ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 100ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ И ОБЪЕМА ТЕЛАЦель работыПриобретение навыков работы с микрометром и штангенциркулем и усвоение методов расчета погрешностей при проведении прямых и косвенных измерений. Теоретическое введениеИзмерить физическую величину – значит сравнить ее с эталонной ве- личиной, то есть установить, сколько раз измеряемая величина содержит эта- лонную единицу. Измерения бывают прямые и косвенные. Прямые измерения – это изме- рения, в которых искомая физическая величина определяется непосредственно по шкале прибора. Косвенные – измерения, в которых искомая величина нахо- дится расчетным путем по формулам из результатов прямых измерений других величин. Погрешностью измерения величины X называют отклонение результата измерения от истинного значения. Абсолютная погрешность ∆ Xпоказывает, на сколько результат измерения величины X отличается от ее истинного значения Xист : ист XXX− = ∆ Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к ис- тинному значению. Она показывает, какую часть измеряемой величины состав- ляет ее погрешность: % 100 ист ⋅ ∆ = δ XXX Погрешности, допускаемые при измерениях, подразделяются на грубые (промахи), систематические и случайные. Промахи – это очевидные ошибочные измерения, возникающие в ре- зультате небрежности отсчета по прибору, неправильного включения прибора или неразборчивости записи показаний. Такие ошибочные данные измерений следует отбрасывать. Систематическими называются погрешности, обусловленные одной и той же причиной. Обычно при многократных измерениях физической величины систематическая погрешность имеет одно и то же значение, то есть системати- чески повторяется. Такие погрешности можно учесть путем внесения соответ- ствующих поправок, и поэтому устранить. Случайными называются погрешности, вызванные весьма большим чис- лом отдельных причин, действующих в каждом отдельном измерении различ- ным образом. Такие ошибки можно свести к минимуму, но полностью устра- нить их невозможно. Они подчиняются законам теории вероятностей, и для из- меряемой физической величины следует указывать пределы (доверительный интервал), внутри которого находится ее истинное значение. Считая, что промахи отброшены, а систематические погрешности устра- нены, рассмотрим методику обработки результатов измерений, когда преобла- дают случайные ошибки. В этом случае погрешность можно оценить с некоторой вероятностью, проведя измерения искомой величины несколько раз. Приближенной оценкой истинного значения искомой величины является среднее арифметическое зна- чение < X > результатов отдельных измерений X i : ∑ = > = < N i i X N X 1 1 , (1) где номер i – измерения, N – число измерений. Вероятность того, что результат измерения <X> отличается от истинного значения X ист не более, чем на ∆ X, называется доверительной вероятностью α Интервал значений от (X ист −∆ X) до (X ист + ∆ X) называется доверительным интер- валом, а ∆ X – его полушириной или доверительной погрешностью. Доверительная погрешность ∆ X вычисляется на основе средней квадра- тичной погрешности S x : x N S t X ⋅ α = ∆ ) ( , (2) где t N ( α ) – коэффициент Стьюдента. Средняя квадратичная погрешность S x характеризует разброс результа- тов измерений относительно среднего арифметического значения и является полушириной доверительного интервала, соответствующего доверительной ве- роятности 0,683. Она определяется по формуле: ) 1 ( ) ( 1 2 − > < − = ∑ = N N X X S N i i x . (3) Коэффициент Стьюдента является функцией двух параметров: довери- тельной вероятности α и числа измерений N. Коэффициенты Стьюдента для не- которых значений α и N приведены в таблице 1. В настоящем лабораторном курсе мы будем пользоваться доверительной вероятностью α = 0,95, кроме случаев, которые будут оговариваться особо. При косвенных измерениях, когда определяемая величина рассчитывает- ся по формуле на основе результатов прямых измерений физических величин, входящих в эту формулу, погрешность результата складывается из ошибок пря- 2
