Методические рекомендации для экспертов. Методические рекомендации по оцениванию выполнения заданий егэ

48
Как и в предыдущие годы, задание С4 будет планиметрическим, и как и ранее – весьма высокого уровня сложности. По данным о результатах ЕГЭ–
2010 и 2011 гг. задание С4 оказалось практически такой же сложности для выпускников, что и задания С5 или С6. Например, см. таблицу, в которой собраны данные о количестве не приступавших к различным заданиям в целом по стране.
Задания
С1
С2
С3
С4
С5
С6
% не приступавших, 2010 45,8 69,6 67,6 85,8 88,2 90,3
% не приступавших, 2011 34,7 64,9 56,6 84,4 87,9 87,7
О процентах выполнения задания С4 в такой начальной ситуации естественно говорить применительно к «сильнейшей» группе участников, набравших более 82 баллов из 100 и группе участников, набравших от 57 до
82 баллов. Вот эти данные за 2011 год. Во второй строке – процент получивших соответствующие баллы в данной группе участников.
2011 год
С4–1 балл С4–2 балла С4–3 балла
Группа от 83 баллов 9,9 33,7 41,4
Группа от 57 до 82 баллов 6,0 5,6 1,3
Тем самым, по фактическим данным выполнения, задание С4 является своего рода границей, разделяющий высокий и повышенный уровень подготовки участников ЕГЭ.
Практика проверки работ на ЕГЭ–2010 и 2011 показала, что экспертам задание С4 проверять было, пожалуй, легче всего. По крайней мере, количество спорных ситуаций и неоднозначных, пограничных способов трактовки критериев оценивания было меньше всего.
Критерии оценивания выполнения задания С4
Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ
3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины
2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Опытный и прагматичный эксперт при оценивании С4 рассуждал примерно так: «Есть верный рисунок одной конфигурации? Есть правдоподобная цепочка вычислений, приводящая для этой конфигурации к верному ответу? Если есть, то значит, это, скорее всего, 2 балла, если только в вычислениях нет ошибок».
Как и во всякой геометрической, и особенно, достаточно сложной геометрической задаче весьма деликатным является вопрос о степени и

49
характере обоснованности построений и утверждений.
Излишняя требовательность к обоснованиям в принципе ведет к необходимости текста, изложение в котором начинается, грубо говоря, с аксиом, продолжается формулировками теорем, приведением нужных формул, и в котором только после этого происходит собственно решение задачи.
Позиция разработчиков КИМ ЕГЭ–2012 состоит в том, что в задании С4 невозможно от выпускников школ на ЕГЭ требовать изложения, приближающегося к стилю учебников и научно-методических статей.
Достаточным является наличие ясного понимания возможности разных геометрических конфигураций искомых объектов, верного описания
(предъявления) этих конфигураций и грамотно проведенных вычислений.
Обратим также внимание на то, что часто при решении геометрических задач школьники ссылаются на весьма невразумительный чертёж, а иногда чертёж вообще отсутствует (если рисунок сделан на бланке карандашом, то эта область не сканируется). Снижать оценку только за это не рекомендуется.
Наконец, специально отметим, некоторую несогласованность единственного и множественного числа в постановке вопроса задачи и в ответе на этот вопрос. Традиции отечественного геометрического образования таковы, что вопрос «Найти геометрический объект, удовлетворяющий некоторым условиям», всегда трактовался как полное решение, то есть отыскание всех объектов, удовлетворяющих условиям задачи. Мы следуем традиционному подходу и считаем нецелесообразным вопрос «Найти радиус окружности, вписанной в…» приводить в формулировке, типа, «Найти радиусы всех окружностей, …».

50
Примеры оценивания заданий С4.
Пример 1.
Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка
C
, а на другой – точки
A
и
B
, причем треугольник
ABC
– равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
ABC
. Ответ:
10 3
или
2 13 9
39
−
Комментарий. Ситуация классическая. Верно решена не та задача: вместо вписанной рассмотрена описанная окружность. Можно много говорить и довольно много спорить, о том, что «…решение-то грамотное, ученик хороший…» и т.п. Но тут может быть только одно решение однозначное и применимое ко всем аналогичным ситуациям – это 0 баллов.
Оценка эксперта: 0 баллов.

51
Пример 2.
Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка
C
, а на другой – точки
A
и
B
, причем треугольник
ABC
– равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
ABC
. Ответ:
10 3
или
2 13 9
39
−
Комментарий. Это тот самый типичный случай, о котором говорилось во введении: «Есть верный рисунок одной конфигурации, есть правдоподобная цепочка вычислений, приводящая для этой конфигурации к верному ответу?
Если есть, то значит, это, скорее всего, 2 балла, если только в вычислениях нет ошибок». Ясно, что здесь вычисления проведены достаточно аккуратно.
Случай второй конфигурации вообще не рассмотрен.
Оценка эксперта: 2 балла.

52
Пример 3.
Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка
C
, а на другой – точки
A
и
B
, причем треугольник
ABC
– равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
ABC
. Ответ:
10 3
или
2 13 9
39
−
Комментарий. Тоже весьма стандартное положение. Почти то же самое, что и в предыдущем примере 2, но при вычислении радиуса вписанной окружности есть ошибка, которая, к сожалению, отмечена экспертом прямо в проверяемой работе. Площадь делится на периметр, а не на полупериметр.
Поэтому ответ – в два раз меньше. Случай второй конфигурации вообще не рассмотрен.
Оценка эксперта: 1 балл.

53
Пример 4.
Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка
C
, а на другой – точки
A
и
B
, причем треугольник
ABC
– равнобедренный и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
ABC
. Ответ: 1,5 или
5 4
10
−
Комментарий. Рисунки неаккуратные, есть зачеркивания и исправления, общих формул для площади, полупериметра, радиуса нет, номер задачи указан неверно, иррациональность из знаменателя не убрана и т.д.
Но при спокойном взгляде на решение становится ясно, что снижать оценку тут не за что: это полное решение с верным ответом и с достаточными для такой планиметрической задачи обоснованиями.
Оценка эксперта: 3 балла.

54
Пример 5.
В треугольнике
ABC
15
=
AB
,
5
=
BC
,
12
=
AC
. Точка
D
лежит на прямой
BC
так, что
:
3: 4
BD DC
=
. Окружности, вписанные в каждый из треугольников
ADC
и
ADB
, касаются стороны AD в точках E и F . Найдите длину отрезка EF .
Ответ:
7 13
или 4.
Комментарий. Прямо по критерию «Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины». Автор «пропустил» второй случай, когда точка D лежит вне отрезка BC : ясно, что тем же способом он разбирается аналогично.
Оценка эксперта: 2 балла.

55
Пример 6.
В треугольнике
ABC
15
=
AB
,
7
=
BC
,
9
=
AC
. Точка
D
лежит на прямой BC так, что
:
2 : 3
BD DC
=
. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и
ADB
, касаются стороны AD в точках E и F . Найдите длину отрезка EF .
Ответ: 6,5 или 3,7.
Комментарий.
Красивое, лаконичное и верное решение, хотя окружности лучше бы рисовать и покруглее.
Оценка эксперта: 3 балла.

56
Пример 7.
В треугольнике
ABC
13
=
AB
,
7
=
BC
,
11
=
AC
. Точка
D
лежит на прямой BC так, что
:
1: 7
BD DC
=
. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и
ADB
, касаются стороны AD в точках E и F . Найдите длину отрезка EF .
Ответ: 4,5 или
8 29
Комментарий. Какие-то умения по решению планиметрических задач автор явно демонстрирует, но их, очевидно, не хватает для выставления положительного балла.
Оценка эксперта: 0 баллов.

57
Пример 8.
В треугольнике
ABC
9
=
AB
,
5
=
BC
,
8
=
AC
. Точка
D
лежит на прямой BC так, что
7
:
3
:
=
DC
BD
. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и
ADB
, касаются стороны AD в точках E и F . Найдите длину отрезка EF .
Ответ: 1,5 или 3.
Комментарий. Случай, аналогичный Примеру 7.
Оценка эксперта: 0 баллов.

