание. Докажите, что · 1004 < 2008 1004 2 + 1 < 2008 · 1004 + откуда будет следовать, что 2008 1004 2 + 1 = 2008 · 1004. . Ответ. ( −7; 7), (−6; 6). Указание. Поделите первое неравенство на 2 и выделите в нём полные квадраты. Ответ. 24. Указание. Обозначьте через переменные производительность и время работы мастера, после чего составьте уравнение и выразите в нём производительность через время . Последовательности и прогрессии Диагностическая работа . Ответ. 50. . Ответ. 11. . Ответ. 54850. . Ответ 3 . Ответ. Подготовительные задачи. Ответ −115. . Ответ. 15. Указание. Воспользуйтесь характеристическим свойством арифметической прогрессии. Ответ. 0. . Ответ. 2. . Ответ. 1024. Указание. Воспользуйтесь характеристическим свойством геометрической прогрессии Ответы, указания, решения. Ответ. 6; 10. Указание. Произведение четырнадцатого и второго членов геометрической прогрессии равно произведению её шестого и десятого членов. Ответ. 25. Указание. Произведение шестого и восьмого членов геометрической прогрессии равно произведению её пятого и девятого членов. Ответ. 420. Указание. Найдите первый отрицательный член данной прогрессии. Ответ. 64. Указание. Воспользуйтесь неравенством о средних для трёх чисел. Ответ. Нет. Указание. Если цифры образуют арифметическую прогрессию, то их сумма делится на Основные задачи. Ответ. 1; 3267. Указание. Докажите, что эта сумма всегда не- чётна. . Ответ. Нет. Указание. Отношение между разностью двух членов арифметической прогрессии и разностью других двух её членов должно быть рациональным. Ответ 18 ; 5 . . Ответ. Указание. Выразите все указанные члены прогрессии как функцию от разности. Ответ. 8. . Ответ. 4. . Ответ. Ответ. 1, 3, 5, 7, Указание. является квадратичной функцией от n, а для функции f (n) = an 2 + bn + c свойство f (n) · f (m) = f выполняется только при a = 1, b = c = 0. . Указание. Как может измениться, если x увеличился на 1? . Ответили. Ответ − 5 2 . Ответ. 3; 15; 27. . Ответ. 3; 13; 23. Указание. Как минимум одно из этих чисел должно делиться на 3. . Ответ. (2; 3), (3; 5; 7). Указание. Если чисел не менее трёх, то как минимум одно из них делится на 3. . Ответ. Да, a n = 2 · 3 n −1 . Ответ. Неверно. (Пример a n = 2 n −1 9 .) . Ответ. a n = (5 − n) · 5 n −1 Ответы, указания, решения. Ответ. Указание. Докажите, что каждое число не превосходит. Ответа) нет б) может, например, {11 · 97; 97; 11 · 97}; в) Указание. а) Рассмотрите чётность суммы этих двух членов. в) Минимально возможный вариант — когда чередуются числа 1 и 11. . Ответа) нет б) нет в) да (например, 1, 2 и 4). Указание. а) Если чисел образуют геометрическую прогрессию, то их произведение равно пятой степени среднего члена прогрессии. б) В этом случае если первый член искомой прогрессии равен а знаменатель — q, то произведение четырёх членов прогрессии равно b 4 1 q 6 . Дальнейший краткий перебор результатов не даст Содержание Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Решения задач диагностической работы . . . . . . . . . . . . . . . . § . Делимость и её свойства. Признаки делимости . . . . . . . . Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Краткая теоретическая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Свойства делимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Признаки делимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Остатки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Краткая теоретическая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Десятичная запись числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Краткая теоретическая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . НОД и НОК. Основная теорема арифметики . . . . . . . . . . Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Краткая теоретическая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. НОД и НОК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Основная теорема арифметики. Делители . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Содержание Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Уравнения в целых числах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Краткая теоретическая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Неравенства и оценки в задачах теории чисел . . . . . . . . Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Краткая теоретическая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Среднее арифметическое. Неравенство о средних . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Неравенства и оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Последовательности и прогрессии . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Краткая теоретическая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет . . . . . . . . Ответы, указания, решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Учебно-методическое пособие Георгий Игоревич Вольфсон Максим Яковлевич Пратусевич Сергей Евгеньевич Рукшин Константин Михайлович Столбов Иван Валериевич Ященко ЕГЭ 2018. МА З (Под редакцией ИВ. Ященко Подписано в печать г. Формат 60 × 90 / . Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. . Тираж экз. Заказ Издательство Московского центра непрерывного математического образования, Москва, Большой Власьевский пер, д. . Тел. () Отпечатано в ООО «Типография ” Миттель Пресс“». г. Москва, ул. Руставели, д. , стр. . Тел./факс + () --, --. E-mail: Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине Математическая книга», Москва, Большой Власьевский пер, д. . Тел. () ––. E-mail: biblio@mccme.ru Магазин Математическая книга» Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине Математическая книга в Москве по адресу Б. Власьевский пер, д. ; тел. () Книга — почтой Книги в электронном виде Мы сотрудничаем с интернет-магазинами • Книготорговая компания Абрис тел. () --, () --; www.umlit.ru, www.textbook.ru, абрис.рф • Интернет-магазин «Книга.ру»; тел. () --; Наши партнеры в Москве и Подмосковье • Московский Дом Книги и его филиалы (работает интернет-магазин); тел. () --; Магазин Молодая Гвардия (работает интернет-магазин): ул. Б. Полянка, д. ; тел. () --, () --; Магазин «Библио-Глобус» (работает интернет-магазин): ул. Мясницкая, д. /, стр. ; тел. () --; Спорткомплекс Олимпийский, й этаж, точка ; тел. () Сеть киосков Аргумент в МГУ тел. () --, () Сеть магазинов Мир школьника (работает интернет-магазин); тел. () --, () --, () --, () Сеть магазинов Шаг к пятерке тел. () --, () Издательская группа URSS, Нахимовский проспект, д. , Выставочный зал «Науку — Всем, тел. () --, Книжный магазин издательского дома Интеллект в г. Долгопрудный: МФТИ (новый корпус тел. () Наши партнеры в Санкт-Петербурге • Санкт-Петербургский Дом книги Невский пр-т, д. ; тел. () Магазин Мир науки и медицины Литейный пр-т, д. ; тел. () Магазин Новая техническая книга Измайловский пр-т, д. тел. () -- • Информационно-книготорговый центр Академическая литература»: Васильевский остров, Менделеевская линия, д. Киоск в здании физического факультета СПбГУ в Петергофе; тел. () --, () --, () Издательство Петроглиф Фарфоровская, , к. ; тел. () --, () --; k_i_@bk.ru, Сеть магазинов Учебная литература тел. () тел. () --, тел. () -- (доб. Наши партнеры в Челябинске • Магазин «Библио-Глобус», ул. Молдавская, д. , Наши партнеры в Украине • Александр Елисаветский. Рассылка книг наложенным платежом по Украине: тел. ---; df-al-el@bk.ru  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |