Сарайский Ю. Н., Алешков И. И. Аэронавигация. Часть 1_СПб ГУГА_2013. Аэронавигация часть I. Основы навигации и

151 но различный для каждого отрезка. На каждом из таких отрезков ось гироскопа изменит свое положение по отношению к истинному меридиану на величину угла схождения меридианов на этом отрезке тоже бесконечно малую. Как принято в высшей математике, обозначим бесконечно малые величины как дифференциалы:
dλ – бесконечно малая разность долгот на отрезке;
dδ
сх
– бесконечно малое изменение угла схождения меридианов.
Тогда в соответствии с формулой (2.4) можно записать:
dδ
сх
= dλ sin φ, (5.4) где φ – широта, на которой расположен данный бесконечно малый отрезок
ЛФП.
На такую величину и изменит ось гироскопа (опорный меридиан) свой угол с истинным меридианом на данном отрезке (рис. 5.33). Естественно, на столько же изменится разность между истинным и ортодромическим курсами.
Рис. 5.33. Уход гироскопа на бесконечно малом отрезке ЛФП
Чтобы найти отклонение на протяжении всей ЛФП, нужно просуммировать отклонения на каждом из таких отрезков. Каждый отрезок бесконечно мал, но и отрезков бесконечно много. Как известно из математики, определенный интеграл − это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых. Следовательно, формулу (5.4) необходимо проинтегрировать по долготе от λ
1
(долготы начальной точки) до
λ
2
(долготы конечной точки ЛФП).
После интегрирования получим:



2
1
,
d
sin





(5.5) где Δγ – величина изменения азимутальной поправки (угла между осью

152 гироскопа и истинным меридианом) при полете по всей произвольной ЛФП.
Очевидно, что на столько же изменится разность между истинным и ортодромическим курсами, ведь это и есть азимутальная поправка, поэтому данная величина и обозначена как разность курсов γ .
Вынести синус широты за знак интеграла в формуле (5.5) нельзя, поскольку в этой формуле широта φ текущей точки ЛФП не константа, а переменная величина. На каждом меридиане она различна и зависит от долготы меридиана, являясь ее функцией. Эта зависимость φ(λ) и является уравнением, описывающим ЛФП в сферической системе координат, аналогично тому, как функция y(x) описывает некоторую кривую в прямоугольной системе координат.
Поскольку речь идет о полете по произвольной траектории, то зависимость φ(λ), конечно, вовсе не описывается какой-то определенной формулой. Поэтому и проинтегрировать формулу (5.5) аналитически в общем случае невозможно. А для каждой конкретной траектории, то есть зависимости φ(λ), величину Δγ можно рассчитать, например, методами численного интегрирования.
Из формулы (5.5) можно сделать важный и интересный вывод: уход
гироскопа от меридиана, а значит и его положение в конце траектории,
зависит не только от координат начальной и конечной точек ЛФП, но и от
самой формы траектории, по которой летел самолет.
Например, если в точке А выставить ось гироскопа по истинному меридиану этой точки и пролететь в точку Б по двум разным маршрутам, то ось гироскопа будет направлена в точке Б по-разному. Этот вывод развенчивает бытующие в некоторых учебниках упрощенные утверждения типа «ось гироскопа сохраняет направление опорного меридиана» и показывает недопустимость выражений вида «перенесем направление истинного меридиана в данной точке параллельно самому себе во вторую точку». Да, перемещение оси гироскопа по поверхности сферы можно рассматривать как перенос вектора параллельно самому себе. Но это только на плоскости конечное положение такого вектора будет одним и тем же, по какому пути его ни переноси. На сфере же положение вектора (направление оси гироскопа) будет зависеть от формы траектории, по которой он был
перенесен.
Конечно, это не какая-то особенность именно гироскопа. Это свойство поверхности сферы, которое доказывается в таком разделе высшей математики как дифференциальная геометрия.
Таким образом, ось гироскопа вовсе не сохраняет, как это для простоты принято считать, направление меридиана, по которому она выставлена. Эта ось просто ведет себя в соответствии с законами физики и геометрии, а именно так, как требует свойство ортодромичности и как описывает формула (5.5). Убедиться в этом можно простым мысленным экспериментом с глобусом (рис.5.34).

153
Рис. 5.34. Полет по замкнутому маршруту
Допустим, полет начинается из точки пересечения экватора с
Гринвичским меридианом (φ=0, λ=0). Ось гироскопа выставим по истинному меридиану, то есть на север. Пусть самолет летит прямо к северному полюсу.
Очевидно, что угол схождения меридианов на этом участке равен нулю, поскольку разность долгот равна нулю. Поэтому ось гироскопа по прибытии на полюс так и останется направленной по этому же меридиану. Развернемся на 90° и далее полет продолжим к экватору, но уже по меридиану с долготой
λ =90°. В начале этого участка ось гироскопа составляла с этим меридианом угол 90° и он сохранится таким до прилета на экватор. В этой точке она будет направлена по экватору на восток. Затем полетим по экватору в точку, из которой полет был начат. На этом участке угол схождения меридианов тоже равен нулю, поскольку равна нулю средняя широта участка. По прилете в начальную точку мы увидим, что ось гироскопа направлена по экватору на восток, хотя в начале полета она была направлена на север, то есть, что она повернулась на 90°. Вот так ось гироскопа «сохраняет» (в кавычках) направление меридиана выставки…
Можно привести геометрическую интерпретацию величины ухода гироскопа от истинного меридиана при полете по произвольной траектории.
Эта интерпретация может оказаться полезной для качественного анализа ситуации, то есть решения вопросов о том, в какую сторону ушел гироскоп, на большую или меньшую величину и т.д.
Предположим, что в точке A (рис. 5.35) ось гироскопа была выставлена по истинному меридиану этой точки. Когда ВС по произвольной траектории перелетит в точку B, ось гироскопа уже не будет совпадать с истинным меридианом этой точки.
Можно показать математически, что величина отклонения будет
пропорциональна площади земной сферы, ограниченной меридианами
начальной и конечной точек (AC и BD ), экватором (CD) и линией
фактического пути(AB). То есть, чем больше эта площадь, тем на больший угол ось гироскопа отклонится от истинного меридиана.

154
Рис. 5.35. Геометрическая интерпретация величины ухода гироскопа
Например, (см. рис. 5.35) при полете по ЛФП, обозначенной цифрой 1, уход гироскопа будет больше, чем по ЛФП, . обозначенной цифрой 2. А при полете по ортодромии (обозначена на рисунке пунктиром) – будет по величине промежуточным между 1 и 2 и, как следует из предыдущих параграфов, количественно равным углу схождения меридианов между точками A и B.
Если конечная точка B маршрута находилась бы западнее точки A, а не восточнее, как показано на рисунке, то величина ухода имела бы отрицательный знак, то есть гироскоп ушел бы в противоположную сторону
(влево, к западу от меридиана).
Отсюда также следует, что при полете по замкнутому маршруту ось гироскопа не вернется в прежнее положение, которое она занимала в начале полета. Допустим, выполнялся полет из A в B по траектории 1 (см. рис. 5.35), а обратно из B в A по траектории 2. Тогда при полете в B ось гироскопа отклонится вправо (к востоку) на угол, пропорциональный площади под кривой 1, а при полете в обратном направлении отклонится влево (к западу) на меньший угол, поскольку площадь под кривой 2 меньше. В результате, при возвращении в точку A ось гироскопа не совпадет с истинным меридианом, как было в начале полета, а окажется отклоненной вправо от него.
Также из приведенной интерпретации ясно, почему при полете строго по меридиану или экватору ось гироскопа сохранит свое направление относительно текущего меридиана. Ведь площадь под такими траекториями равна нулю. Разумеется, так и должно быть. Ведь и меридианы, и экватор – ортодромии. При полете по ортодромии уход равен углу схождения меридианов, а он в этих случаях равен нулю.
Важно обратить внимание на следующий интересный факт. Ось гироскопа «не знает» какую систему сферических координат (сетку меридианов и параллелей) мы используем на сфере. Как отмечалось в п. 2.6, на сфере можно ввести множество сферических систем координат,

