2.Геометрия в неогеметрических задачах. Задачах Электронное издание Издательство мцнмо москва, 2016

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   18

А. Д. Блинков
Геометрия в негеометрических
задачах
Электронное издание
Издательство МЦНМО
Москва, 2016

УДК 51(07)
ББК 22.1
Б69
Блинков А. Д.
Геометрия в негеометрических задачах
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2016 155 с.
ISBN 978-5-4439-3031-2
Пятнадцатая книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена геометрическим методам решения различных задач и предназначена для занятий со школьниками 6—
11 классов. В неё вошли разработки девяти занятий математического кружка с подробно разобранными примерами различной сложности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для учителя.
В конце книги приведены дополнительные задачи и их решения, обширный список использованной литературы, а также список источников, содержащих более сложный материал.
Для удобства использования заключительная часть книжки,
как всегда, сделана в виде раздаточных материалов. Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов,
а также всем любителям математики.
Подготовлено на основе книги: А. Д. Блинков. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — 160 с. —
ISBN 978-5-4439-1031-4.
Издательство Московского центра непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499) 241–08–04.
https://www.mccme.ru
ISBN 978-5-4439-3031-2
© Блинков А. Д., 2016.
© МЦНМО, 2016.

Предисловие
Обратиться к заявленной теме автора побудила не только любовь к школьной геометрии и наличие давно собираемой большой коллекции задач, допускающих геометрические методы решения (часть из которых были известны автору еще до того, как они были опубликованы в тех или иных книгах для учителя). Исходя из многолетнего опыта работы со школьниками, следует отметить, что многие школьники воспринимают школьные курсы алгебры и геометрии (а впоследствии и раздел тригонометрии) как совершенно независимые, в то время как они (и не только они)
являются частью одной науки — математики. Вместе с тем наиболее красивые, а часто и наиболее рациональные решения многих задач возникают, если привлекать методы из других разделов математики. В частности, очень мощным является «геометрический подход» к решению некоторых задач, условие которых сформулировано на языке арифметики, алгебры, комбинаторики, тригонометрии или математического анализа. Это объясняется прежде всего тем,
что геометрия — наиболее наглядный раздел математики.
Использование геометрических способов решения задач в каком-то смысле «возвращает» нас к математикам древности, которые большинство математических объектов и операций воспринимали с точки зрения геометрии.
В этой книжке серии «Школьные математические кружки», посвященной геометрическому решению негеометрических задач, сделана попытка продемонстрировать, каким образом можно перевести условие задачи на язык геометрии, после чего показать красоту и эффективность геометрического метода ее решения. Книжка содержит девять занятий математического кружка. В материалы каждого занятия входят: вступительный и поясняющий текст учите3

ля, включающий в себя несколько подробно разобранных типовых задач по теме; упражнения и задачи, которые могут быть предложены учащимся для самостоятельного решения (как на занятии, так и дома); подробные решения этих задач; методические комментарии для учителя, отмеченные чертой на полях. Многие из предлагаемых задач имеют и другие, не геометрические решения, которые сознательно оставлены за рамками этого издания.
В конце книги приведены дополнительные задачи различного уровня трудности, часть из которых в какой-то степени дублирует задачи, предложенные для занятий, а часть дополняет их новыми идеями (наиболее сложные задачи отмечены знаком *). Эти задачи можно использовать на усмотрение преподавателя (или обучающегося). Для них также, как правило, приведены подробные решения
(в наиболее простых случаях — ответы и указания). Для удобства в конце каждого занятия приведен список задач из этого раздела, которые имеет смысл использовать для закрепления материала, контроля его освоения и более глубокого изучения. Следует учесть, что есть задачи, которые отнесены к нескольким занятиям (поскольку допускают различные подходы). Несколько задач (Д61—Д63 и в какой-то мере Д59 и Д60) трудно отнести к какому-то из занятий, но их решение позволяет расширить область применения геометрических методов.
Разбиение материала на занятия носит в какой-то степени условный характер: в одних случаях тема занятия соответствует тому или иному разделу математики, а в других случаях отражает тот или иной «подход» к решению задач.
Отметим, что за рамками книжки остались задачи на геометрическое суммирование, а также геометрический подход к задачам на переливание, так как эти темы многократно и достаточно полно излагаются в других источниках. Кроме того, в нее не включен раздел, связанный с геометрическими иллюстрациями к доказательству ряда простых алгебраических соотношений и к реализации некоторых числовых алгоритмов.
4

