Математика. Методические рекомендации. 6 класс (к ученику Г. В. Дорофеева и др. «Математика. 6 класс». Методические рекомендации 6 класс Пособие для учителей общеобразовательных организаций Москва Просвещение 2013 удк 372. 8 51
 Скачать 1 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
Глава 8. Выражения, формулы, уравнения (15 уроков)Примерное поурочное планирование учебного материала
Основные цели: развить представления учащихся об использовании буквенной символики, сформировать элементарные навыки составления буквенных выражений и вычисления их значений, а также работы с формулами, дать первоначальное представление об уравнении с одной переменной. Обзор главы. Глава включает материал, относящийся к алгебраическому блоку содержания курса математики 5—6 классов. Он группируется вокруг трёх фундаментальных алгебраических понятий: выражение, формула, уравнение. Изложение материала ведётся на основе знакомства с математическим языком, перевода с естественного языка на математический, использования математического языка для описания реальной действительности. Вначале обсуждается вопрос об использовании букв для обозначения чисел, вводится понятие буквенного выражения и такие связанные с ним понятия, как «числовая подстановка», «значение буквенного выражения», «допустимые значения букв». На элементарном уровне отрабатываются соответствующие практические умения. Опыт работы с буквенными выражениями является основой для изучения следующего фрагмента, в котором рассматривается вопрос о формулах. Формула для учащихся — это буквенное равенство, которое на символическом языке описывает некоторое правило. Учащиеся записывают в виде формул известные им правила вычисления некоторых величин (периметра и площади прямоугольника и квадрата, объёма прямоугольного параллелепипеда и т. д.) и знакомятся с новыми геометрическими понятиями и соответствующими формулами (длины окружности, площади круга, объёма шара). Завершается глава обсуждением вопроса об уравнениях. Уравнение появляется как результат перевода условия текстовой задачи на математический язык. Решаются уравнения на этом этапе изучения курса известным из начальной школы приёмом — на основе зависимости между компонентами действий. Подчеркнём, что этот фрагмент по своей дидактической роли служит вводным этапом в тему «Уравнения», изучение которой будет начато в курсе алгебры 7 класса. Материалы для контроля. Пособие «Контрольные работы». Зачёт 7. Буквы и формулы. Пособие «Тематические тесты». Тест 14. Буквы и формулы. 8.1. О математическом языкеМетодический комментарий Учащиеся уже имеют опыт использования букв для записи простейших выражений, свойств арифметических действий, для обозначения неизвестного числа. Они также умеют пользоваться такими математическими символами, как знаки арифметических действий, знаки сравнения, скобки. Теперь эти знания и умения служат основой для разговора о математическом языке как специальном языке науки, который создавался и совершенствовался вместе с развитием математики. Упражнения в пункте направлены на формирование навыков чтения и записи буквенных выражений и буквенных равенств. Вся работа осуществляется как деятельность по переводу с естественного языка на математический и наоборот. К системе упражнений учебника целесообразно добавить задания на содержательную интерпретацию буквенных выражений, например: «Килограмм шоколадных конфет стоит а рублей, килограмм карамели стоит b рублей. Что могло быть куплено, если стоимость покупки (в рублях) равна a+ b? 3b? 2a? 2a+ b? Каков смысл выражения a– b?» Комментарий к упражнениям 618. Выражения следует записывать с учётом правил, изложенных в теоретической части пункта. 619. а) Ученики могут дать ответ в виде а · 2. После этого надо перейти к принятой форме записи: а · 2 = 2а. б) Возможны разные варианты ответа:  , а : 2,  .г) Типичная ученическая ошибка: ответ записывается в виде 10% а. Ученики должны осознать необходимость выражения процентов числом: 10% — это 0,1. Тогда задание сводится к вариантам «а»—«в». 622. В заданиях «а»—«г» достаточно подобрать какое-то число, при котором записанное буквенное неравенство обращается в верное числовое неравенство. В случае «д» такое число единственное: х + 15 = 31, если х = 16. Учащиеся просто должны дать ответ, говорить о решении уравнения здесь не надо. В сильном классе подобное задание можно предложить для случаев «е» и «ж». 