58
Пример 9.
В треугольнике
ABC
14
=
AB
,
10
=
BC
,
12
=
AC
. Точка
D
лежит на прямой BC так, что
:
3: 7
BD DC
=
. Окружности, вписанные в каждый из треугольников
ADC и ADB , касаются стороны AD в точках E и F . Найдите длину отрезка
EF . Ответ: 3 или 6.
Комментарий.
План намечен довольно разумный и, наверное, реализуемый. Но, проверим, правда ли, что
13
AD
=
? Если это так, то
9 196 169 100 196 144 9 27 152
cos
2 3 14 2 10 14 3
10
B
+
−
+
−
+
=
=
⇔
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
Неверно! Приведенные автором вычисления можно трактовать и как сознательную попытку «обмануть» проверяющего, и как честное обманывание самого себя, связанное с ошибками в вычислениях. Если судить «в пользу ученика», то – 1 балл.
Оценка эксперта: 1 балл.

59
§5. Задания с развернутым ответом повышенного уровня
сложности С5. Критерии проверки и оценки решений.
В этом параграфе представлены решения четырех задач: из ЕГЭ–2011
(задача 1), из диагностической работы, декабрь 2011 (задача 2), из ЕГЭ–
2010 (задача 3) и из диагностической работы, декабрь 2010 (задание 4). Их объединяет два момента: это задачи с параметром и это задачи, стоящие на месте С5.
Различие состоит в том, что задачи 1 и 3 явно носят функциональный оттенок, то есть связаны с исследованием поведения некоторой функции
( , )
y
f x a
=
с параметром a , а задачи 2 и 4 связаны с системой уравнений. Как это обычно бывает, задачи с параметром допускают либо чисто алгебраический способ решения, либо допускают способ решения, основанный на построении и исследовании простейшей геометрической модели.
Для задач 1–4 геометрический метод решения быстрее и точнее ведет к цели, а алгебраический либо технически сложнее, либо вообще вряд ли реализуем.
Задача 1.
Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 6
12 4,
1
x
y
x
y
a
⎧
−
+
−
=
⎪
⎨
⎪ +
+
=
⎩
имеет единственное решение.
Решение.
Если
0
x
≥
, то уравнение
(
)
(
)
2 2
6 12 4
x
y
−
+
−
=
задаёт окружность
1
ω с центром в точке
(
)
1 6; 12
C
радиуса 2, а если
0
x
<
, то оно задаёт окружность
2
ω с центром в точке
(
)
2 6; 12
C
−
того же радиуса
(см. рис.).
При положительных значениях параметра a уравнение
(
)
2 2
2 1
x
y
a
+
+
=
задаёт окружность
ω
с центром в точке
(
)
1; 0
C
−
радиуса
a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a , при каждом из которых окружность
ω
имеет единственную общую точку с объединением окружностей
1
ω и
2
ω .
ω
ω
ω
1
ω
2
C
1
C
2
C
A
1
A
2
B
1
B
2
x
y
12 0
6
–1
–6

60
Из точки C проведём луч
1
CC и обозначим
1
A и
1
B точки его пересечения с окружностью
1
ω , где
1
A лежит между C и
1
C . Так как
(
)
2 2
1 6 1 12 193
CC
=
+
+
=
, то
1 1
193 2,
193 2
CA
CB
=
−
=
+ .
При
1
a CA
<
или
1
a CB
>
окружности
ω
и
1
ω не пересекаются.
При
1 1
CA
a CB
< <
окружности
ω
и
1
ω имеют две общие точки.
При
1
a CA
=
или
1
a CB
=
окружности
ω
и
1
ω касаются.
Из точки C проведём луч
2
CC и обозначим
2
A и
2
B точки его пересечения с окружностью
2
ω , где
2
A лежит между C и
2
C . Так как
(
)
2 2
2 6 1 12 13
CC
=
− +
+
=
, то
2 2
13 2 11, 13 2 15
CA
CB
=
− =
=
+ = .
При
2
a CA
<
или
2
a CB
>
окружности
ω
и
2
ω не пересекаются.
При
2 2
CA
a CB
< <
окружности
ω
и
2
ω имеют две общие точки.
При
2
a CA
=
или
2
a CB
=
окружности
ω
и
2
ω касаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность
ω
касается ровно одной из двух окружностей
1
ω и
2
ω и не пересекается с другой. Так как
2 1
2 1
CA
CA
CB
CB
<
<
<
, то условию задачи удовлетворяют только числа
11
a
=
и
193 2
a
=
+
Ответ:
11; 193 2
+
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ 4
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но
– или в ответ включены также и одно-два неверных значения;
– или решение недостаточно обосновано
3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра
2
Задача сведена к исследованию:
– или взаимного расположения трёх окружностей;
– или двух квадратных уравнений с параметром
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
4

