Модуль 4.Модели с распределенными параметрами.
Лекция 4.1.Моделирование объектов с распределенными параметрами. Математическая модель объекта на микроуровне описывает процессы внутри компонента системы, то есть в сплошной среде и на границах ее. Такие модели описывают процессы не только во времени, но и в пространстве: одно- двух- и трех- мерном. Для этого используются системы дифференциальных уравнений в частных производных, которые содержат:
1.искомую функцию:U (t, x, y, z) – какую-либо фазовую переменную,
где x, y, z- пространственные координаты
t- время
2. ее производные по всем этим переменным.
Линейные ДУ в ЧП делятся на 3 типа в зависимости от знака дискриминанта: эллиптические, параболические, гиперболические. Для нас представляет интерес два типа уравнений:
1.Волновое уравнение, гиперболического типа (уравнение Даламбера), которое описывает распределение волн в упругой среде
(1)
линейное второго порядка, неоднородное.
U(x,y,z.t)-искомая функция, например, напряженность электромагнитного поля, звуковое давление
- коэффициент характеризующий свойства среды (волновое сопротивление).
Изотропная среда во всех направлениях и во всех точках имеет одинаковые свойства, Свойства среды могут зависеть от времени (реология) или пространственных координат (анизотропия).
Уравнение Даламбера применяется при моделировании процессов:
Распространение электромагнитных колебаний
Движение жидкости и газа в трубопроводе
Распространение звука
Колебания мембран, стержней, струн и других механических систем.
2.Уравнение теплопроводности– параболического типа, (уравнение Фурье) описывает перенос энергии или массы в сплошных средах.
(2)
Здесь - также коэффициент, характеризующий свойства среды, например, если искомая функция U (t, x, y, z) - температура, то - коэффициент температуропроводности.
Уравнение Фурье описывает процессы теплопередачи, диффузии, движения вязкой жидкости и др.
Для конкретных физических задач дифференциальные уравнения в частных производных могут быть упрощены
1 путь – уменьшение размерности
2 путь – исключение динамических процессов, моделирование стационарных полей.
Например, при из уравнения (2) получим уравнение Пуассона для стационарной тепловой задачи. Если в тепловой системе отсутствуют внешние источники, то при F(t, x, y, z)=0 получают уравнение Лапласа .
Краевые условия Решить дифференциальные уравнения в частных производных для конкретной задачи можно, только если заданы краевые условия. Краевые условия включают в себя
граничные условия (пространственные), которые определяют характер связей рассматриваемого тела с окружающей средой и
начальные условия (временные), то есть значение решения в начальный момент времени
КУ = ГУ+НУ
Дифференциальная краевая задача является математической моделью системы с распределенными параметрами
ДУЧП+КУ=ДКЗ
Граничные условия могут задаваться 4 способами:
Например, для уравнения теплопроводности.
Граничные условия первого рода – заданна температура на поверхности тела в любой момент времени
T(t, x, y, z)
Граничные условия второго рода задаются в виде плотности теплового потока через поверхность тела
Граничные условия третьего рода задаются, когда на поверхности тела происходит конвективный обмен с жидкой или газообразной средой или происходит теплоотдача излучением
- коэффициент теплоотдачи
q - тепловой поток
Граничные условия четвертого рода задаются в случае соприкосновения двух тел с разной теплопроводностью при идеальном контакте (отсутствие зазоров или прослоек) перейти в каталог файлов
| Образовательный портал
Как узнать результаты егэ
Стихи про летний лагерь
3агадки для детей |