625. Каждое следующее натуральное число на 1 больше предыдущего. Если произвольное натуральное число обозначить буквой n, то следующее число нужно записать какn+ 1. а) n(n+ 1); б) n+ (n+ 1). 8.2. Буквенные выражения и числовые подстановкиМетодический комментарий Задания на вычисление значений буквенных выражений будут встречаться учащимися на протяжении всех лет обучения в школе по ходу введения новых выражений и изучения чисел новой природы. Такое внимание к заданиям подобного рода объясняется тем, что при их выполнении требуется владение целым комплексом знаний и умений. А именно: требуется понимание смысла символической записи, структуры данного выражения, владение понятием «допустимые значения букв», умение выполнить числовую подстановку и правильно записать получившееся числовое выражение, умение произвести вычисления над заданными числами. Заметим также, что задания на вычисление значений буквенных выражений полезны в качестве пропедевтики к изучению функций и просто для поддержания вычислительных навыков. В данном пункте появляются основные термины, которые должны войти в активный словарь учащихся, и на примере разъясняется приём вычисления значения буквенного выражения. При рассмотрении примера следует обратить внимание учащихся на то, как изменился «внешний вид» выражения при замене букв числами: десятичную дробь мы заключили в скобки (как это принято при записи степени десятичной дроби); между множителями a и b восстановили точку — знак умножения. Полезно также подчеркнуть, что при выполнении числовой подстановки важно не забыть заменить числами все содержащиеся в выражении буквы. При этом одну и ту же букву заменяют одним и тем же числом (так, вместо буквы а мы дважды подставили 0,5). Формирование умения правильно выполнить числовую подстановку и вычислить соответствующее значение буквенного выражения — главная практическая цель данного пункта. Заметим, что не следует усложнять эту задачу, предлагая учащимся выражения более сложной структуры, чем содержащиеся в учебнике (задания 633—635). Не нужно также усиливать вычислительную сторону заданий. Что касается понятия «допустимые значения букв», то пока речь идёт об осознании самой идеи: в выражение не всегда можно подставлять какие угодно числа; ограничения на числовые значения букв накладываются содержащимися в выражении действиями, а также условиями рассматриваемой ситуации (если речь идёт о составлении выражения по тексту сюжетной задачи). Отработка навыков на этом этапе не предполагается. Комментарий к упражнениям 633—634. Желательно приучать учащихся вести запись цепочкой, как в рассмотренном примере. Промежуточные вычисления следует записывать, а не держать числа в уме. Отдельные действия в случае затруднений можно выполнять письменно в стороне. 636. Ученики не должны ограничиваться просто устным ответом. Так, в случае «б» следует записать равенство ас + bc = 11,2 и дать пояснение со ссылкой на распределительное свойство. 637. Нужно увидеть меняющийся компонент действия, именно его и следует заменить буквой. 641. Полезно дать дополнительное задание на вычисление, как в упражнении 639. 642. Не надо выполнять задание формально, путём решения соответствующего уравнения. Правильность ответа желательно проверять вычислением. 8.3. Формулы. Вычисления по формуламМетодический комментарий Для учащихся формула — это буквенное равенство, которое описывает правило вычисления значений некоторой величины. Важно убедиться, что ученики осознают разницу между буквенным выражением и формулой. Формула (в отличие от выражения) состоит из двух частей, соединённых знаком «=». В её левой части записана буква, обозначающая величину, значения которой вычисляются по этой формуле, в правой — буквенное выражение, показывающее, какие действия и над какими числами надо выполнить. Теоретическая часть пункта посвящена составлению нескольких важных формул: периметра и площади прямоугольника (в частности, квадрата), периметра треугольника (в том числе равностороннего), объёма параллелепипеда, а также пути при движении с постоянной скоростью. Правила вычисления указанных величин учащимся хорошо знакомы, и теперь надо от их словесной формулировки перейти к символической записи. При составлении формул (здесь и далее) можно идти «от конкретного к абстрактному», как