155 отличающихся расположением их полюсов, экватора и т.п. Такие косые сферические системы координат в навигации называют ортодромическими.
Все эти сферические системы совершенно равноправны, и в любой из них приведенная геометрическая интерпретация будет справедлива. Допустим, мы используем такую условную систему сферических координат, в которой условный экватор направлен прямо по ортодромической ЛЗП. Тогда при полете по ней гироскоп не будет уходить от направления условных меридианов этой системы – ведь полет выполняется по экватору и площадь между ЛФП и этим условным экватором равна нулю.
5.12. Погрешности гироскопических курсовых приборов
Погрешность. Под погрешностью измерения какой-либо величины понимается разность между измеренным и фактическим значением этой величины. Измеренное значение – это то, что показывает прибор. Но что понимать под фактическим? Видимо, это то, что мы хотим измерить, то есть получить с помощью данного прибора. Но тогда, в зависимости от того, что мы хотим получить, и погрешность будет иметь разную величину.
Если, например, часы установлены по гринвичскому времени, то погрешность определения с их помощью этого времени будет зависеть только от качества часов – насколько они спешат или отстают. Но если они установлены по гринвичскому времени, а мы захотим с их помощью определить московское летнее время, то погрешность (разность между показаниями часов и фактическим московским временем) составит примерно минус 4 часа («примерно» потому, что сами часы может быть идут неточно).
Поэтому, говоря о погрешностях гироскопических компасов, необходимо определиться, а какой, собственно, курс мы хотим с их помощью измерить? Если истинный курс, то есть измеренный от северного направления текущего истинного меридиана, то погрешность может быть очень большой. Ведь как показано ранее, ось гироскопа уходит от направления истинного меридиана. Если мы хотели бы измерить магнитный курс, то погрешность, скорее всего, была бы еще больше – ведь меняется магнитное склонение, а гироскоп этого совсем не учитывает.
На самом деле никто, конечно, не собирается использовать гирополукомпас для непосредственного отсчета истинного и магнитного курсов. Он предназначен для измерения ортодромического курса, отсчитываемого от опорного меридиана, которым физически является ось гироскопа. Конечно, имеется в виду идеальный гироскоп, который ведет себя в полном соответствии с законами физики так, как уже было рассмотрено.
Таким образом, под фактическим курсом, который мы хотим определить с помощью ГПК, понимается курс, отсчитанный от оси идеального гироскопа
(ортодромический курс). А если на самом деле по каким-то причинам гирополукомпас показывает другое значение, то их разность – это и есть

156 погрешность компаса.
Каждый пилот должен знать, какие виды погрешностей измерения курса имеет гироскопический курсовой прибор, какими причинами они вызываются, какой величины могут достигать.
Погрешности могут вызываться разными причинами. Рассмотрим основные из них.
Методическая
погрешность
из-за
отклонения
ЛФП
от
ортодромии. Для выполнения полетов с использованием гироскопических курсовых приборов необходимо знать ортодромические заданные путевые углы (ОЗПУ) каждого участка маршрута, то есть заданные направления полета, измеренные от опорного меридиана. Для определения ОЗПУ используются азимутальные поправки, рассчитываемые по формулам (5.2,
5.3). Но эти формулы выведены для случая, когда ВС выполняет полет строго по ортодромии из точки начальной выставки гироскопа в точку, для которой рассчитывается азимутальная поправка. Поэтому сама методика расчета путевых углов как бы подразумевает, что полет будет выполняться именно по ортодромии.
Такой подход в принципе оправдан, поскольку каждый участок ЛЗП представляет собой ортодромию. Но даже на отдельно взятом участке маршрута ВС никогда не летит точно по ортодромии (рис. 5.36, а).
Неизбежны случайные отклонения от ЛЗП, которые экипаж стремится устранять. Таким образом, расчет путевых углов произведен в предположении, что ось гироскопа будет вести себя так, как положено при полете по ортодромии (ЛЗП), а фактически самолет летит по произвольной
ЛФП и ведет себя по-другому. При полете точно по ЛЗП ось гироскопа ушла бы на угол схождения меридианов на данном участке, а фактически она уйдет на другой угол. Это вызовет погрешность в измеренном курсе, то есть разность между тем, что показывает прибор, и тем, что он, по нашему мнению, должен показывать.
Рис. 5.36. Отклонение ЛФП от ортодромии
Нетрудно сообразить, что эта погрешность пропорциональна площади между ЛЗП и ЛФП, которая является разностью площадей от экватора до
ЛЗП и до ЛФП. При этом та часть площади, которая находится справа от
ЛЗП, считается положительной, а слева – отрицательной. Даже без расчетов можно понять, что эта площадь и, следовательно, погрешность курса будет небольшой. Ведь обычно ВС не уклоняется далеко от ЛЗП, да к тому же
«положительные» площади в большей своей части компенсируются