мых измерений. Для ошибок, малых по сравнению с измеряемой величиной, погрешность можно искать в виде приращения функции. Например, если иско- мая величина является функцией трех величин F( X, Y, Z), то погрешность ∆ Fx из-за ошибки значений величины X на ∆ X будет: XXFXFXXFF∆ ∂ ∂ = ∆′ = ∆ ∆ ∆ = ∆ x , и суммарная погрешность определяется выражением: 2 2 2 ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ = ∆ ZZFYYFXXFF. (4) Если функция F логарифмируется, то для упрощения процесса диффе- ренцирования вначале ищут относительную погрешность определяемой ве- личины по формуле: 2 2 2 ) (ln ) (ln ) (ln ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ = ∆ ZZFYYFXXFFF. (5) Эту формулу легко получить из формулы (4), разделив ее на F и введя F в правой части под знак дифференциала. После этого от относительной погреш- ности переходят к абсолютной: > < ∆ = ∆ FFFF. (6) Таблица 1 Число измерений NДоверительная вероятность α 0,7 0,9 0,95 0,99 2 3 4 5 10 2,0 1,3 1,3 1,2 1,1 6,31 2,92 2,35 2,13 1,83 12,71 4,30 3,18 2,78 2,26 63,66 9,92 5,84 4,60 3,25 Результаты измерений и погрешности нужно округлить и представить в стандартном виде, указав единицу измерения: измерения единица ) ( XXX∆ ± > < = . (7) Вначале округляют погрешность до первой (слева) значащей цифры. Ре- зультат округляют до разряда, соответствующего разряду округленной по- грешности. Например, найдено, что: X = 4,257 мм, ∆ X = 0,0086 мм, тогда X = (4,257 ± 0,009) мм. X = 425,7 м, ∆ X = 1,7 м, тогда X = (4,26 ± 0,02) ⋅ 10 2 м. В данной работе требуется определить линейные размеры (диаметр D и высоту H), а также объем цилиндра V, проведя измерения с помощью микро- метра и штангенциркуля. Поскольку значения D и H мы считываем непосред- 3 ственно со шкалы измерительных приборов, то такие измерения будут прямы- миизмерениями. Погрешность прямых измерений найдем по формулам (2) и (3), где роль X играет либо D, либо H. Объем цилиндра вычисляется по рабочей формулеHDV4 2 π = , (8) то есть находится в результате косвенных измерений. Формула (7) имеет вид, удобный для логарифмирования. Поэтому абсо- лютную погрешность объема ∆ V найдем через относительную погрешность, ис- пользуя формулы (5) и (6): 4 ln ln ln 2 ln ln − + + π = HDV, HHVDDV1 ) ln ( , 2 ) (ln = ∂ ∂ = ∂ ∂ Следовательно, 2 2 2 ∆ + ∆ = ∆ HHDDVV, (9) > < ∆ = ∆ VVVV, (10) где < V> получается из формулы (7) при замене D и H их средними значениями. Формулы (8) и (9) представляют собой формулы погрешностей косвен-ных измерений. Описание приборовШтангенциркуль. Штангенциркуль служит для линейный измерений, не требующих высокой точности. Отсчетным приспособлением у всех конструк- ций данных приборов служат шкала штанги и линейный нониус. Нониусом называется специальная шкала, дополняющая обычный масштаб и позволяющая повысить точность измерений в 10 – 20 раз. 4 Линейный нониус (суще- ствует еще и круговой) представ- ляет собой линейку, скользящую вдоль основной шкалы (выноска B на рис.1). Нониус укреплен в подвижной рамке, скользящей вдоль основной шка- лы штанги. При нулевом показании инструмента нуль нониуса совпадает с ну- левым штрихом основной шкалы. При измерении детали подвижная рамка 1 с нониусом смещается, и деталь зажимается губками 2 штангенциркуля. При на- личии у штангенциркуля верхних 3 и нижних 2 измерительных губок его мож- но применять как для внутренних, так и для внешних измерений. Длина предмета равна числу целых делений шкалы, расположенных сле- ва от нулевого деления нониуса, плюс величина отсчета по нониусу. Для снятия отсчета по нониусу смотрят, какой из штрихов нониуса сов- падает с каким-нибудь из штрихов основной шкалы. Номер этого штриха нони- уса умножают на цену деления нониуса и получают отсчет нониуса в долях миллиметра. Цена деления нониусов у разных штангенциркулей различна. Обычна она равна 0,1; 0,05 или 0,2 мм. Погрешность измерения с помощью но- ниуса равна цене деления нониуса. В приведенном на рис.1 примере отсчет ра- вен 30,40 мм. Микрометр. Микрометр (рис.2) состоит из полого стержня, жестко со- единенного скобкой 5 с упором 2. В полость стержня ввинчен микрометриче- ский винт. При измерении предмет зажимается упором 2 и подвижным концом микрометрического винта 3. Микровинт вращают, держась за трещотку 4. Вме- сте с микровинтом вращается корпус барабана 1, перемещаясь при этом посту- пательно относительно стержня. Отсчет ведется по горизонтальной шкале, на- несенной на полый стержень, и по шкале барабана. Отсчетное устройство ми- крометра состоит из двух шкал. Горизонтальная шкала стержня представляет собой двойную шкалу с ценой деления 0,5 мм, нанесенную на обе стороны про- дольной черты таким образом, что верхняя сдвинута относительно нижней на половину деления. 