61
Задача 2.
Найдите все значения
a
, при каждом из которых наименьшее значение функции
( )
5 6
4 2
+
−
+
=
x
x
ax
x
f
больше, чем – 24.
Решение.
1. Функция
( )
x
f
имеет вид: а) при
(
)(
)
0 5
1 5
6 2
≥
−
−
=
+
−
x
x
x
x
( )
(
)
(
)
5 3
2 2
5 6
4 2
2
+
−
+
=
+
−
+
=
x
a
x
x
x
ax
x
f
, а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии
a
x
2 3
−
=
; б) при
(
)(
)
0 5
1
≤
−
− x
x
⇔
5 1
≤
≤ x
( )
(
)
(
)
5 3
2 2
5 6
4 2
2
−
+
+
−
=
+
−
−
=
x
a
x
x
x
ax
x
f
, а ее график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.
2. Если
a
2 3
−
принадлежит отрезку
[ ]
5
;
1
, то наименьшее значение функция может принимать только в конечных точках
1
=
x
и
5
=
x
. Если
[ ]
5
;
1 2
3
∉
− a
– то еще и в точке
a
x
2 3
−
=
3. Наименьшее значение функция
( )
x
f
больше – 24 тогда и только тогда, когда либо
[ ]
( )
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
>
−
>
∈
−
,
24 5
,
24 1
,
5
;
1 2
3
f
f
a
либо
[ ]
( )
( )
(
)
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
>
−
−
>
−
>
∉
−
24 2
3
,
24 5
,
24 1
,
5
;
1 2
3
a
f
f
f
a
Решим первую систему:
( )
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
>
−
>
≤
−
≤
,
24 5
,
24 1
,
5 2
3 1
f
f
a
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
>
−
>
≤
≤
−
,
24 20
,
24 4
,
1 1
a
a
a
1 1
≤
≤
−
a
Решим вторую систему:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
−
⎢
⎣
⎡
>
−
<
<
−
,
29 3
2
,
1 1
2
,
1
a
a
a
1 2
29 3
−
<
<
−
a
или
2 29 3
1
+
<
< a
Ответ:
2 29 3
2 29 3
+
<
<
−
a
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ 4
С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но решение недостаточно обосновано
3
С помощью верного рассуждения получен промежуток, содержащий верный ответ, либо содержащийся в верном промежутке
2
Задача сведена к исследованию взаимного расположения частей двух парабол
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
4

62
Задача 3.
Найдите все значения
a , при каждом из которых функция
2 2
( )
2 |
| 8
f x
x
x a
x
=
−
−
−
имеет более двух точек экстремума.
Решение.
1. Функция f имеет вид: а) при
2
x a
≥
:
2 2
( )
10 2
f x
x
x
a
=
−
+
, поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии
5
x
=
; б) при
2
x a
≤
:
2 2
( )
6 2
f x
x
x
a
=
−
−
, поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии
3
x
=
Все возможные виды графика функции
( )
f x показаны на рисунках:
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3 2. Графики обеих квадратичных функций проходят через точку
2 2
( ; ( ))
a f a
3. Функция
( )
y
f x
=
имеет более двух точек экстремума, а именно – три, в единственном случае (рис. 1):
2 3
5
a
< <
⇔
3 | | 5
a
<
<
Ответ:
5 <
3; 3 5
a
a
−
<
−
< <
Критерии оценивания выполнения задания С5, №3
Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 4
Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки
3
Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решений условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна
2
Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

