Методические рекомендации для экспертов. Методические рекомендации по оцениванию выполнения заданий егэ

20
когда в решении лишь описана и продемонстрирована верная конструкция.
Дело в том, что, к сожалению, даже такое условие для нынешней российской школы является весьма ограничительным, и сама постановка вопроса о полной и математически грамотной обоснованности такого построения – вещь экзотическая для многих выпускников (и некоторых учителей). Многие достаточно хорошие выпускники за время своего обучения вполне могли просто отвыкнуть
(или не привыкнуть) приводить необходимые доказательства верности своих конструкций: они их «видят» и по школьной своей привычке считают это достаточным.
Отметим часто задаваемый экспертами вопрос, связанный с проверкой решения задач на нахождение угла. Вид (дизайн) ответа вполне может отличаться от приведенного в решениях, присланных федеральной предметной комиссией. Это отличие ни в какой мере не может служить основанием для снижения оценки. Самое главное, чтобы ответ был правильным. Конкретнее, если в «образце» решения, предложенного
Федеральной комиссией по математике, в ответе стоит arcsin 0,6 , а у ученика в ответе стоит
1 24
arctg
2 7
, то справедливость равенства arcsin 0,6 =
1 24
arctg
2 7
эксперту следует проверить самостоятельно.
Приведем критерии оценивания выполнения заданий С2, которых следует придерживаться ниже в трех частях настоящих учебно- методических рекомендаций.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ 2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
По сравнению с ЕГЭ–2011 есть одно дополнение: в содержание критерия на 1 балл добавлены слова «… или при правильном ответе решение недостаточно обосновано».
Формально, это положение противоречит вышеприведенному тезису о допустимой минимизации обоснований.
Позиция разработчиков КИМ здесь состоит в том, что эти слова относятся не к возможности понижения (за недостаточностью обоснований) оценки с 2 баллов на 1 балл, а к возможности повышения оценки с 0 баллов до 1 балла. Дело в том, что по результатам проверки работ ЕГЭ–2010 и
ЕГЭ–2011 устойчиво выделился массив работ, в которых изложение ограничивается лишь верным рисунком, указанием искомого объекта и

21
верным ответом без приведения сколько-нибудь развернутых вычислений.
Приведем конкретный пример из ЕГЭ–2011.
В правильной шестиугольной призме
1 1
1 1
1 1
F
E
D
C
B
ABCDEFA
, стороны основания которой равны 5, а боковые ребра равны 11, найдите расстояние от точки
A
до прямой
1 1
D
E
Решение.
Это расстояние, см. рис., равно
14 1
=
AE
Ответ: 14.
По критериям двух предыдущих лет – это
0 баллов, так как решение не содержит никакого обоснованного перехода куда-либо, а по критериям ЕГЭ–2012 – это 1 балл именно из-за дополнения «… или при правильном ответе решение недостаточно обосновано».
Конечно, это довольно экзотическая в процентном отношении ситуация, но при переходе к количеству реальных участников ЕГЭ речь идет о десятках тысяч работ.
Еще раз повторим, дополнение «… или при правильном ответе решение недостаточно обосновано» введено не для того, чтобы «зарубить» двухбалльные решения, массово выставив за них 1 балл, а, наоборот, для того, чтобы иметь в некоторых случаях возможность повысить оценку с
0 до 1 балла.
Необходимо отметить еще одно существенное обстоятельство, связанное с использованием в решении заданий С2 элементов аналитической геометрии (координаты точек, уравнения плоскостей и прямых т.п.). Так как получение формул, скажем, для тех или иных расстояний основано, в конечном счете, на сведении к соответствующей планиметрической задаче, то верное использование этих формул
автоматически подразумевает обоснованное сведение к планиметрической задаче. Тем самым, критерий на 1 балл нормально работает и в применении к тем случаям, когда правильно используется верная формула аналитической стереометрии, но в вычислениях содержится арифметическая ошибка.
A
B
C
D
E
F
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1

22
Примеры оценивания выполнения заданий С2
Задача С2 – 1.
Ребро куба
1 1 1 1
ABCDA B C D
равно 1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости
1
ACD
Решение.
Прямая
AC
перпендикулярна плоскости
1
BDD
, так как она перпендикулярна прямым
BD
и
1
DD
Плоскость
1
ACD
содержит прямую
AC
, следовательно, плоскости
1
BDD
и
1
ACD
перпендикулярны. Тогда расстояние от точки
B
до плоскости
1
ACD
есть высота треугольника
1
BOD
, проведенная из вершины
B
В треугольнике
1
BOD
:
3 1
=
BD
,
2 2
=
BO
,
2 6
1
=
OD
Из треугольников
BHO
и
1
BHD
:
(
)
2 1
2 1
2 2
2
OH
OD
BD
OH
BO
BH
+
−
=
−
=
, откуда получаем:
6 6
=
OH
, тогда получаем:
3 3
=
BH
Ответ:
3 3
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ 2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено,
Или при правильном ответе решение недостаточно обосновано
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2

23
Пример 1.
Ребро куба
1 1 1 1
ABCDA B C D
равно 1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости
1
ACD
Ответ:
3 3
Комментарий. Работа не пустая, и ответ верен. Тем не менее в работе не прослеживается правильного геометрического представления о происходящем. На самом деле, основание перпендикуляра попадает не на сторону
1
D O , а на ее продолжение. В тексте имеется явно неверное утверждение. А именно, если «H – точка пересечения медиан …», то
неверно, что
1
BH
AD C
⊥
Оценка эксперта: 0 баллов.

24
Пример 2.
Ребро куба
1 1 1 1
ABCDA B C D
равно 1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости
1
ACD
Ответ:
3 3
Комментарий.
Как и в предыдущем примере, рисунок не соответствует действительности. Но, и это существенно, в тексте решения отсутствуют неверные утверждения, а ссылок на неверный рисунок – нет.
Оценка эксперта: 2 балла.

25
Пример 3.
Ребро куба
1 1 1 1
ABCDA B C D
равно 1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости
1
ACD
Ответ:
3 3
Комментарий.
В работе всюду написано не про расстояние от точки до плоскости, а про расстояние от плоскости до точки, но в остальном – верно.
Оценка эксперта: 2 балла.

26
Пример 4.
Дан куб
1 1 1 1
ABCDA B C D
. Длина ребра куба равна
1
. Найдите расстояние от середины отрезка
1
BC
до плоскости
1 1
AB D
Ответ:
3 3
Комментарий. Утверждение
1 1 1
MB
AD D
⊥
неверно:
1
AB M
∠
– не прямой угол. Подсчеты верны, но вычисляется не то, что нужно.
Оценка эксперта: 0 баллов.

27
Пример 5.
Дан куб
1 1 1 1
ABCDA B C D
. Длина ребра куба равна
1
. Найдите расстояние от середины отрезка
1
BC
до плоскости
1 1
AB D
Ответ:
3 3
Комментарий. Что-то есть, но неверно, что «искомое расстояние = MN».
Оценка эксперта: 0 баллов.

28
Пример 6. Сторона основания правильной треугольной призмы
1 1 1
ABCA B C
равна 2 , а диагональ боковой грани равна
5 . Найдите угол между плоскостью
1
A BC
и плоскостью основания призмы.
Ответ: 30.
Комментарий. Типичный случай, когда нет «идеальной» проверки того, что
1
A DA
∠
– искомый линейный угол, но все построения и вычисления верны.
Оценка эксперта: 2 балла.

29
Пример 7. Найти угол между прямой, проходящей через середины скрещивающихся ребер правильной треугольной пирамиды и плоскостью ее основания. Боковое ребро равно 29, сторона основания
3 20
Ответ:
40 21
arctg
Комментарий. Прямо по критериям: «Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ…»
Оценка эксперта: 1 балл.

30
Пример 8. Найти угол между прямой, проходящей через середины скрещивающихся ребер правильной треугольной пирамиды, и плоскостью ее основания. Боковое ребро равно 17, сторона основания равна
15 3
Ответ:
15 4
arctg
Комментарий.
В целом – похоже на предыдущий пример. Но, в отличие от него, здесь вычисления логичны, выбран разумный способ подсчета через тангенс и, самое главное, вычисления не содержат ошибок.
Оценка эксперта: 2 балла.

31
§3. Задания с развернутым ответом повышенного уровня сложности
С3. Критерии проверки и оценки решений.
Напомним, что по результатам ЕГЭ предыдущего года весь массив работ основного (июньского) потока был разбит на четыре группы выпускников с различным уровнем подготовки
Номер группы
Первичный балл
Тестовый балл
Уровень подготовки
Процент участников
I от 0 до 5 от 0 до 30 низкий 15,6
II от 6 до 12 от 31 до 56 базовый 57,9
III от 13 до 22 от 57 до 82 повышенный 25,3
IV от 23 до 30 более 82 высокий 1,2
Если задания уровня С1 или С2 по сложности – это задания для всех успевающих по математике выпускников общеобразовательной школы, то, начиная с С3, сложность заданий соответствует уже высокому и повышенному уровням подготовки. Наглядным подтверждением являются следующие данные о результатах выполнения заданий С1–С3 по уровням подготовки.
Задание Баллы
Низкий
Базовый Повышенный Высокий
1 балл
1,2% в группе
23,4 33,1 4,5
С1 2 балла
0,1 % в группе
5,0 61,8 94,6 1 балл
62 уч. 1,9 15,4 6,1
С2 2 балла
7 уч. 0,6 29,1 91,6 1 балл
164 уч. 4,6 39,1 13,7 2 балла
11 уч. 0,4 10,5 9,5
С3 3 балла
0 0,1 10,9 73,9
Тем самым, уровень сложности заданий С3 весьма точно соответствует границе между базовым и повышенным уровнями освоения школьного курса математики. В 2010 и 2011 гг. задание С3 было заданием на решение логарифмического неравенства, в том числе и с переменным основанием логарифма. В 2011 году задание С3 было существенно упрощено по сравнению с 2010 годом и по внешнему виду самого неравенства, и с точки зрения используемой техники решения. Все же, в

32
целом по стране результаты (56,6% – не приступали, 23,9% – 0 баллов,
12,8% – 1 балл, 3% – 2 балла, 3,7% – 3 балла) были не слишком высоки. С целью повышения числа участников, приступающих к выполнению задания
С3, в 2012 году было принято решение сделать задание С3, в определенной степени, «двушаговым», и один из «шагов» сделать более простым, приблизить его к уровню среднего хорошиста.
В результате, задание С3 выглядит, как система двух неравенств с одной переменной. Приведем примеры из демоверсии и диагностических работ, проведенных Московским институтом открытого образования в
2011 году.
1. Решите систему неравенств
(
)
2 3
3 4
9 2 22,
1
log
2 1 log
2
x
x
x
x
x
x
⎧
≤ ⋅
+
⎪
⎨
+
− −
≤ +
⎪
−
⎩
2. Решите систему неравенств
2 2
2 2
1 1,
2 1
25 3 | 3 5 | 30 9.
x
x
x
x
x
x
−
+
≤
−
−
−
<
−
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
3. Решите систему неравенств
(
)
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
+
+
−
+
+
≤
−
−
+
−
52 3
1 3
1 3
1
,
3 2
log
8 6
log
7 1
1 7
9 2
9
x
x
x
x
x
x
x
4. Решите систему неравенств
2 3
3
log log
4 2
2 2
3 2 3,
log
6 5log
x
x
x
x
x
⎧
+
>
⎪
⎨
⎪
+ ≥
⎩
Не обсуждая каждую из этих задач, отметим, что во всех случаях в системе неравенств одно из неравенств заметно проще другого и, в некоторой степени, почти цитирует неравенства из соответствующих разделов учебников и задачников из УМК, входящих в Федеральный перечень МОиН РФ.
Критерии оценивания выполнения заданий С3 этого типа таковы.
С3, 2012. Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ 3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах 2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве системы неравенств
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
3

33
Эти критерии напоминают критерии оценивания выполнения задания
С1 и носят жестко структурированный характер, практически никак не учитывающий специфику конкретных неравенств. В сравнении с ними, в критериях предыдущего года такой учет конкретики был предложен.
С3, 2011. Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ 3
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного только конечным количеством значений переменной, при которых определены обе части исходного неравенства
2
Произведён переход от исходного неравенства к неравенствам, которые не содержат логарифмов и являются следствиями исходного неравенства. Возможно ограничения, при которых исходное неравенство имеет смысл, отсутствуют или найдены неверно
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
3
Однако практика работы по таким критериям выявила массу неясностей, связанных с трактовкой понятия «неравенство, являющееся следствием исходного неравенства». Многие ошибочно полагали, что, например, если в работе ученика после lg
1
ab
< написано lg lg
1
a
b
+
< , то это и есть переход от неравенства lg
1
ab
< к его следствию, что, разумеется, не так вне действия ограничений
0,
0
a
b
>
> .
Критерии для С3 в 2012 году делают процедуру оценивания значительно более ясной и алгоритмичной, они в заметной степени ликвидируют разночтения в выставлении 1 или 2 баллов.
В целом, критерии такого типа удобны для экспертов, но, в то же время, они более суровы. Например, если в каждом из неравенств системы автор решения при в целом верном подходе к решению обоих неравенств допустил (пусть и незначительную) арифметическую ошибку, то его решение следует оценить в 0 баллов.
Основная проблема тут состоит в том, что как только в критериях явно появляются слова об ошибках, описках, вычислительных недочетах и т.п., то на местах они начинают трактоваться некоторыми экспертами во все более и более расширительном смысле. Дело доходит до того, что арифметическая ошибка на первоначальном этапе решения, которая привела к решению (пусть и верному) задачи, отличной от исходной задачи, интерпретируется как незначительный недочет: «…ведь, вообще-то, все верно…».

34
Перед переходом к конкретным работам необходимо обсудить несколько важных моментов. Во-первых, обратим внимание на то, что зачастую в представленных ниже решениях учеников полностью отсутствуют комментарии-слова и не всегда корректно используются знаки импликаций.
Поэтому эксперту необходимо внимательно просмотреть все формулы, и понять, правильна или нет общая логика решения, и без особых причин не снижать баллы за неправильное использования логических знаков.
Во-вторых, слова «Обоснованно получен верный ответ…» в критериях не подразумевают обязательного наличия явно выписанного ответа: его достаточно получить в процессе решения. Ведь сама формулировка задания «Решите систему неравенств» вовсе не предполагает непременного выписывания ответов для каждого неравенства в отдельности.
Наконец, при проверке выполнения заданий С3 на ЕГЭ-2012 следует иметь в виду следующую маловероятную, но, в принципе, возможную ситуацию. Хотя два неравенства системы неравенств практически независимы друг от друга (см. примеры выше), но при выписывании ответа для одного из них кто-то может попробовать учитывать ограничения из другого. Приведем два модельных примера.
Пример 1. Решить систему неравенств
⎩
⎨
⎧
<
<
2
log
,
27 3
2
x
x
Решение. 1)
3 3
27 3
3
x
x
<
⇔
<
. Так как
0
x
> , то 0 3
x
< < .
2)
2
log
2 0
2
x
x
< ⇔ < <
3) Решение системы – интервал (0;2) .
Пример 2. Решить систему неравенств
⎩
⎨
⎧
<
<
243 3
,
2
log
2
x
x
Решение.
2
log
2 0
4
x
x
< ⇔ < < .
Для всех таких x верно, что
4 5
3 3
3 243
x
<
<
=
Решение системы – интервал (0;4) .
С формальной точки зрения, в обоих случаях, не приведен верный ответ отдельно для показательного неравенства. Со вторым случаем – всё просто: работают критерии на 3 балла. А вот в первом случае, и общий ответ неверен (значит, не более 2 баллов), и в логарифмах есть ошибка (значит, не более 1 балла), и для показательного неравенства отдельного общего ответа нет. Значит ли это, что следует ставить 0 баллов? Нет, ведь в шаге 1 нет ни одной ошибки, и показательное неравенство верно решено с учетом ограничения из логарифмического неравенства. В таких, надеемся, крайне редких, случаях следует выставлять 1 балл.

35
Осталось прокомментировать оценивание решения задание
С3 демонстрационного варианта.
Решите систему неравенств
(
)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
+
+
≤
−
−
+
⋅
≤
2 1
log
1 2
log
,
22 2
9 4
3 2
3
x
x
x
x
x
x
Решение.
1)
Неравенство
22 2
9 4
+
⋅
≤
x
x
запишем в виде
( )
0 22 2
9 2
2
≤
−
⋅
−
x
x
Относительно
x
t
2
=
первое неравенство имеет вид:
0 22 9
2
≤
−
− t
t
, откуда получаем:
(
)(
)
0 11 2
≤
−
+
t
t
,
11 2
≤
≤
−
t
Значит,
11 2
2
≤
≤
−
x
,
11
log
2
≤
x
2) Второе неравенство системы определено при
(
)(
)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
−
+
>
−
+
,
0 2
1
,
0 2
1
x
x
x
x
то есть при
1
−
<
x
и
2
>
x
При допустимых значениях переменной получаем:
(
)
2 1
log
1 2
log
3 2
3
−
+
+
≤
−
−
x
x
x
x
,
(
)(
)
(
)
1 2
1
log
2 1
log
3 3
≤
−
+
−
−
+
x
x
x
x
,
(
)
1 2
log
2 3
≤
−
x
,
(
)
3 2
2
≤
−
x
,
3 2
3 2
+
≤
≤
−
x
С учетом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы:
3 2
2
+
≤
< x
3) Сравним
11
log
2
и
3 2
+
. Так как
5
,
1 25
,
2 3
=
>
, то
( )
(
)
( )
11
log
2
,
11
log
4
,
1 8
log
2 8
log
5
,
3 3
2 2
2 2
2
>
=
⋅
>
⋅
=
>
+
, следовательно,
3 2
11
log
2
+
<
Решение системы неравенств:
(
]
11
log
;
2 2
Ответ:
(
]
11
log
;
2 2
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ 3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств
2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве системы неравенств
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
3

36
Комментарий. Формально видны три пункта решения: решение показательного неравенства, решение логарифмического неравенства, получение решения системы неравенств.
Сравнение двух чисел в решении демонстрационного варианта вынесено в отдельный пункт.
В решениях участников экзамена вряд ли будет особо уделено внимание сравнению чисел.
Если ответ для системы неравенств выписан верно, то не следует предъявлять особых требований к аргументации получения ответа. В этом случае следует ставить полные баллы, а если ответ для системы неравенств выписан неверно, то тогда следует оценивать решения неравенств.

37
Примеры оценивания заданий С3
Пример 1.
Решите систему неравенств
(
)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
−
−
≤
⋅
+
−
−
−
0 7
log
1 1
log
2
,
61 5
12 5
1 7
2 1
x
x
x
x
Ответ:
5
(2;2 log 12]
+
Комментарий. В логарифмическом неравенстве – ошибка в первом же переходе. В показательном – все верно про
5
x
t
=
, но нет возврата к x .
Более того, при получении итогового ответа также нет возврата к x , то есть идет пересечение одного множества по x с множеством по
5
x
t
=
. Обидно, но даже 1 балл не получается.
Оценка эксперта: 0 баллов.

38
Пример 2.
Решите систему неравенств
2 3
3
log log
4 2
2 2
3 2 3,
log
6 5log
x
x
x
x
x
⎧
+
>
⎪
⎨
⎪
+ ≥
⎩
Ответ:
3 1
0
<
< x
,
4 3
≤
< x
,
8
≥
x
Комментарий. Оба неравенства системы решены обоснованно и верно. Для обоих неравенств не приведен отдельный ответ, но условие
0
x
> явно выписано в начале и явно учтено в конце решения. Ответ верен.
Оценка эксперта: 3 балла.