5 Рис.1 Цена деления шкалы барабана может быть установлена следующим об- разом: пусть число делений круговой шкалы барабана n = 50. Шаг микровинта h = 0,5 мм, то есть одному полному обороту микровинта (и барабана) соответ- ствует линейное перемещение края барабана на 0,5 мм. Цена деления круговой шкалы: мм 01 , 0 50 мм 5 , 0 = = = n h a Отсчет производится следующим образом: по горизонтальной шкале стержня отсчитывается размер измеряемого предмета с точностью до 0,5 мм. Сотые доли миллиметра отсчитываются по круговой шкале барабана. Получен- ные результаты складываются. Число сотых долей соответствуют делению шкалы, расположенному против продольной черты на стержне. Показания ми- крометра на рис.2 равны 3,77 мм. Проведение измерений Приборы и принадлежности: • Микрометр • Штангенциркуль • Измеряемый цилиндр Каждую из величин D и H измерьте штангенциркулем и микрометром по 5 раз в различных местах цилиндра. Места замеров рекомендуется выбирать примерно на одинаковых расстояниях друг от друга. Результаты измерений за- несите в таблицу 2. Обработка результатов 1. Рассчитайте средние арифметические значения D и H по формуле (1) и запишите их в таблицу 2. Таблица 2 6 Рис.2
Номер из- мерения i Измерения штангенциркулем Измерения микрометром D i , мм H i , мм D i , мм H i , мм 1 2 3 4 5 Среднее значение 2. Вычислите среднюю квадратичную погрешность D и H. Для этого найдите погрешности отдельных измерений ∆ D i = D i − <D> и ∆ H i = H i − <H> и их квадраты ( ∆ D i ) 2 и (H i ) 2 . Результаты запишите в таблицу 3. Сложите квадраты погрешностей отдельных измерений и полученную сумму подставьте в форму- лу для средней квадратичной погрешности (3), подразумевая под X либо D, либо H. Таблица 3 Номер из- мерения i Измерения штангенциркулем Измерения микрометром ∆ D i мм ( ∆ D i ) 2 мм 2 ∆ H i мм ( ∆ H i ) 2 мм 2 ∆ D i мм ( ∆ D i ) 2 мм 2 ∆ H i мм ( ∆ H i ) 2 мм 2 1 2 3 4 5 ∑ = = ∆ 5 1 2 ) ( i i D ∑ = = ∆ 5 1 2 ) ( i i H ∑ = = ∆ 5 1 2 ) ( i i D ∑ = = ∆ 5 1 2 ) ( i i H 3. Задавшись доверительной вероятностью α = 0,95 и числом измерений N = 5, определите по таблице 1 значение коэффициента Стьюдента t N ( α ). 4. Вычислите доверительную погрешность по формуле (2), заменяя X соответственно на D и H для обоих случаев измерений – штангенциркулем и микрометром. 5. Окончательные результаты прямых измерений занесите в таблицу 4, в которой, кроме границ доверительной погрешности, указывается и относи- тельная погрешность в процентах % 100 X X ∆ 7
Возможно, что при измерениях D и H результаты будут мало отличаться друг от друга. При этом вычисленные погрешности ∆ D и ∆ H могут оказаться меньше соответствующих паспортных значений погрешностей измерительных приборов – микрометра и штангенциркуля. В этом случае в качестве оконча- тельной погрешности ∆ D и ∆ H, подставляемых в таблицу 4, берут большие из двух сравниваемых – погрешности измерительных приборов. 6. По формуле (8) вычислите объем цилиндра <V>, подставляя вместо D и H соответственно <D> и <H>. Расчет выполните два раза – для значений <D> и <H> полученных как с помощью штангенциркуля, так и с помощью ми- крометра. 7. Рассчитайте относительную погрешность объема цилиндра для изме- рений с помощью штангенциркуля и микрометра по формуле (9). 8. Найдите абсолютную погрешность объема цилиндра для измерений с помощью штангенциркуля и микрометра ∆ V по формуле (10). 9. Округлите погрешность и результат и запишите их в стандартном виде (7). Таблица 4 Число измере- ний N Доверительная вероятность α Измерения штангенциркулем Измерения микрометром <D> ± ∆ D мм <H> ± ∆ H мм <D> ± ∆ D мм <H> ± ∆ H мм 5 0,95 Относительная погрешность % 100 X X ∆ Контрольные вопросы и задания
1. Что такое прямые и косвенные измерения? 2. Что такое абсолютная и относительная погрешность?
3. Что такое средняя квадратичная погрешность? 4. Что такое доверительная погрешность и доверительная вероятность?
5. Как находится погрешность прямых измерений? 6. Как находится погрешность косвенных измерений?
7. Как округлить результат измерений и погрешность? 8. Как записать результат и погрешность в стандартном виде? 9. Найдите с помощью формул (5) и (8) относительную погрешность объема цилиндра. 10.Найдите с помощью формул (4) и (8) абсолютную погрешность объема цилиндра. 11.Докажите, что формула (5) является следствием формулы (4). 8
Литература 1. Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. М., 1970. 2. Каленков С.Г., Соломахо Г.И. Практикум по физике. Механика: Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: Высш. шк., 1990. 3. Лабораторный практикум по физике: Учеб. пособие для студентов втузов/ Под ред. К.А. Барсукова и Ю.И. Уханова. – М.: Высш. шк., 1988. 9
перейти в каталог файлов
| Образовательный портал
Как узнать результаты егэ
Стихи про летний лагерь
3агадки для детей |