Математика. Методические рекомендации. 6 класс (к ученику Г. В. Дорофеева и др. «Математика. 6 класс». Методические рекомендации 6 класс Пособие для учителей общеобразовательных организаций Москва Просвещение 2013 удк 372. 8 51
 Скачать 1 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
Глава 10. Множества. Комбинаторика (9 уроков)Примерное поурочное планирование учебного материала
Основные цели: обучить использованию простейших теоретико-множественных понятий (терминов и символов) как элементов математического языка; развить умение решать комбинаторные задачи перебором возможных вариантов. Обзор главы. Глава начинается со знакомства с простейшими базовыми понятиями теории множеств (множество, элемент множества, конечное множество, бесконечное множество, пустое множество, подмножество, объединение множеств, пересечение множеств). Изложение материала строится с привлечением разнообразных математических и нематематических примеров. Овладевая новой терминологией и символикой, учащиеся одновременно получают возможность вспомнить некоторые факты о числах и фигурах, а также обобщить и систематизировать некоторые знания путём рассмотрения соотношений между множествами чисел, множествами четырёхугольников и т. д. Рассмотрение операций над множествами завершается обсуждением математической сущности такого важного в общеобразовательном и общекультурном плане понятия, как «классификация». В соответствии с общей линией, принятой в учебниках, в этой главе продолжается решение задач арифметическим способом. Здесь рассматривается некоторый тип задач, для решений которых удобно использовать круги Эйлера. Завершается глава пунктом, посвящённым решению комбинаторных задач. Как и в 5 классе, они решаются перебором всех возможных вариантов. При этом для трёх типичных задач строятся их математические (теоретико-множественные) модели, позволяющие осознать сущность каждой задачи, идею, общность приёма решения задач данного типа. Таким образом, введённые теоретико-множественные понятия «работают» на протяжении всей главы, что обеспечивает содержательное единство рассматриваемых в ней вопросов. 10.1. Понятие множестваМетодический комментарий В пункте прежде всего разъясняется, что в математике обозначают словом «множество», рассматриваются способы задания конечных и бесконечных множеств, вводится понятие подмножества. В результате его изучения учащиеся должны владеть терминами «множество», «элемент множества», «подмножество» (знать определение этого понятия), а также понимать и уметь использовать соответствующую символику, приводить примеры конечных и бесконечных множеств, пустого множества. Подчеркнём, что основному понятию теории множеств — понятию множества — нельзя дать строгое определение, так как оно является наиболее общим и ни в каких других понятиях не содержится. Обороты речи типа «множество — это совокупность предметов, объединённых в одно целое некоторым общим признаком» являются не математическим определением, а лишь попыткой разъяснить смысл этого термина. Из сказанного должно быть понятно: задавать детям вопрос «Что такое множество?» не следует. В то же время важно, чтобы термин «множество» не ассоциировался у учащихся со словом «много». Они должны знать, что число элементов конечного множества может быть любым и что в математике рассматривается и так называемое пустое множество, не содержащее ни одного элемента. При введении понятия подмножества учащиеся знакомятся со специальными схемами, с помощью которых принято иллюстрировать соотношения между множествами — кругами Эйлера (это название появляется в п. 10.3). Это чрезвычайно удобный наглядный инструмент, который часто облегчает рассуждения. Нужно, чтобы учащиеся не только разбирали и комментировали готовые схемы, но и научились самостоятельно их строить и опираться на них в ходе рассуждений. Упражнения к пункту направлены на достижение двух целей: усвоение терминов и символики, введённых в тексте, а также обучение использованию теоретико-множественных понятий для описания уже известных учащимся фактов о числах и геометрических фигурах. Комментарий к упражнениям 804. Конечным являются множества, указанные в заданиях «б» и «г». В сильном классе можно в каждом из этих случаев задать дополнительный вопрос: «Сколько элементов содержит это множество?» 805. а) Множество двузначных чисел, записанных с помощью одной цифры; б) множество правильных дробей со знаменателем, равным 7; в) множество натуральных чисел, кратных 5; г) множество правильных дробей, у которых знаменатель на 1 больше числителя. 806. б) Пустым является множество С; это утверждение учащиеся должны обосновать, сославшись на соответствующую геометрическую теорему. А чтобы доказать, что множество D не пустое, они должны начертить четырёхугольник, у которого два прямых угла. 812. А C. Можно провести аналогию с очевидным свойством неравенств: если а < b и b < c, то a < c (проиллюстрируйте это на координатной прямой). 813. Задание трудное, оно предназначено только для сильных учащихся, и лучше его дать после изучения п. 10.2. 