39
Пример 3.
Решите систему неравенств
2 5
5
log log
4 2
3 3
5 2 5,
log
2 3log
x
x
x
x
x
⎧
+
≥
⎪
⎨
⎪
+ >
⎩
Ответ:
5 1
0
≤
< x
,
3 5
<
≤ x
,
9
>
x
Комментарий. Во втором неравенстве, которое решалось первым, – все верно. При решении другого неравенства – неправильное «избавление» от квадратов. Ответ неверен: потерян промежуток с концом в нуле.
Оценка эксперта: 1 балл.

40
Пример 4.
Решите систему неравенств
2 5
5
log log
4 2
3 3
5 2 5,
log
2 3log
x
x
x
x
x
⎧
+
≥
⎪
⎨
⎪
+ >
⎩
Ответ:
5 1
0
≤
< x
,
3 5
<
≤ x
,
9
>
x
Комментарий. По критериям, «обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах»? Да! Но, общий ответ неверен. Ошибка в сравнении концов промежутков: неверно, что
3 5
<
Оценка эксперта: 2 балла.

41
Пример 5.
Решите систему неравенств
(
)
(
)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
−
+
−
≥
−
⋅
+
−
−
+
−
2 3
2 3
2 3
2 3
2
,
0 4
log
1
log
2
,
1 2
,
1 5
3
x
x
x
x
x
x
x
x
Ответ: 1,2.

42
Пример 5. Продолжение.
Комментарий. Ответ верен, а решение – нет. Уравнение
1,2 2
2 1
3 3
x
x
−
−
=
решено неверно: пропущен случай
0,5 2
2 1
3 3
2,5
x
x
x
= −
⎡
−
= ⇔ ⎢ =
⎣
. Правда, далее
(см. шаг 3) есть вычисления знаков чисел
( 0,5)
f
−
и
(2,5)
f
. Но!!! Это происходит при использовании обобщенного метода интервалов и расстановки в них нужных знаков. Просто уникальный случай: середины двух из трех проверяемых интервалов случайно совпали именно с теми корнями уравнения
1,2 2
2 1
3 3
x
x
−
−
=
, которые и были потеряны.
Оценка эксперта: 1 балл.

43
Пример 6.
Решите систему неравенств
(
)
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
+
+
−
+
+
≤
−
−
+
−
52 3
1 3
1 3
1
,
3 2
log
8 6
log
7 1
1 7
9 2
9
x
x
x
x
x
x
x
Ответ:
(
)
2
;
4
log
1 3
−
−
−
,
(
]
12
;
3
Комментарий. Ученик решает систему, как его учили, т.е. переходя от системы к системе, а не решая неравенства по отдельности. Если двигаться по вторым строчкам в системе, то видно, что показательное неравенство решено верно, хотя и замысловато. В логарифмическом – много ошибок.
Оценка эксперта: 1 балл.

44
Пример 7.
Решите систему неравенств
2 3
3
log log
4 2
2 2
3 2 3,
log
6 5log
x
x
x
x
x
⎧
+
>
⎪
⎨
⎪
+ ≥
⎩
Ответ:
3 1
0
<
< x
,
4 3
≤
< x
,
8
≥
x
Комментарий. Дважды при решении каждого неравенства системы и еще при выписывании ответа пропущено одно и то же условие
0
x
>
. Даже 1 балл не получается.
Оценка эксперта: 0 баллов.

45
Пример 8.
Решите систему неравенств
(
)
(
)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
−
+
−
≥
−
⋅
+
−
−
+
−
2 3
2 3
2 3
2 3
2
,
0 4
log
1
log
2
,
1 2
,
1 5
3
x
x
x
x
x
x
x
x
Ответ: 1,2.

46
Пример 8. Продолжение.
Комментарий. Что называется, 3 балла с запасом. Дело в том, что совсем не требовалось полностью решать логарифмическое неравенство после того, как в показательно-степенном неравенстве в ответе получились только три числа. Нигде, правда, явно не сказано, как произведен итоговый отбор.
Однако ошибки нет и все обоснования ясны.
Оценка эксперта: 3 балла.

47

перейти в каталог файлов