это сделано в примерах 1 и 4, а именно: сначала записать выражение для вычисления рассматриваемой величины при числовых значениях исходных данных, а потом, обобщая, заменить их буквами. Упражнения к пункту направлены на формирование умения составлять несложные формулы и вычислять по формулам (задания 651—654, 658—660, 663, 664), а также выражать одну из величин, входящих в формулу, через другие (задания 655—657, 661, 662). На данном этапе следует стремиться к тому, чтобы ученики поняли принципиальную возможность использования формулы для нахождения любой из входящих в неё величин и могли бы делать это в простейших случаях (в формулах типа S = nt, A = M – m). При этом ученики могут действовать следующими способами: или выразить одну величину через другую, а затем выполнить числовую подстановку, или сразу подставить в данную формулу значения букв и после этого найти искомую величину. В любом из этих случаев для выражения из формулы какой-либо величины они могут опираться на правила нахождения неизвестных компонентов действий. Однако более полезно на данном этапе содержательное решение задачи. Например, чтобы выразить из формулы периметра треугольника P = a + b + c сторону b, ученик может рассуждать так: если известны периметр и две стороны треугольника a и с, то, чтобы найти сторону b, надо из периметра вычесть длины сторон a и с, т. е. b = P – a– c. Комментарий к упражнениям 651. Ученики могут рассуждать по-разному. Например, так: P= x+ x+ x+ x+ a+ a= x· 4 + a· 2 = 4х + 2а. Или так: четыре стороны имеют длину, равную x, значит, в сумме их длины составляют 4x; две стороны имеют длину, равную а, и в сумме их длины составляют 2а. Отсюда Р = 4х + 2а. 660. Задание трудное, здесь требуется своего рода «геометрическое видение». а) Длины двух отрезков — вертикального и горизонтального — известны: это х и у. И нет никаких данных о том, каковы длины остальных отрезков. Но можно увидеть, что сумма длин двух горизонтальных отрезков равна у, а двух вертикальных равна х. Поэтому р = 2х + 2у. б) Пусть ученики подпишут на рисунке длины вертикальных отрезков — это а и х. Понятно, что сумма длин горизонтальных отрезков равна у. Таким образом, Р = 2х + 2у + 2а. 8.4. Формулы длины окружности, площади круга и объёма шараМетодический комментарий Окружность, круг, шар — это те геометрические объекты, которые учащимся хорошо знакомы как из курса математики, так и из реальной жизни. У учеников имеются также начальные представления о длине произвольной линии, площади фигуры произвольной формы, объёме тела. Поэтому в качестве введения достаточно сказать, что в математике есть специальные формулы, которые позволяют вычислять указанные в названии величины — длину окружности, площадь круга и объём шара. Понятно, что это первый, пропедевтический этап знакомства с указанными формулами. Его цель — расширить круг прикладных умений учеников путём их знакомства с формулами принципиально новой природы, усилить связь обучения математике с реальной жизнью. Изложение материала в учебнике начинается с описания эксперимента по нахождению отношения длины окружности к диаметру. Этот эксперимент должен проделать каждый ученик, например в качестве домашнего задания. У каждого ученика будет свой «круглый» предмет (чашка, кастрюля, пластина круглой формы и т. д.). Нужно предупредить учащихся о необходимости аккуратного выполнения измерений, о желаемой точности результата (достаточно найти первый знак после запятой). Затем результаты, полученные учащимися, надо выписать на доске. Важно подчеркнуть удивительность обнаруженного факта: у всех получилось число, близкое к числу 3. Полезно, чтобы формулы длины окружности, площади круга и объёма шара, изображённые на специальном плакате, были вывешены в классе. Учащиеся на данном этапе могут их не запоминать. Но они должны увидеть некоторые их особенности: в каждую формулу входит число π; в формуле длины окружности буква r содержится в первой степени, в формуле площади круга — во второй, объёма шара — в третьей. Упражнения к пункту направлены на формирование умений вычислять по рассмотренным формулам. При записи цепочки вычислений приходится заменять точное значение величины приближённым значением (при замене числа π его приближённым значением, при округлении результата). Желательно, чтобы учащиеся понимали эту особенность выполняемых действий и осознанно использовали в соответствующих случаях знак приближённого равенства. В качестве образца рассуждений и записи решения можно использовать примеры из текста учебника. Комментарий к упражнениям В качестве приближённого значения числа π в ходе вычислений следует брать число 3,14. Заметим также, что учащимся не известны правила записи результата при выполнении действий с приближёнными значениями, поэтому в учебнике часто содержится указание, до какого разряда следует округлять ответ. При необходимости такое указание должен дать учитель. 