Читатели, которых заинтересует этот и сопутствующий ему материал, могут найти его в источниках, указанных во второй части списка литературы (раздел «Дополнительная литература»).
Приведем краткое содержание занятий.
Занятие 1. Расстояния на прямой и не только. Занятие доступно учащимся 6—7 классов. Посвящено геометрическому подходу к алгебраическим и комбинаторным задачам, связанным с модулем числа.
Занятие 2. Расстояния на координатной плоскости. Занятие ориентировано на учащихся 8—9 классов. Посвящено использованию декартовой системы координат для решения некоторых уравнений, систем уравнений, задач на наибольшее и наименьшее значения. Идейно продолжает линию, намеченную в занятии 1.
Занятие 3. Задачи на движение. Занятие ориентировано на учащихся 8—9 классов. Посвящено графическим и геометрическим методам решения текстовых задач, связанных, как правило, с равномерным движением нескольких объектов.
Занятие 4. Используем метрические теоремы геометрии.
Занятие ориентировано на учащихся 9 классов. Посвящено решению уравнений, систем уравнений и задач на наибольшее и наименьшее значения с помощью теоремы Пифагора,
теорем синусов и косинусов, формул для вычисления площадей.
Занятие 5. Тригонометрия. Занятие ориентировано на учащихся 9—10 классов. Рассматриваются тригонометрические формулы, тождества и неравенства, которые можно доказать геометрическими методами. С помощью геометрии вычисляются значения ряда тригонометрических выражений.
Занятие 6. Используем векторы. Занятие ориентировано на учащихся 9—10 классов. Посвящено применению векторов на плоскости к решению ряда задач, которые традиционно относят к алгебраическим или тригонометрическим.
Занятие 7. Обратные тригонометрические функции.
Занятие ориентировано на учащихся 10 классов. Рассмат5

риваются геометрические методы вычислений значения выражений, доказательства тождеств и решения уравнений, связанных с обратными тригонометрическими функциями.
Занятие 8. Расстояния и векторы в пространстве. Занятие ориентировано на учащихся 10—11 классов. Посвящено различным задачам, условие которых можно интерпретировать с помощью расстояний в декартовой системе координат в пространстве, а также задачам, решение которых эффективно использует векторы в пространстве. Продолжает линии, намеченные в занятиях 2 и 6.
Занятие 9. Геометрический смысл интеграла. Занятие ориентировано на учащихся 11 классов. Рассматриваются геометрические методы вычисления определенных интегралов, геометрические интерпретации некоторых свойств определенных интегралов и другие задачи, связанные с интегралами и допускающие геометрический подход.
Понятно, что преподаватель математического кружка
(или учитель на уроках и факультативных занятиях) может по своему усмотрению использовать только часть предложенных занятий, использовать эти занятия для более старших школьников, поменять порядок их изучения и т. д.
Выражаю благодарность всем авторам книг и статей,
указанных в списке использованной литературы, а также авторам всех использованных в книжке задач (многих из которых установить, к сожалению, не удалось). Отдельно хочется отметить книги [6] и [12], в которых есть большие подборки задач по данной тематике.
Автор благодарен А. В. Шаповалову, который оказал существенное влияние на концепцию книги и помог улучшить ее текст, Е. О. Акилбаевой, Е. В. Бакаеву, Д. В. Прокопенко и Г. Б. Филипповскому, которые пополнили имеющуюся коллекцию задач и предложили некоторые оригинальные решения, Ю. А. Блинкову, Е. С. Горской и
А. И. Сгибневу, с которыми текст книги неоднократно обсуждался, а также всем школьникам, на занятиях с которыми этот материал был апробирован и «протестирован».
6

Занятие 1
Расстояния на прямой и не только
Разберем несколько несложных задач с геометрическим содержанием, которые дают «ключ» к решению ряда задач,
связанных с понятием модуля числа.
Прежде всего напомним следующее.
1. Модулем числа x называется расстояние на координатной прямой от точки с координатой x до нуля.
2. Пусть на координатной прямой отмечены точки A(a) и
B(b). Тогда расстояние между этими точками вычисляется
x
a
b
A
B
C
Рис. 1.1
по формуле AB
=
|
a
−
b
|
, а середина C отрезка AB имеет координату
c
=
a + b
2
(см. рис. 1.1).
Первую из этих формул можно доказать, рассмотрев различные случаи расположения точек A и B по отношению друг к другу и к точке O(0), а вторая формула следует из первой, если записать равенство AC
=
BC, используя координаты этих точек.
Начнем с очень простого практического вопроса: где надо вырыть колодец, чтобы расстояние до него от двух домов было одинаковым? Естественный ответ: в середине отрезка,
соединяющего эти дома.
Формально этот ответ не совсем точен. Для школьников,
уже изучавших геометрию, можно напомнить, что геомет-
рическим местом точек на плоскости, равноудаленных от
двух данных точек, является серединный перпендикуляр к
отрезку, соединяющему эти точки.
Но с точки зрения здравого смысла из всех таких точек разумно выбрать ту, для которой требуемые расстояния не только равны, но и являются наименьшими из возможных. Действительно, если C — середина отрезка AB, а K —
произвольная точка серединного перпендикуляра к это7

K
A
B
C
Рис. 1.2
му отрезку, отличная от C, то KA
>
CA,
так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета (см. рис. 1.2).
Пример 1.1. Решите уравнение
|
x
−
2
| = |
x
−
4
|
Решение. Рассмотрим координатную прямую. Условие задачи означает, что на ней надо найти точку, которая равноудалена от точек
A(2) и B(4). Понятно, что это середина отрезка AB, то есть
C(3). Следовательно, решением уравнения является x
=
3
(см. рис. 1.3а).
x
2 4
3 0
A
B
C
x
−1 7
3 0
A
B
C
а)
б)
Рис. 1.3
Ответ: 3.
Более того, с той же легкостью можно решать и некоторые неравенства, например
|
x
+
1
| > |
7
−
x
|
Действительно, из определения модуля следует, что
модули противоположных чисел равны, а чтобы мы могли использовать формулу расстояния между точками, под знаком модуля должна стоять разность координат. Поэтому данное неравенство удобно переписать в таком виде:
|
x
−
(
−
1)
| > |
x
−
7
|
Тогда его решением будут все точки координатной прямой, для которых расстояние до точки A(
−
1) не меньше,
чем расстояние до точки B(7). Понятно, что этим свойством обладает точка C(3) — середина отрезка AB, а также все точки, лежащие правее точки C (см. рис. 1.3б). Таким образом, решением неравенства являются все числа, большие или равные трем, то есть x
>
3.
Обычно этот результат записывают в виде промежутка
[3;
+
∞
), но можно ограничиться словесной формой или записью соответствующего простейшего неравенства.
Переформулируем исходную задачу. Пусть колодец требуется вырыть так, чтобы сумма расстояний от него до двух
8

домов была наименьшей. Интуиция подсказывает, что колодец надо строить на отрезке, соединяющем эти дома, но в какой точке?
Оказывается, в любой точке этого отрезка! Действительно, какую бы точку M на отрезке AB мы ни выбрали, сум-
ма расстояний от нее до концов отрезка одна и та же, и
она равна длине отрезка AB.
K
A
B
N
M
Рис. 1.4
Если же выбрать произвольную точку
N на прямой AB вне отрезка, то сумма расстояний от нее до точек A и B, очевидно, будет больше, чем длина отрезка AB.
Аналогично если точка K не лежит на прямой AB, то KA
+
KB
>
AB по неравенству треугольника (см. рис. 1.4).
Полученный факт позволяет решать простейшие задачи о сумме двух модулей.
Пример 1.2. Найдите наименьшее значение выражения
|
x
+
4
| + |
x
−
2
|
Решение. Рассмотрим на координатной прямой точки
A(
−
4) и B(2). Условие задачи означает, что надо найти такие точки на координатной прямой, для которых сумма расстояний до точек A и B будет наименьшей. Эти точки,
как было доказано, лежат на отрезке AB, а искомая сумма равна длине отрезка AB, то есть равна 6 (см. рис. 1.5а).
Ответ: 6.
x
−4 2
A
B
x
−4 2
−1
−6 4
A
B
C
а)
б)
Рис. 1.5
Пример 1.3. Решите уравнение
|
x
+
4
| + |
x
−
2
| =
10.
Решение. Условие задачи означает, что на координатной прямой надо искать точки, сумма расстояний от которых до точек A(
−
4) и B(2) равна 10. Понятно, что на отрезке
AB они лежать не могут, иначе эта сумма была бы равна
6, значит, они лежат вне этого отрезка. Искать их можно,
например, так: заметим, что для любой точки N, лежащей
9

на координатной прямой вне отрезка, NA
+
NB
=
2NC, где
C(
−
1) — середина отрезка AB (подумайте почему).
Таким образом, искомые точки удалены от точки C(
−
1)
на расстояние 5. Получим, что решением уравнения являются два числа: 4 и
−
6 (см. рис. 1.5б).
Ответ:
−
6; 4.
Аналогично можно решать и неравенства, в частности,
из предыдущих рассуждений следует, что решением неравенства
|
x
+
4
| + |
x
−
2
| >
10 является объединение двух промежутков: (
−∞
;
−
6)
∪
(4;
+
∞
).
Усложним задачу. Пусть теперь вдоль прямой дороги стоят семь домов, причем расстояния между соседними домами не обязательно одинаковы. В какой точке дороги надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до всех домов была наименьшей?
Обозначим дома по порядку точками A
1
, A
2
, …, A
6
, A
7
на прямой (см. рис. 1.6), и пусть X — искомая точка. Для
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
A
7
Рис. 1.6
того чтобы сумма XA
1
+
XA
7
была наименьшей, точка X
должна находиться на отрезке A
1
A
7
. Сумма XA
2
+
XA
6
наименьшая, если точка X лежит на отрезке A
2
A
6
, а сумма
XA
3
+
XA
5
наименьшая, если X лежит на отрезке A
3
A
5
Следовательно, сумма XA
1
+
XA
2
+
XA
3
+
XA
5
+
XA
6
+
XA
7
наименьшая, если точка X принадлежит всем трем отрезкам, то есть лежит на отрезке A
3
A
5
. Осталось сделать наименьшим расстояние от X до A
4
. Понятно, что это произойдет в том случае, если X совпадает с A
4
. Таким образом,
колодец надо строить около четвертого дома, причем полученный результат никак не зависит от расстояний между соседними домами!
Пример 1.4. Найдите наименьшее значение суммы
|
x
−
1
| + |
x
−
2
| +
…
+
|
x
−
11
|
Решение. Условие задачи означает, что на координатной прямой надо найти точку, сумма расстояний от которой до
10

точек A
1
(1), A
2
(2), …, A
11
(11) будет наименьшей. По аналогии с только что рассмотренной задачей получим, что это точка A
6
(6). Остается подсчитать сумму расстояний от этой точки до остальных: (1
+
2
+
3
+
4
+
5) · 2
=
30.
Ответ: 30.
Упражнения и задачи для самостоятельного решения
1.1. Решите уравнение или неравенство: а)
|
x
| = |
x
−
3
|
;
б)
|
5
+
x
| 6 |
5
−
x
|
1.2. Найдите наименьшее значение выражения
|
a
−
100
|+
+
|
100
+
a
|
1.3. Решите уравнения или неравенства: а)
|
x
−
1
| +
+
|
x
−
2
| =
3; б)
|
x
−
1
| + |
x
−
2
| <
3; в)
|
x
| + |
1
+
x
| =
1;
г)
|
x
| + |
1
+
x
| >
1; д)
|
6
+
x
| + |
6
−
x
| =
8.