157
«отрицательными» площадями, поскольку самолет уклоняется то вправо, то влево.
Другая ситуация возникает из-за того, что маршрут состоит из нескольких ортодромических участков, которые могут лежать довольно далеко от главной ортодромии, соединяющей напрямую точку начальной выставки гироскопа и точку, для которой рассчитывается азимутальная поправка (рис. 5.36, б). И если при определении азимутальной поправки угол схождения меридианов рассчитывается как разность долгот, умноженная на синус средней широты, то это будет правильным только в том случае, если полет выполняется по такой главной ортодромии. На самом же деле ВС выполняет полет по ЛФП , близкой к ЛЗП всех участков маршрута, а они могут лежать далеко от главной ортодромии. Возникнет погрешность определения ортодромического курса, пропорциональная площади между главной ортодромией и маршрутом. А эта площадь может быть очень большой.
Насколько большой может быть погрешность Δγ курса за счет отклонения ЛФП от ортодромии? Можно показать, что она не превысит значения
Δγ
max
=1,4·10
-6
S X, (5.6) где Δγ
max
- измеряется в градусах;
S – длина главной ортодромии, км;
X – наибольшее отклонение ЛФП от ортодромии, км (рис.5.37).
Рис. 5.37. Максимальное отклонение от ортодромии
Рассмотрим некоторые примеры расчета по этой формуле.
1. Пусть S=300 км, X=5 км. Этот пример соответствует случаю полета на одном участке маршрута, когда из-за погрешностей навигации ВС отклоняется от ЛЗП не больше, чем на половину ширины трассы.
Расчет по формуле дает Δγ
max
=0,002°. Это совершенно мизерная величина по сравнению с инструментальными погрешностями компасов, которые имеют порядок 1°, поэтому ее можно не учитывать и считать, что на отдельном участке маршрута погрешность не возникает.
2. Пусть S=2000 км, X=200 км. Этот пример соответствует полету по маршруту длиной порядка 2000 км, состоящему из нескольких участков,

158 которые могут лежать в стороне от главной ортодромии на расстоянии до 200 км. В этом случае при расчете получим примерно Δγ
max
=0,6°. Это тоже не столь большая, но уже заметная погрешность, особенно если учесть, что заданные путевые углы в некоторых случаях требуется рассчитывать с точностью до 0,1°.
3. Пусть S=7000 км, X=500 км. Ситуация, соответствующая этим исходным данным, может иметь место в случае, когда протяженный маршрут проложен далеко от главной ортодромии, например, чтобы он проходил над сушей, а не океаном, или над районами с хорошим оснащением наземными радиомаяками. В данном примере Δγ
max
=4,9°. Это уже очень существенная погрешность.
Из приведенных примеров видно, что рассматриваемая методическая погрешность может иметь существенную величину только в случае, когда маршрут проложен вдали от главной ортодромии, соединяющей ИПМ и
КПМ по кратчайшему расстоянию. Такие ситуации иногда имеют место.
Устранить влияние этой погрешности нетрудно. Просто при расчете ортодромических заданных путевых углов угол схождения меридианов, который является составной частью азимутальной поправки, нужно рассчитывать не просто по разности долготы опорного меридиана λ
0 и
долготы λ точки, для которой рассчитывается ΔА, а суммировать углы
схождения меридианов для каждого участка, расположенного между этими точками. Ведь на каждом участке полет выполняется практически по ортодромии и методической погрешности не будет.
Следует подчеркнуть, что рассмотренная методическая погрешность не связана с конструкцией или погрешностями изготовления конкретного гирополукомпаса. Она будет одинакова для всех приборов, поскольку обусловлена принципом их работы, а также используемыми формулами расчета азимутальных поправок.

перейти в каталог файлов