63
Подчеркнем, что приведенный критерий на 3 балла формально содержит внутреннее противоречие: «Получен верный ответ…» не сочетается с «…либо содержит вычислительные ошибки». Более точно, имелось в виду следующее:
«Решение в целом верное, но: либо получен верный ответ, а обоснования имеют пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции); либо в обосновании пробелов нет, но ответ неверен из-за вычислительных ошибок».
Задача 4.
Найдите все значения параметра
a
, при каждом из которых система
2 4
9 20 0,
1,
2
y
xy
x
y
y ax
x
⎧
+
−
−
+
=
⎪
=
+
⎨
⎪ >
⎩
имеет единственное решение.
Решение. Преобразуем исходную систему
2
(
4)
9 20 0,
(
4)
(
4)(
5) 0,
(
4)(
5) 0,
1,
1,
1,
2 2
2
y
x y
y
y
x
y
y
y
x y
y ax
y ax
y ax
x
x
x
⎧ −
+
−
+
=
−
+
−
− =
−
+ − =
⎧
⎧
⎪
⎪
⎪
=
+
⇔
=
+
⇔
=
+
⎨
⎨
⎨
⎪
⎪
⎪
>
>
>
⎩
⎩
⎩
Уравнение (
4)(
5) 0
y
x y
−
+ − = задает пару пересекающихся прямых
4
y
= и
5
y
x
= − . Система
2,
(
4)(
5) 0
x
y
x y
>
⎧
⎨ −
+ − =
⎩
задает части этих прямых, расположенные правее прямой
2
x
= , т.е. лучи BD и CE (без точек
B
и C ), см. рис. Уравнение
1
y ax
=
+ задает прямую m с угловым коэффициентом a , проходящую через точку
(0;1)
A
. Следует найти все значения a , при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и
CE . а) Прямая
AB задается уравнением
1 5
,
1
+
=
x
y
. Поэтому при
1,5
a
≥
прямая m не пересечет ни луч BD , ни луч CE . б) Прямая AC задается уравнением
1
y x
= + . Поэтому при 1 1,5
a
≤ <
прямая
m пересечет луч BD , но не пересечет луч CE . в) При 0 1
a
< < прямая m пересечет и луч BD , и луч CE .

64
г) Наконец, при 1 0
a
− < ≤ прямая m пересечет только луч CE , а при
1
a
≤ − она не пересечет ни луч BD , ни луч CE .
Схема другого решения.
- В уравнение
2 4
9 20 0
y
xy
x
y
+
−
−
+
= подставить
1
y ax
=
+ ;
- Привести подобные, найти дискриминант и получить (
3)( (
1) 4) 0
ax
x a
−
+ −
= ;
- Рассмотреть все случаи расположения корней последнего уравнения относительно 2 и отобрать нужные.
Ответ. 1 0, 1 1,5
a
a
− < ≤
≤ <
Критерии оценивания выполнения задания С5, №4
Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
4
Решение в целом верное. Обоснованно найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность
3
Обоснованно найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность
2
Решение содержит:
- или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;
- или верное получение квадратного уравнения с параметром а
относительно одной из переменных
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Отметим еще одну особенность рассматриваемых заданий с параметром. Практика проверки реальных работ учеников показала, что правильно построенная и грамотно изображенная геометрическая модель задачи зачастую не только необходима, но и в определенном смысле достаточна для получения высокого балла при оценивании решения.
Например, если в предложенном выше способе решения задачи 4 оставить преобразования системы, рисунок в его имеющемся виде и сопроводить этот рисунок лишь кратким перечнем типа «
1,5
a
>
- 0 решений,
1 1,5
a
≤ <
- одно решение, ….,
1
a
≤ − - 0 решений», то меньше 3 баллов поставить будет невозможно.

65
Примеры оценивания заданий С5.
Пример 1.
Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 6
12 4,
1
x
y
x
y
a
⎧
−
+
−
=
⎪
⎨
⎪ +
+
=
⎩
имеет единственное решение.
Ответ: 11; 193 2
+ . (См. критерии задачи 1.)
Комментарий. Подход, как говорят, «в принципе» верен. Одно нужное значение параметра найдено верно и обоснованно (хорошо, что в ответе есть исправление). Так что по критериям менее 2 баллов - не поставить.
Нельзя поставить и более 2 баллов, так как не «…получены оба верных значения параметра…»
Оценка эксперта: 2 балла.

66
Пример 2.
Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 6
12 4,
1
x
y
x
y
a
⎧
−
+
−
=
⎪
⎨
⎪ +
+
=
⎩
имеет единственное решение.
Ответ: 11; 193 2
+ . (См. критерии задачи 1.)
Комментарий.
Имеется классическая ученическая ошибка с
«отбрасыванием» модуля. В итоге, хотя одно значение параметра, при котором происходит касание, и найдено верно, но это – именно то значение, которое не является верным из-за пропущенной второй окружности с центром (-6; 12).
Оценка эксперта: 0 баллов.

67
Пример 3.
Найдите все значения
a
, при каждом из которых наименьшее значение функции
( )
5 6
4 2
+
−
+
=
x
x
ax
x
f
больше, чем – 24.
Ответ:
2 29 3
2 29 3
+
<
<
−
a
. (См. критерии задачи 2.)
Комментарий. Получен верный ответ, но получен он не обоснованно! На формальном языке, утверждение
(
)
x A или B
∀
заменено утверждением
(
)
(
)
x A или
x B
∀
∀
, что является обычной, но весьма грубой логической ошибкой. Конкретнее, при решении неравенства (1) (или (2)) ошибка состоит в том, что рассматриваются
R
∈
x
, а нужно рассматривать x вне отрезка [1;5]
(или x в отрезке [1;5]). Значит, задача не «…сведена к исследованию взаимного расположения частей двух парабол…»
Оценка эксперта: 0 баллов.

68
Пример 4.
Найдите все значения
a
, при каждом из которых наименьшее значение функции
( )
5 6
4 2
+
−
+
=
x
x
ax
x
f
больше, чем – 24.
Ответ:
2 29 3
2 29 3
+
<
<
−
a
. (См. критерии задачи 2.)
Комментарий. Имеется арифметическая ошибка при делении на -4. Без нее ответ совпадал бы с верным ответом. Однако для обоснованного получения ответа не достаточно одного неравенства
24
верш
y
> −
. Кроме того, явно не хватает указания тех промежутков, где автор «раскрывает модуль» с плюсом или с минусом. С некоторой натяжкой, но задача «…сведена к исследованию взаимного расположения частей двух парабол…»
Оценка эксперта: 1 балл.

69
Пример 5. Найдите все значения
a
, при каждом из которых функция
2 2
( )
|
| 9
f x
x
x a
x
= − −
−
имеет более двух точек экстремума.
Ответ:
2 5
−
<
<
−
a
;
5 2
<
< a
. (См. критерии задачи 3.)
Комментарий.
Ответ верен с точностью до странности
4
и описки
2
−
, вместо
2 4
− = −
. В оригинале текста самое загадочное – это индексы у абсцисс вершин парабол. Фотоувеличение показывает, что это «extr» - экстремум. В остальном, - довольно ясно и прямо по критериям: «…Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции),…»
Оценка эксперта: 3 балла.

70
Пример 6. Найдите все значения
a
, при каждом из которых функция
2 2
( )
|
| 7
f x
x
x a
x
= − −
−
имеет более двух точек экстремума.
Ответ:
2 5
−
<
<
−
a
;
5 2
<
< a
. (См. критерии задачи 3.)
Комментарий.
Модули раскрыты верно, имеются верные эскизы графиков во всех трех случаях и указаны необходимые свойства функции, ответ верен.
Оценка эксперта: 4 балла.

71
Пример 7.
Найдите все значения параметра
a
, при каждом из которых система
2 4
9 20 0,
1,
2
y
xy
x
y
y ax
x
⎧
+
−
−
+
=
⎪
=
+
⎨
⎪ >
⎩
имеет единственное решение.
Ответ.
1 0, 1 1,5
a
a
− < ≤
≤ <
. (См. критерии задачи 4.)
Комментарий. Конец решения после вычисления дискриминанта полон крайне странными утверждениями, вроде «Система имеет одно решение, когда
2
(
3)
0
a
−
<
», рассмотрения (почему-то?)
2
a
=
или
2
x
=
и т.п. Т.е. тут – абсолютное непонимание ситуации. Но, тем не менее, до этого явно присутствует «…верное получение квадратного уравнения с параметром а относительно одной из переменных». Поэтому допустимо поставить 1 балл.
Оценка эксперта: 1 балл.

72
Пример 8.
Найдите все значения параметра
a
, при каждом из которых система
2 4
9 20 0,
1,
2
y
xy
x
y
y ax
x
⎧
+
−
−
+
=
⎪
=
+
⎨
⎪ >
⎩
имеет единственное решение.
Ответ.
1 0, 1 1,5
a
a
− < ≤
≤ <
. (См. критерии задачи 4.)

73
Продолжение примера 8.
Комментарий. Что-то разумное есть, а по виду ответа можно поставить и
2 балла. Есть одно серьезное «но». При решении рациональных неравенств автор «избавляется» от знаменателей, не обращая внимания на их знак.
Значит, ему просто повезло, что промежутки в его ответе имеют нужные концы. Найдены они необоснованно
Оценка эксперта: 1 балл.

74

перейти в каталог файлов