Методические рекомендации для экспертов. Методические рекомендации по оцениванию выполнения заданий егэ

§6. Задания с развернутым ответом повышенного уровня
сложности С6. Критерии проверки и оценки решений.
За 11 лет проведения ЕГЭ в нашей стране накопились различные статистические данные. Одним из самых устойчивых (11 раз проверенных на выборках почти из миллиона данных) показателей является процент решаемости (получение 4 или 3 баллов) последней по номеру задачи в вариантах КИМ. Этот процент ни по одному из вариантов КИМ никогда не превышал 2% и почти всегда был ниже 1%. В 2010 и 2011 гг. данные по С6 в целом по стране (июньский экзамен) выглядят так:
С6 0 баллов 1 балл 2 балла 3 балла 4 балла
2010 96,9 %
2,16 %
0,41 %
0,18 %
0,3 %
2011 95,64 2,5% 1,2% 0,38% 0,28%
Подчеркнем, что это нормальное положение дел. Последняя задача в
КИМ должна различить достижения выпускников, имеющих в целом самый высокий уровень подготовки. Процент ее решаемости и не должен превышать 1-2% по самому смыслу задания на этом месте.
С одной стороны, 1% - это всего один человек из, скажем, четырех выпускных классов конкретной школы. Но, с другой стороны, 0,5% от миллиона – это 5 тысяч человек, что с запасом перекрывает потребности всех элитных (по математике) вузов. Если увеличить 0,5%, скажем до 3%, то это уже 30 тысяч человек, у которых итоговые результаты по ЕГЭ будут в таком случае мало различимы. Другими словами, такое увеличение приведет к резкому снижению дифференцирующей составляющей КИМ на верхней границе шкалы распределения результатов.
Поэтому на часто задаваемые в качестве некоторых «обвинений» в адрес ЕГЭ вопросы типа «Как обычный ученик в среднем классе должен решать С6?» или «Как обычный школьный учитель должен организовать в своем классе подготовку к решению С6?», ответ один – «Систематические занятия математикой, начиная с 5 класса». Для сравнения, подставьте вместо «С6» в эти вопросы «вариант мехмата МГУ, матмеха ЛГУ, Физтеха и т.п». Ответ для такой подстановки представляется очевидным.
Содержательно, задание С6 проверяет в первую очередь не уровень математической (школьной) образованности, а уровень математической культуры. Вопрос формирования соответствующей культуры – вещь деликатная и, в целом, формируемая на протяжении нескольких лет.
В то же время, изменения в формате ЕГЭ связаны, в частности, с тем, что задание С6 по своему тематическому содержанию стало элементарнее, а для его решения, формально, достаточно простейших сведений типа
«сумма нечетного числа нечетных слагаемых нечетна». По этой причине, например, в ЕГЭ-2010 более 10% участников приступали к решению задания
С6: оно перестало отпугивать накрученностью своей формулировки. В ЕГЭ-

75 2011 к выполнению задания С6 приступало уже 12,7% участников. Грубо говоря, не очень подготовленный по синусам, логарифмам или технике дифференцирования ученик, обладающий нормальным здравым взглядом на вещи, достаточно спокойно может получить за С6 и 1 балл, и 2 балла.
В связи этим, хотелось бы подчеркнуть, что никаких фактов из теории чисел типа теоремы Вильсона, чисел Мерсенна, малой теоремы Ферма, теории сравнений и т.п. для решения заданий С6 не требуется. Тот, кто эти факты знает, разумеется, может их использовать, но, подчеркиваем, при решении всегда можно обойтись и без них.
В 2010 году критерии оценивания выполнения задания С6, в самых общих чертах, были приближены к традиционно сложившейся системе оценивания олимпиадных задач. А именно, обоснованное получение верного ответа, то есть получение оценки «+» в олимпиадной терминологии, соответствует получению 4 баллов. Выставление 3 баллов за решение задания С6 примерно соответствует олимпиадным оценкам «
( )
+
−
» или «
+
i
», которые традиционно описываются словами «задача решена, но имеются мелкие замечания к решению». Двигаясь далее, количественные оценки в
2 балла и в 1 балл были аналогами качественных олимпиадных оценок «
±
» и «
∓
», которые довольно часто в словесной форме объясняют так: «имеется значительное продвижение в решении, но полное решение требует привлечения других идей» и «задача не решена, но подход к решению верен и некоторые частные случаи разобраны верно».
Конкретная трактовка описанного соответствия зависела от конкретной задачи.
Задача 1 (ЕГЭ-2010).
Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают.
Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Решение
.
1. Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна
2 7 13 21
(2 7)(13 21)
6 9
27 153 4131 2
2
+
+
⎛
⎞ ⎛
⎞
+…+
+…+
=
⋅ ⋅
⋅
=
⋅
=
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
2. Так как сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней – нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведений, которая получится при раскрытии следующих скобок:
( 2 3 4 5 6 7)( 13 14 15 16 17 18 19 20 21) 1 1 1
− + − + + −
− − − − +
− +
+
+
= ⋅ =
Ответ: 1 и 4131.

76
Содержание критерия, задача №1
Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 4
Ответ правилен, но недостаточно обоснован (например, не доказано, что либо сумма отлична от 0, либо что она может быть равна 1)
3
Верно найдено наибольшее значение суммы и доказано, что она всегда отлична от 0 2
Верно найдено только наибольшее значение суммы или только доказано, что она всегда отлична от 0 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Следующий пример взят из диагностических работ марта 2011 г., а его решение – более краткое, чем это было предложено в критериях проверки этой диагностической работы.
Задача 2.
Решите в натуральных числах уравнение
(
)
1
! 5 30 11
k
n
n
k
+
− =
+
. (Для
натурального
n
символом
!
n
обозначается
произведение
1 2 3 ... (
1)
n
n
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
.)
Решение.
Если
1
n
=
, то левая часть равна нулю, а правая – нет. Если
n
четно, то левая часть четна, а правая – нет. Если
n
кратно 3, то левая часть кратна 3, а правая – нет. Если
5
n
≥
, то
!
n
кратно 5и поэтому
1
k
n
+
кратно 5, т.е. и
n
кратно 5. Если
10,15, 20, 25,...
n
=
, то левая часть кратна 25, а правая – нет.
Значит,
5
n
=
и получается уравнение
1 1
5 150 175,
5 6
7
k
k
k
k
+
−
=
+
=
+
Подстановкой проверяем, что при
1,
2
k
k
=
=
левая часть меньше правой и что
3
k
=
является корнем уравнения. Если
4
k
=
, то
1 5
125 6
7 31
k
k
−
=
>
+ =
. При каждом последующем увеличении
k
на 1 левая часть
1 5
k
−
будет возрастать в
пять раз, а правая часть
6 7
k
+
будет возрастать на 6. Значит, при
3
k
>
верно неравенство
1 5
6 7
k
k
−
>
+
Ответ:
5,
3
n
k
=
=
Содержание критерия, задача №2
Баллы
Обоснованно получены верные значения
n
и
k
4
Обоснованно найдено верное значение
n
; подбором найдено
k
, однако доказательство отсутствия больших значений
k
отсутствует или содержит ошибку
3
Обоснованно найдено верное значение
n
, однако значение
k
не найдено, найдено неверно или ответ содержит лишние значения
k
2
Имеется верный ответ, найденный подбором или с помощью неполных рассуждений. Обоснование единственности
n
отсутствует, приведено не полностью или содержит ошибку
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
4

77
Задача 3 (ЕГЭ-2011).
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами.
Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024. а) Может ли последовательность состоять из двух членов? б) Может ли последовательность состоять из трёх членов? в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Решение.
а) Если последовательность состоит из двух членов,
a
и
10a
(в произвольном порядке), то
10 3024.
a
a
+
=
Уравнение
11 3024
a
=
не имеет решений в натуральных числах. Поэтому последовательность не может состоять из двух членов. б) Последовательность может состоять из трёх членов: 252, 2520, 252. в (пример) Приведём пример последовательности из 549 членов:
2 2
2 274 10, 1, 10, 1, 10,
, 1, 10.
…
Сумма её членов равна
10 11 274 3024
+ ⋅
=
в(оценка) Допустим, что в последовательности более чем 549 членов.
Разобьём первые 550 членов последовательности на 275 пар соседних членов: первый и второй, третий и четвёртый, пятый и шестой и т.д. Сумма двух членов в каждой паре делится на 11 и поэтому не меньше 11. Значит, сумма всех членов последовательности не меньше, чем
275 11 3025 3024
⋅ =
>
Противоречие.
Ответ: а) нет, б) да, в) 549.
Содержание критерия, задача №3
Баллы
Верно выполнены: а), б), в(пример), в(оценка)
4
Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), в(пример), в(оценка)
3
Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), в(пример), в(оценка)
2
Верно выполнен один пункт из четырёх: а), б), в(пример), в(оценка) 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
4
Задача 4 (ЕГЭ-2011).
На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно
5
−
, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно
18
−
а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение.

78
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и
m
нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому
(
)
9 18 0
5
k
l
m
k l m
−
+ ⋅ = −
+ +
а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 9, поэтому
k l m
+ + — количество целых чисел — делится на 9. По условию
27 45
k l m
< + + <
, поэтому
36
k l m
+ + =
. Таким образом, написано 36 чисел. б) Приведём равенство
(
)
9 18 5
k
l
k l m
−
= −
+ +
к виду 13 14 5
l
k
m
=
+
. Так как
0
m
≥ , получаем, что 13 14
l
k
≥
, откуда l k
> . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных. в(оценка) Подставим
36
k l m
+ + =
в правую часть равенства
(
)
9 18 5
k
l
k l m
−
= −
+ +
: 9 18 180
k
l
−
= −
, откуда
2 20
k
l
=
−
. Так как
36
k l
+ ≤
, получаем: 3 20 36,
l
−
≤
3 56,
l
≤
18,
l
≤
2 20 16;
k
l
=
−
≤
то есть положительных чисел не более 16. в(пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 16.
Пусть на доске 16 раз написано число 9, 18 раз написано число 18
− и два раза написан 0. Тогда
9 16 18 18 144 324 5
36 36
⋅ − ⋅
−
=
= −
, указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: а) 36; б) отрицательных; в) 16.
Содержание критерия, задача №3
Баллы
Верно выполнены: а), б), в(пример), в(оценка)
4
Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), в(пример), в(оценка)
3
Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), в(пример), в(оценка)
2
Верно выполнен один пункт из четырёх: а), б), в(пример), в(оценка) 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
4
Ниже будут рассмотрены решения задач 1-4 и использоваться приведенные критерии. Как видно, критерии в 2011 г. стали структурно более формализованными. Их текст практически никак не использует тематическую или содержательную фабулу конкретной задачи. Такие изменения были предприняты для большей согласованности и унификации выставляемых экспертами оценок. Дело в том, что, как показала практика работы региональных комиссий, "олимпиадный" подход, ориентированный на шкалу оценок типа «+», «
±
», «
∓
» и «-«, приводил к заметной неопределенности и излишнему разбросу в интерпретации того, что такое, скажем, «задача не решена, но подход к решению верен и некоторые частные случаи разобраны верно».
В ЕГЭ-2012 в основном также будут использованы именно жестко структурированные по пунктам задачи критерии.

79
Примеры оценивания заданий С6.
Пример 1
Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают.
Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Ответ: 1 и 4131. (См. критерии задачи 1.)
Комментарий.
Ситуация понятная. Решение, пожалуй, даже более ясное, чем приведенное выше. В нем конкретно указано и общее число (54) произведений, и число
(15) нечетных произведений. Формально, выписанный ответ не совпадает с верным ответом. Но верный ответ обоснованно получен строчкой ранее.
Оценка эксперта: 4 балла.

80
Пример 2.
Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают.
Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Ответ: 1 и 4131. (См. критерии задачи 1.)

81
Продолжение примера 2.
Комментарий. У автора все замечательно обстоит с креативностью (задача по существу решена), с развернутым, ясным и грамотным изложением всех своих рассуждений. Но вот вычисления вызывают осложнения: наибольшая сумма вычислялась дважды и оба раза неверно.
Оценка эксперта: 3 балла.

82
Пример 3.
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами.
Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024. а) Может ли последовательность состоять из двух членов? б) Может ли последовательность состоять из трёх членов? в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Ответ: а) нет, б) да, в) 549. (См. критерии задачи 3.)
Комментарий.
Пример того, как структурирование условия задачи по пунктам однозначно позволяет оценить работу: и в пункте а, и в пункте б ответы верны, и обоснованы, а больше нечего в решении нет.
Оценка эксперта: 2 балла.

83
Пример 4.
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами.
Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024. а) Может ли последовательность состоять из двух членов? б) Может ли последовательность состоять из трёх членов? в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Ответ: а) нет, б) да, в) 549. (См. критерии задачи 3.)

84
Продолжение примера 4.
Комментарий. Попробуем ровно по критериям. «Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), в(пример), в(оценка)»? Да, в тексте можно отыскать и верный ответ 549, и конструкцию примера: 10, 1, 10, 1, …, 10, 1, 10. Значит,
3 балла есть, а 4 балла поставить невозможно, так как нет никакого обоснования того, что более 549 членов последовательность содержать не может.
Оценка эксперта: 3 балла.

85
Пример 5.
Решите в натуральных числах уравнение
(
)
1
! 5 30 11
k
n
n
k
+
− =
+
. (Для
натурального
n
символом
!
n
обозначается
произведение
1 2 3 ... (
1)
n
n
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
.)
Ответ:
5,
3
n
k
=
=
. (См. критерии задачи 2.)
Комментарий. Верный ответ получен перебором
1,2,3,4,5
n
=
и подбором
3
k
=
. Почему в случае «иначе»
n
кратно 5 и почему
{7;11}
h
∈
осталось неясным.
Оценка эксперта: 1 балл.

86
Пример 6.
Решите в натуральных числах уравнение
(
)
1
! 5 30 11
k
n
n
k
+
− =
+
. (Для
натурального
n
символом
!
n
обозначается
произведение
1 2 3 ... (
1)
n
n
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
.)
Ответ:
5,
3
n
k
=
=
. (См. критерии задачи 2.)

87
Продолжение примера 6.
Оценка эксперта: 4 балла.

88
Пример 7.
На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно
5
−
, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно
18
−
а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Ответ: а) 36; б) отрицательных; в) 16. (См. критерии задачи 4.)
Комментарий. Сложный случай. Формально, первое же равенство неверно.
Но из этого равенства ясно, что имеет место описка:
j
−
кол-во нулевых чисел. Тогда далее – почти всё верно! Только почему-то в тексте есть слова
«…пол. больше», хотя в ответе верно указано, что больше отрицательных.
Утверждение про «бессмысленно брать
j
меньше 2» не обосновано.
Оценка эксперта: 3 балла.

89
Пример 8.
На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно
5
−
, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно
18
−
а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Ответ: а) 36; б) отрицательных; в) 16. (См. критерии задачи 4.)

90 90
Продолжение примера 8.
Комментарий. Обоснованно получен верный ответ только в пункте а и
только в случае отсутствия нулей среди данных чисел. Формально, это
0 баллов, но решение пункта а для произвольного случая ничем не отличается от приведенного.
Оценка эксперта: 1 балл.

1   2   3   4