Глава 4. Методология поисковой деятельности .................... 185
5
ВВЕДЕНИЕ Модернизация экономики страны предполагает не только использование новых технологий в промышленности, применение новых открытий науки в производстве, но и перестройку подготовки кадров.
Важным направлением модернизации образования является повышения уровня профильного обучения и элективных курсов в системе школьного образования. Задача элективных курсов по математике и информатике — познакомить с новыми и интересными моделями геометрии окружающей среды и создать мотивацию к самостоятельному моделированию при решении задач.
Математическое и компьютерное моделирование в разрабатываемом проекте формируют научный метод познания и включают учащегося в выстраивание индивидуального пути развития.
Одаренные дети нуждаются в развитии самостоятельности, самодисциплины и самоуправления. Большой спектр проектов, представленных в данном пособии, будет способствовать развитию интереса и формированию необходимых качеств поисковой работы.
В третьей части пособия предложен материал для
элективного курса по математике и информатике, а также включены методические материалы по формированию поисковой деятельности.
Элективный курс, представленный в главах 1, 2 этого пособия, посвящен трансформации геометрических объектов. Переход от развертки к многограннику и наоборот позволяет исследовать модель в движении, в динамике. Демонстрационные модели можно использовать в элективных курсах в профильной школе, а также для подготовки учителей математики и информатики.
Глава 3 содержит методические рекомендации к проведению элективных курсов. В главе 4 представлены некоторые приемы формирования поисковой деятельности по математике и информатике. Подробно рассматриваются преобразования и трансформации исходной проблемной ситуации, приводящие к решению поставленной задачи. В главах 3—4 наряду с методологией содержится много разнообразных небольших тем с интересным содержанием для исследования. В пособии выделены установки на формирование навыков поисковой деятельности в области математики, информатики и географии (выстраивание аналогий,
9
§ 1. Простейшие задачи на перегибание листа бумаги 1.1. Из листа бумаги произвольной формы можно перегибанием легко получить полосу бумаги с двумя параллельными краями. Сгибаем лист по прямой
а и разгибаем его (рис. 1). Аналогично сгибаем и разгибаем по прямым
b и
с (рис. 2).
Следовательно, из листа произвольной формы можно получить прямоугольник. Даже из таких «монстров», какие представлены на рис. 3 и 4, можно получить прямоугольник небольшого размера, но лучше выбирать лист бумаги естественной формы.
1.2. Постройте перегибанием квадрат из прямоугольника.
1.3. Из длинной и узкой полоски бумаги с параллельными краями сложите уголок (рис. 5).
1.4. Из длинной и узкой полоски бумаги с
параллельными краями сложите кольцо, изображенное на рис. 6.
1.5. Из длинной и узкой полоски бумаги с параллельными краями сложите кольцо, изображенное на рис. 7.
1.6. Из листа бумаги вырезан угол
АОВ. Постройте перегибанием биссектрису этого угла.
Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7 а Рис. 4 Рис. 3 Рис. 1 Рис. 2 c а b
10
1.7. Из листа бумаги вырезан треугольник АВС. Постройте медианы этого треугольника. Как построить центр тяжести треугольника?
1.8. Из листа бумаги вырезан треугольник АВС. Постройте биссектрисы этого треугольника. Как построить центр окружности, вписанной в данный треугольник?
1.9. Из листа бумаги вырезан остроугольный треугольник
АВС. Постройте высоты этого треугольника. Как построить ортоцентр данного треугольника, т.е. точку пересечения высот треугольника?
1.10. На листе бумаги построена перегибанием прямая и отмечена точка А, не принадлежащая прямой. С помощью перегибаний постройте прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой.
1.11. Из листа бумаги вырезан треугольник АВС. Постройте центр окружности, описанной около данного треугольника, т.е. точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам данного треугольника.
1.12. Как с помощью перегибаний листа бумаги провести прямую, параллельную данной прямой и проходящую через данную точку?
1.13. На лист бумаги положили крышку для консервирования продуктов и обвели контур, т.е. провели окружность. Как с помощью перегибаний найти центр окружности?
1.14. Из бумажного квадрата двумя сгибаниями получите равнобедренный треугольник. Можно ли одним сгибанием получить равнобедренный треугольник из квадрата?
1.15. Дан отрезок на листе бумаги. Постройте квадрат, для которого этот отрезок является диагональю.
Рассмотрим компьютерные аналоги некоторых задач.
Пример 1. На экране компьютера дан отрезок АВ. Разделите его пополам.
11
Решение.
Первый способ. Построим произвольный отрезок
АС (рис. 8).
Скопируем его и отложим копию от точки
С. Чтобы точка
С была четко видна на экране компьютера, предварительно на ней разместим маленький круг. Итак, отрезок
CD равен отрезку
АС. Построим отрезок
DB. Копируем его и
параллельным переносом размещаем на экране так, чтобы копия прошла через точку
С.
Прямая
СМ содержит среднюю линию треугольника
ABD, поэтому точка
М является серединой отрезка.
Второй способ. На отрезке
АВ или параллельно ему, но вблизи его строим два равных вспомогательных отрезка
EC и
CD (рис. 9).
Концевые точки можно отметить маленькими кругами или изобразить отрезки линиями разной ширины, чтобы четко различать их концевые точки. Группируем вспомогательные отрезки и растягиваем сгруппированные отрезки таким образом, чтобы отрезок
ED оказался равным отрезку
АВ (рис. 10). Точка
С окажется в середине отрезка.
Третий способ. В чем недостаток предыдущих способов?
Нужно строить метки, чтобы отделить копию от вспомогательного отрезка. А нельзя ли развести вспомогательные равные отрезки в разные места. На рис. 11 предложен более простой способ, уменьшающий число шагов при построении середины.
А В Рис. 10 А Рис. 9 А В E D C В M С D M Рис. 8
12
Четвертый способ. Строим окружность с двумя диаметрами, чтобы определить центр окружности.
Группируем окружности и диаметры. Радиус окружности должен быть больше половины искомого отрезка АВ. Копируем эту конструкцию и переносим окружности так, чтобы центры окружностей оказались в концевых точках отрезка. Через точки пересечения окружностей проводим отрезок, который является серединным перпендикуляром к данному отрезку.
Все эти способы направлены на построение вспомогательной фигуры, содержащей середину отрезка, а потом некоторого способа переноса середины фигуры на середину отрезка. А разве редактор рисования не содержит шаблонных фигур с серединой отрезка? Пока мы не переформулировали свою задачу на языке
А
В
Рис. 12
Рис. 11
А
В
M
13 общих операций, мы стремились выстроить конкретную последовательность операций и могли привести еще несколько способов.
А если проанализировать спектр основных фигур, то появляется более простой способ построения середины отрезка с использованием новых фигур.
Пятый способ. В редакторе рисования находим Автофигуры,
Блок-схема, Блок-схема: или и рисуем окружность с диаметрами. Середина диаметра на фигуре отмечена, и это сокращает число необходимых операций по сравнению с четвертым способом.
Переносим окружность так, чтобы конец одного диаметра совпал с концевой точкой данного отрезка. Свободным вращением поворачивает окружность, чтобы один из диаметров оказался на прямой АВ (рис. 13). Применяем растяжение окружности, чтобы один из диаметров совпал с отрезком АВ, тогда центр новой окружности окажется в середине отрезка.
Шестой способ. Найдите в редакторе рисования другие фигуры, содержащие отрезок с его серединой, и опишите новый способ построения середины отрезка.
Седьмой способ. Если отрезок не является горизонтальным или вертикальным (рис. 15), то, используя шаблон, строим прямоугольник, для которого данный отрезок является диагональю
(рис. 16). Проводим вторую диагональ прямоугольника (рис. 17).
Точка пересечения диагоналей является серединой данного отрезка. Поясните аналогичные построения, если данный отрезок является горизонтальным или вертикальным.
Рис. 13
А
В
M
А
В
Рис. 14
14
1.16. На экране компьютера дан треугольник. Укажите наиболее простой способ построения центра тяжести треугольника.
Пример 2. На экране компьютера даны отрезок АВ и точка С.
Постройте отрезок, проходящий через точку С и перпендикулярный отрезку АВ.
Решение.
Первый способ. Строим произвольный квадрат, затем свободным вращение переводим его в положение, чтобы одна сторона оказалась на прямой АВ (рис. 18).
Передвигая по прямой АВ, переводим его в положение, чтобы одна сторона оказалась в данной точке (рис. 19). Проводим отрезок по этой стороне квадрата через точку С. Этот способ требует кропотливой работы по установке квадрата одной стороной на данном отрезке.