1) Может. Возможны варианты: или B C, или C Ì B (учащиеся должны сделать рисунки). 2) Может. Например: В — множество натуральных чисел, кратных 2; С — множество натуральных чисел, кратных 3; А — множество натуральных чисел, кратных 6. 814. 8 подмножеств: 3 одноэлементных, 3 двухэлементных, пустое множество и само данное множество. 10.2. Операции над множествамиМетодический комментарий В этом пункте выделены два фрагмента. В первом из них рассматриваются две операции над множествами — объединение множеств и пересечение множеств. Учащиеся должны знать определение этих понятий, уметь иллюстрировать их на кругах Эйлера, выполнять эти операции над множествами в некоторых несложных случаях (в том числе находить объединение и пересечение множеств, когда одно из них является подмножеством другого или когда они не имеют общих элементов), приводить свои примеры. Обращаем внимание учителя на упражнения 824 и 825, в которых круги Эйлера служат наглядной основой для построения словесных логических конструкций. Развивающий потенциал заданий такого рода очень высок. Поэтому при наличии времени можно предложить учащимся (на этих уроках или на следующих) упражнения, суть которых состоит в содержательной интерпретации схематических рисунков. Например: 1. На схеме большой круг изображает всех шестиклассников школы, круг М — тех из них, кто обучается ещё и в музыкальной школе, круг С — тех, кто занимается в какой-либо спортивной секции (ученики должны заготовить в своих тетрадях от руки шесть одинаковых рисунков, подобных рисунку 10.7 из учебника, обозначив малые круги буквами М и С). Покажите на рисунке штриховкой множество шестиклассников, которые: а) занимаются и музыкой, и спортом; б) не занимаются ни тем ни другим; в) занимаются дополнительно только музыкой; г) ходят в какую-либо спортивную секцию, но не занимаются музыкой; д) занимаются дополнительно чем-то одним — или музыкой, или спортом; е) имеют хотя бы одно из этих дополнительных занятий. 2. Задание, обратное предложенному выше. Ученикам предлагается какой-то сюжет и рисунок по типу рисунка 10.7, в котором заштрихована некоторая область. Требуется дать словесное истолкование выделенного множества. Во втором фрагменте рассматривается понятие классификации. Заметим, что этот термин знаком учащимся уже с начальной школы. Теперь этому понятию даётся математическое истолкование с помощью теоретико-множественного языка. Смысл рассмотрения этого вопроса состоит в том, чтобы подчеркнуть возможность применения математического аппарата в самых разных областях человеческого знания. Изучение материала преследует общеобразовательные, общекультурные цели, поэтому не надо требовать от учащихся запоминания и воспроизведения текста учебника, в котором даётся математическое истолкование термина «классификация». Достаточно ограничиться объяснением и выполнением упражнений из учебника. Комментарий к упражнениям 820. Данные слова — однокоренные. а) В пересечение множеств входят все буквы общего корня, т. е. з, и, м. б) Множество содержит 10 букв; это буквы, которые входят хотя бы в одно из данных слов. 821. Сначала множества С и D надо выписать. а) Есть сложные моменты. Например, число –2 входит в множество С, но не входит в множество D, поэтому оно входит в их объединение, но не входит в пересечение. 822. а) Сначала надо задать перечислением элементов каждое из множеств А и В, т. е. выписать все делители числа 18 и числа 24. Пересечение множеств — это общие делители данных чисел. Наибольший элемент пересечения — наибольший общий делитель. Он равен 6. б) Чтобы облегчить выполнение задания, надо выписать несколько первых элементов данных множеств. Множество А: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …; множество В: 6, 12, 18, 24, 30, … . Пересечению множеств принадлежат числа, кратные и 4, и 6, т. е. их общие кратные. Это числа 12, 24, 36, … . Наименьший элемент этого множества — число 12; это наименьшее общее кратное чисел 6 и 4. 823. а) Числа, кратные и 2, и 5, т. е. кратные 10; б) нечётные числа, кратные 5, т. е. числа, оканчивающиеся на 5; в) числа, кратные 4; г) числа, кратные 3. В случаях «в» и «г» одно из данных множеств является подмножеством другого. В ходе рассуждений надо использовать схему (см. рис. 10.5 из учебника). 826. Пересечение любого множества с пустым множеством есть пустое множество; объединение любого данного множества с пустым множеством есть данное множество. Аналогия со свойствами нуля при умножении и сложении чисел. 10.3. Решение задач с помощью кругов ЭйлераМетодический комментарий В пункте рассматривается некоторый класс арифметических задач, для решения которых оказывается очень удобным проведение рассуждений с опорой на схемы — круги Эйлера. С помощью последовательного заполнения числовыми данными областей на схеме запутанное условие становится ясным и наглядным. Объяснение метода решения проводится на примере разбора типичной задачи. К пониманию проводимых рассуждений, анализу схемы учащиеся хорошо подготовлены содержанием и упражнениями предыдущего пункта. Комментарий к упражнениям 833—835 — это варианты задачи, разобранной в тексте. Их надо решать в той последовательности, в которой они даны в учебнике. 