670. Обратите внимание учащихся на приближённую формулу длины окружности. Её удобно использовать в бытовых расчётах, когда результат достаточно определить грубо. 675. Удобно ввести обозначения С1 и С2. Тогда С1 = 2π · 2 = 4π, С2 = 2π · 4 = 8π. Формально надо было бы найти отношение С2 к С1, но и так понятно, что длина второй окружности в 2 раза больше. Точно так же S1 = π · 22 = 4π, S2 = π · 42 = 16π. Площадь второго круга в 4 раза больше. 677. В качестве дополнительного задания можно предложить составить общие формулы, например для вычисления длины дорожки вокруг стадиона. Если обозначить длину дорожки буквой l, площадь стадиона буквой S, а диаметры полукруглых частей буквой d, то получим формулу l = πd + 2d. Можно записать и приближённую формулу: l ≈ 3,14d + 2d = 5,14d. (Это задание достаточно трудное.) 678. Площадь кольца равна разности площадей кругов с радиусами 5 см и 3 см: S = 25π – 9π. Далее ученики могут рассуждать по-разному: дважды подставить вместо π число 3,14, дважды выполнить умножение, а затем вычитание; или догадаться, что 25π – 9π = 16π, а уже затем выполнить подстановку. Следует дать указание: полученное числовое значение надо округлить до десятков. (Ответ: ≈ 50 см2.) 680. Ответ: ≈ 280 см2. 681. Задание трудное, оно только для сильных учеников. Задача похожа на задачу о площади кольца (см. упражнение 678), только здесь надо найти разность двух объёмов — апельсина с кожурой (радиус равен 4 см) и апельсина без кожуры (радиус равен 3 см). Ответ: несъедобной. 8.5. Что такое уравнениеМетодический комментарий Материал этого пункта — это своего рода введение в один из основных разделов курса алгебры «Уравнения». Его основная цель — знакомство с понятием уравнения, которое вводится в контексте перевода некоторого сюжета на математический язык. Подчеркнём, что уравнения здесь решаются только на основе правил нахождения неизвестных компонентов действий; алгебраические приёмы будут рассмотрены в 7 классе. Бо́льшая часть упражнений к пункту — это текстовые задачи, по условию которых надо составить уравнение, при этом решить составленное уравнение требуется не всегда (более того, при переводе условия задачи на математический язык учащиеся могут прийти к уравнению, алгоритмом решения которого они пока не владеют — неизвестное будет содержаться в обеих частях записанного равенства). Если рассматривать данный материал с точки зрения подготовки учащихся к овладению алгебраическим методом решения задач, то следует констатировать, что акцент здесь сделан на первом его шаге — составлении уравнения. Комментарий к упражнениям 697. а) Учащиеся могут предложить разные варианты составления уравнения. Если обозначить через х меньшее количество карандашей, то можно составить такое уравнение: х + (х + 5) = 27. Если обозначить через х большее количество карандашей, то получим уравнение х + (х – 5) = 27. Можно рассуждать иначе. Пусть в одной коробке х карандашей, тогда в другой (27 – х) карандашей. Далее составляются разные уравнения в зависимости от того, что принято за х — большее или меньшее количество карандашей: х – (27 – х) = 5 или (27 – х) – х = 5. При решении задач такого рода первый вариант предпочтительнее. 699. а) Обозначим через х возраст Юли, т. е. младшей девочки. Уравнение можно записать по-разному, например: 3х – х = 8 или х + 8 = 3х. 700. а) Обозначим через х количество бензина (в литрах) во втором баке. Для составления уравнения удобно записать таблицу:
Имеем уравнение 2х – 7 = х + 3.  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π; находить дополнительную информацию об этом числе. Знакомиться с формулами длины окружности, площади круга, объёма шара; вычислять по этим формулам. Вычислять размеры фигур, ограниченных окружностями и их дугами. Округлять результаты вычислений по формулам