Второй способ. Используя шаблон, построим две равных окружности с центрами на данном отрезке так, чтобы они проходили через данную точку (рис. 20). Проведем прямую через точки пересечения окружностей.
Рис. 18
А
В
С
Рис. 19
А
В
С
Рис. 20
А
В
С
Рис. 15
А
В
Рис. 16
А
В
Рис. 17
О
А
В
15
Третий способ. Копируем данный отрезок, поворачиваем копию на 90 0
и переносим повернутый отрезок в точку С.
1.17. На экране компьютера дан треугольник АВС. Укажите наиболее простой способ построения точки пересечения высот треугольника.
Пример 3. На экране компьютера дан угол АОВ. Постройте биссектрису этого угла.
Первый способ. Построение. Используя шаблон, строим окружность с диаметрами. Свободным вращением устанавливаем радиус окружности на сторону угла так, чтобы центр окружности совпал с вершиной угла
(рис. 21). Пусть D — диаметрально противоположная точка к точке А. Проведем отрезок DB, тогда
ODB
— равнобедренный. Угол AOB является внешним углом для треугольника
ODB
, поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с углом AOB . Угол ODB в два раза меньше, чем угол AOB . Копируем отрезок DB и проводим копию через точку О. Угол AOK — искомый.
Второй способ. Используя шаблон
Блок-схема: сортировка, строим ромб с диагональю (рис. 22). Сжимая ромб и поворачивая его, устанавливаем так, чтобы вершина ромба совпала с вершиной данного угла, а две смежных стороны ромба находились на сторонах угла. Отрезок вдоль диагонали ромба является биссектрисой угла.
1.18. На экране компьютера дан треугольник АВС. Укажите наиболее простой способ построения центра окружности, вписанной в треугольник.
О
А
В
D
K
Рис. 21
О
А
В
K
Рис. 22
16
§ 2. Деление листа на равное число частей
а) Деление квадратного листа бумаги на 3 части.
Отметим середину M отрезка DС. Перегнем квадрат таким образом по прямой (рис. 1), чтобы точка В перешла в точку М. Отрезок АВ примет положение А
1
М. Пусть
1
N
AD
A M , тогда точка N делит отрезок AD в отношении 1:2 (рис. 2).
Доказательство (рис. 3).
CBM
BKQ
QKM ,
1 2
tg
,
2 2
4 2
1 3
tg
tg
tg
,
2
BKN
NMD
,
2
ND
DM tg
,
2 3
ND
,
:
1: 2
AN ND
Далее строим прямую через точу N параллельно стороне АВ методом сгибания квадратного листа.
A
N
C
D
B
M
Рис. 3
2
K
R
Q
F
Рис. 2
A
C
D
B
M
Рис. 1
A
C
D
B
M
A
1
N
17
б) Деление квадратного листа бумаги на 5 частей.
Отметим середину M отрезка ВС (рис. 4). При перегибании квадрата по прямой AM точка В перейдет в точку В
1
, проекция которой на отрезок DC разделит этот отрезок в отношении 3:2, а проекция на отрезок ВС разделит этот отрезок в отношении 4:1
(рис. 5).
Доказательство.
Первый способ. Из треугольника ABM (рис. 6) получаем
5 2
AM
,
2
cos
5
,
1
sin
5
,
1 2
1
cos
2 5
5
BH
BM
,
1 2
2
cos
5 5
5
NH
BH
,
1 1
1
sin
5 5
5
NB
BH
Точка H является серединой отрезка ВВ
1
, поэтому
1 3 4
;
5 5
B
.
A
B
C
D
B
1
H
N
R
M
Рис. 6
A
B
C
D
M
B
1
Рис. 4
A
B
C
D
B
1
Рис. 5
M
18
Второй
способ.
1 2
BAB
,
3 4
cos 2
,
sin 2 5
5 1
3
cos 2
cos 2 5
AR
AB
AB
1 1
4
sin 2
sin 2 5
RB
AB
AB
.
в) Деление квадратного листа бумаги на 7 частей.
Пусть точка M делит отрезок DС в отношении 3:2 (рис. 7).
Перегнем квадрат так, чтобы точка В перешла в точку М, тогда
RQ — линия сгиба, а точка А перейдет в точку А
1
(рис. 8). Если
1
AD
A M
N , то точка N делит отрезок AD в отношении 3:4.
Доказательство (рис. 9).
CBM
BKQ
QKM ,
2 5
tg
,
20 2
21
tg
,
2
BKN
NMD
,
2
ND
DM tg
,
4 7
ND
,
:
3 : 4
AN ND
Аналитический метод. Пусть начало декартовой системы координат совпадает с вершиной А квадрата, а оси координат Ох,
Оу направлены, соответственно, по сторонам AB, AD квадрата.
A
1
Рис. 9
R
A
B
C
D
M
Q
N
K
2
A
B
C
D
Рис. 7
M
R
Q
A
1
A
B
C
D
Рис. 8
M
R
Q
N
19
Координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки
М
0
(х
0
; у
0
) на прямую ах + by + c = 0:
0 0
0 2
2
,
ax
by
c
x
x
a
a
b
0 0
0 2
2
ax
by
c
y
y
b
a
b
Проверьте подстановкой, что точка М
0
(х
0
; у
0
) принадлежит прямой ах + by + c = 0.
Координаты точки, симметричной точке М
0
(х
0
; у
0
) относительно прямой ах + by + c = 0:
0 0
0 0
0 0
2 2
2 2
2
,
2
ax
by
c
ax
by
c
x
x
a
y
y
b
a
b
a
b
(1)
Для рисунка 6 угловой коэффициент прямой АМ равен 1/2, поэтому прямая линия имеет уравнение
2 0
x
y
При симметрии относительно прямой АМ точка В отображается в точку В
1
. Подставляя координаты точки В в уравнения (1), получаем
1 3 4
;
5 5
B
Для рис. 3 угловой коэффициент прямой RQ равен 1/2, поэтому прямая RQ имеет уравнение
2 0
x
y c
, где с — неизвестная пока константа. Прямая проходит через середину F отрезка ВМ.
Для середины отрезка ВМ получаем координаты
3 1
;
4 2
F
. Используя координаты точки для определения константы, получаем уравнение прямой
1
:
2 0
4
RQ
x
y
Точка
0
(0;
)
N
y при симметрии относительно прямой RQ отображается в точку на оси ох, поэтому, подставляя в равенство
0 0
2 2
0 0
2
a
by
c
y
b
a
b
коэффициенты уравнения прямой RQ, определяем значение
0 1/ 3
y
20
г) Деление отрезка на 3 равные части.
Первый способ. Идея способа деления отрезка АВ на 3 равные части основана на использовании подобных треугольников и следует из рис. 10.
Пусть АВС и АОВ — равнобедренные прямоугольные треугольники, тогда
2
BC
HO
,
2
BK
BC
KH
HO
,
2
BK
KH
,
2
AK
KB
Конструктивные построения на листе бумаги.
Перегибая лист бумаги, проводим прямые, перпендикулярные отрезку
АВ (рис. 11).
Перегибая верхнюю часть полосы, получаем точку С (рис. 12).
Аналогично перегибая дважды нижнюю часть полосы, получим точку О. Затем необходимо выполнить изгибание по отрезку ОС.
Второй способ. Идея способа деления отрезка АВ на 3 равные части основана на использовании подобных треугольников и следует из рис. 13.
O
A
B
C
H
K
Рис. 10
Рис. 12
A
B
С
Рис. 11
A
B
21
На отрезке АВ перегибанием листа строим квадрат ABCD
Находим середину диагонали АС, т.е. точку О.
Строим середину отрезка АО, т.е. точку K.
Перегибаем квадрат по прямой
DK
, тогда точка пересечения прямых DK и АВ, т.е. точка M, делит отрезок АВ в отношении 1:2.
Действительно,
1 3
AM
AK
DC
KC
,
1 2
AM
MB
д) Деление отрезка на 5 равных частей.
Перегибанием листа строим квадрат ACBD , для которого отрезок АВ является диагональю (рис. 14).
Разделив сторону AD на четыре части, отмечаем точку K.
Перегибаем квадрат по прямой CK , тогда точка пересечения прямых CK и АВ, т.е. точка M, делит отрезок АВ в отношении 1:5.
Действительно,
1 4
AM
AK
MB
CB
,
1 5
AM
AB .
Рис. 13
A
B
C
D
K
M
O
D
K
A
B
C
M
Рис. 14
22