833. Полный аналог задачи в тексте (см. рис. 9). Ответ: 10.  834. Опять последовательно заполняем схему. Для ответа на первый вопрос надо найти число, которое следует записать в общую часть кругов Б и В. Сначала поставим 0 во внешней части кругов Б и В (см. рис. 10). Далее рассуждаем так: из 15 мальчиков 10 занимаются волейболом, значит, не занимаются волейболом 5 человек; вписываем число 5 в область круга Б, не принадлежащую кругу В. Значит, только баскетболом занимаются 5 человек. А так как всего баскетболом занимаются 9 мальчиков, то в свободную часть круга Б надо вписать число 4. Таким образом, и волейболом и баскетболом занимаются 4 мальчика.  Меняем условие. Один из мальчиков не занимается спортом — вписываем во внешнюю часть кругов Б и В число 1 (см. рис. 11). Значит, в соответствии с новым условием спортом занимаются 14 мальчиков. Далее рассуждаем как при ответе на первый вопрос.  835. Сначала узнаем, что хотя бы один из этих предметов имеет 100 – 8 = 92 (семьи). Далее получаем аналог задачи 834. 836. По существу, это не задача. Смысл этого упражнения — обучение анализу схемы, иллюстрирующей соотношение между тремя подмножествами некоторого множества. Подобные схемы ученики должны будут самостоятельно чертить и заполнять при решении задач 837 и 838. 10.4. Комбинаторные задачиМетодический комментарий Как и в 5 классе, комбинаторные задачи решаются здесь перебором возможных вариантов. Перебор может осуществляться путём непосредственного выписывания всех возможных комбинаций в соответствии с выбранной логикой перебора или с помощью другого известного детям приёма — построения дерева возможных вариантов. Но есть и существенное продвижение по сравнению с 5 классом: для задач, рассмотренных в теоретической части пункта, обсуждаются их математические модели (они описываются на языке теории множеств). Иными словами, раскрывается математическая структура задачи; ученики абстрагируются от конкретного сюжета и получают возможность осознать суть общего приёма решения. Упражнения группы А — это всё аналоги задач, разобранных в тексте. Подчеркнём, что объяснение нужно начать с решения задачи из текста, ответа на вопросы к этой задачи и только потом переходить к выполнению соответствующих упражнений. Так, упражнения 843—845 дублируют задачу 1, упражнения 846—849 — вариации на тему задачи 2, упражнение 850 — аналог задачи 3. Вполне возможно, что при выполнении упражнений ученики смогут дать ответ на вопрос сразу, не выполняя перебора, а опираясь на результат, полученный в ходе разбора задачи из текста. Но настаивать на этом не следует. Это возможно только в том случае, если ученик сам увидит, что он имеет дело с уже знакомой задачей (просто сюжет другой) и что ответ ему известен. Что касается задач группы Б, то они все разные, в них содержатся другие идеи. Ещё одно замечание. Во втором примере в тексте учебника с помощью перебора решается задача, относящаяся к известному классу комбинаторных задач, подразумевающих составление всевозможных пар из некоторого множества элементов. В этот класс входят задачи на такие сюжеты, как однокруговые турниры, рукопожатия, отрезки, попарно соединяющие точки и т. д. Для них есть другой способ решения, который также позволяет получить ответ путём рассуждений, без использования формул. Например, в задаче о рукопожатиях можно было бы рассуждать так. Каждый из приятелей пожал руку семи друзьям. Так как приятелей было 8, то, умножив 7 на 8, получим 56 рукопожатий. Но нам всё равно, кто кому пожимает руку — Иванов Петрову или Петров Иванову, это одно и то же рукопожатие. Поэтому произведение 56 надо разделить на 2. Получим уже известный ответ: всего было 28 рукопожатий. Учитель может показать такой способ рассуждений, но, на наш взгляд, в 6 классе предпочтительнее непосредственный перебор. А с этим новым приёмом дети смогут познакомиться в 7 классе, когда будут изучать комбинаторное правило умножения. Комментарий к упражнениям 852. а) Рассмотреть, сколько имеется вариантов выбора из четырёх друзей того, кто не пойдёт на матч, и осознать, что это и есть ответ на вопрос. б) Достаточно подсчитать, сколькими способами можно выбрать двух спортсменов из четырёх кандидатов. Ответ на оба вопрос один и тот же. 853. Достаточно рассмотреть все возможные варианты того, какие монеты можно положить в один карман (при этом надо не забыть, что можно в этот карман ничего не класть). 855. Выпишем все возможные двухбуквенные слова, составленные из букв Р, А, Н, Ф. Для этого возьмём одну букву (зафиксируем её) и припишем к ней поочерёдно остальные. Получим: РА РН РФ АР АН АФ НР НА НФ ФР ФА ФН Ответ: 12 словарей. 856. Выпишем сначала все коды, содержащие одну единицу, затем — две единицы, далее — три единицы. Получим: 0001 0010 0100 1000 — 4 варианта 0011 0101 0110 1001 1010 1100 — 6 вариантов 0111 1011 1101 1110 — 4 варианта Ответ: в худшем случае придётся сделать 14 попыток.  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |