Д. В. Хомицкий А. В. Тележников

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Национальный исследовательский университет
Учебно-научный и инновационный комплекс "
Новые многофункциональные материалы и нанотехнологии"
Д.В. Хомицкий
А.В. Тележников
Сборникзадачпоаналитическойгеометрии
(
Практикум)
Мероприятие 1.2. Совершенствование образовательных технологий, укрепление материально-технической базы учебного процесса
Учебныедисциплины: «Аналитическая геометрия», «Численные методы и математическое моделирование», «Вычислительная физика»
Специальности, направления: 011200 «Физика», 210100 «Электроника и наноэлектроника», 222900 «Нанотехнология и микросистемная техника»,
230400 «
Информационные системы и технологии»
ННГУ
2010

2
УДК 514.12
ББК В151.54
Х-76
Х-76 Хомицкий Д.В., Тележников А.В. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ: Практикум (Учебно-научный и инновационный комплекс "Новые многофункциональные материалы и нанотехнологии" ). – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет,
2010.– 71
с.
Рецензент: доцент Д.Е. Бурланков
Сборник содержит задачи по общему курсу «Аналитическая геометрия», читаемому студентам физического факультета ННГУ.
Каждый параграф предваряется кратким введением в изучаемый раздел курса, содержащим основные определения, теоремы, а также примеры решения типовых задач. Упражнения, представленные в сборнике, соответствуют темам практических занятий, контрольных работ и экзаменационных билетов.
УДК 514.12
ББК В151.54
©
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 2010

3
Глава 1
Введениевметодкоординатиметодылинейнойалгебры
1.
Простейшиезадачианалитическойгеометриинаплоскости
Система прямоугольных декартовых координат на плоскости задаётся парой перпендикулярных прямых с указанными на них положительными направлениями. Эти прямые называются координатными осями, а точка их пересечения
O
называется началом координат. Каждой точке
A
на плоскости ставят в соответствие пару чисел
x
и
y
, определяемых как длины отрезков
x
OA
и
y
OA
, где точки
x
A
и
y
A
есть пересечения перпендикуляров, опущенных из точки
A
на координатные оси. Если направление от точки
O
к точкам
y
x
A
,
совпадает с положительным направлением данной оси, то координата имеет положительный знак, если же это направление противоположно положительному направлению оси, координата имеет отрицательный знак. Расстояние
2 1
A
A
между точками
)
,
(
1 1
1
y
x
A
и
)
,
(
2 2
2
y
x
A
вычисляется по формуле, являющейся следствием теоремы
Пифагора и имеющей вид
2 1
2 2
1 2
2 1
)
(
)
(
y
y
x
x
A
A
−
+
−
=
Делением отрезка
2 1
A
A
в заданном отношении
λ
называется поиск такой точки
)
,
(
y
x
A
на линии, соединяющей точки
1
A
и
2
A
, которая удовлетворяет соотношению
λ
=
2 1
AA
A
A
, при этом координаты искомой точки даются выражениями
)
1
(
)
(
2 1
λ
λ
+
+
=
x
x
x
и
)
1
(
)
(
2 1
λ
λ
+
+
=
y
y
y
Отношение
λ
может быть и отрицательным числом, в этом случае точка
A
лежит за пределами отрезка
2 1
A
A
на линии, соединяющей точки
1
A
и
2
A
Равенство
0
)
,
(
=
y
x
F
, где
F
является некоторой функцией координат
)
,
(
y
x
точек плоскости, определяет неявное уравнение кривой
F
на плоскости. Если две кривые
1
F
и
2
F
заданы уравнениями
0
)
,
(
1
=
y
x
F
и
0
)
,
(
2
=
y
x
F
, их точки пересечения определяются как решения системы, состоящей из двух данных уравнений. Если каждая из координат является функцией некоторой переменной
t
, называемой параметром, то говорят о задании уравнения кривой
)
(t
x
x
=
,
)
(t
y
y
=
в параметрической форме.
Положение точки
)
,
(
y
x
A
на плоскости может быть также описано парой чисел
)
,
(
ϕ
ρ
, связанных с декартовыми координатами соотношениями
ϕ
ρ
cos
=
x
и
ϕ
ρ
sin
=
y
, называемых полярными координатами точки
A

4
(
рис.1). Неотрицательная величина
ρ
представляет собой расстояние от точки
A
до начала координат, а параметр
ϕ
задаёт угол между направлением
OA
и осью
Ox
, которая в полярной системе называется полярной осью. Угол
ϕ
обычно задаётся в интервале
]
2
,
0
[
π
или
]
,
[
π
π
−
Кривая в полярных координатах может быть задана как в явном виде
)
(
ϕ
ρ
ρ
=
, так и в неявной форме
0
)
,
(
=
ϕ
ρ
F
, и в параметрической форме
)
(t
ρ
ρ
=
,
)
(t
ϕ
ϕ
=
Рис.1. Декартовы и полярные координаты на плоскости.
Уравнения одних и тех же геометрических объектов выглядят по-разному в разных декартовых системах координат, с различным началами отсчёта и направлениями осей. Для упрощения уравнений применяются различные преобразования координат. Наиболее простыми и часто применяемыми преобразованиями декартовых координат на плоскости от старых координат
)
,
(
y
x
к новым
)
'
,
'
(
y
x
является параллельный перенос начала координат



+
=
+
=
0 0
'
'
y
y
y
x
x
x
в точку
)
,
(
0 0
y
x
, а также поворот координатных осей, где положительный угол
ϕ
отвечает направлению вращения против часовой стрелки (рис.2):



+
=
−
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
cos
'
sin
'
sin
'
cos
'
y
x
y
y
x
x
Обратный переход к старым координатам можно произвести, разрешив записанные выше равенства относительно
)
'
,
'
(
y
x
как функций
)
,
(
y
x
Рис
.2.
Поворот базиса и
системы координат на плоскости

5
Пример 1. Доказать, что треугольник с вершинами
)
1
,
2
(
−
−
P
,
)
1
,
6
(
Q
,
)
4
,
3
(
R
является прямоугольным.
Решение.
Вычислим длины сторон данного треугольника:
68
))
1
(
1
(
))
2
(
6
(
2 2
=
−
−
+
−
−
=
PQ
,
50
))
1
(
4
(
))
2
(
3
(
2 2
=
−
−
+
−
−
=
PR
,
18
)
1 4
(
)
6 3
(
2 2
=
−
+
−
=
QR
Найденные длины удовлетворяют условию
2 2
2
QR
PR
PQ
+
=
, т.е. треугольник
PQR
является прямоугольным с катетами
PR
,
QR
и гипотенузой
PQ
Пример 2. Даны точки
)
1
,
3
(
−
A
и
)
1
,
2
(
B
Определить координаты точки
M
, симметричной точке
A
относительно точки
B
, и координаты точки
N
, симметричной точке
B
относительно точки
A
(
рис.3).
Рис.3. Расположение точек на отрезке в Примере 2.
Решение. Точка
B
делит отрезок
AM
в отношении
1
=
=
BM
AB
λ
, поэтому имеем уравнение
)
1
(
)
(
λ
λ
+
+
=
M
A
B
x
x
x
на координату
M
x
Решая его, находим
1
=
M
x
Аналогичное уравнение для координаты
M
y
даёт значение
3
=
M
y
, т.е. искомая первая точка есть
)
3
,
1
(
M
Рассуждая схожим образом, для точки
N
получаем соотношение
1
=
=
AB
NA
λ
и уравнение
)
1
(
)
(
λ
λ
+
+
=
B
N
A
x
x
x
, откуда
4
=
N
x
Аналогичное уравнение приводит к значению
3
−
=
N
y
, поэтому вторая точка есть
)
3
,
4
(
−
N
Пример 3. Составить уравнение геометрического места точек, равноудалённых от двух данных точек
)
4
,
2
(
1
−
M
и
)
8
,
6
(
2
M

6
Решение. Пусть некоторая точка
M
, удовлетворяющая данному условию, имеет координаты
)
,
(
y
x
В этом случае для любой такой точки выполняется соотношение
M
M
M
M
2 1
=
, имеющее вид
2 2
2 2
)
8
(
)
6
(
)
4
(
)
2
(
−
+
−
=
−
+
+
y
x
y
x
Возводя в квадрат и приводя подобные слагаемые, получаем уравнение прямой линии
0 10 2
=
−
+
y
x
, проходящей через середину отрезка
2 1
M
M
перпендикулярно ему.
Пример 4. Точка
M
со скоростью
v
равномерно движется по прямой
ON
, которая равномерно вращается вокруг точки
O
(
начала координат) с постоянной угловой скоростью
ω
(
рис.4). Траектория точки
M
на плоскости
)
,
(
ϕ
ρ
называется спиралью Архимеда. Составить её уравнение в полярных координатах.
Рис.4. Расположение точки и поворот прямой в примере 4.
Решение. Пусть
t
есть параметр, обозначающий время, прошедшее с момента начала выхода точки
M
из начала координат. Тогда для расстояния до начала координат имеем выражение
vt
t
=
)
(
ρ
, а для равномерно возрастающего полярного угла справедливо равенство
t
t
ω
ϕ
=
)
(
Исключая из этих равенств параметр
t
, получаем в полярных координатах уравнение спирали Архимеда в виде
ϕ
ϕ
ρ
a
=
)
(
, где постоянная
ω
v
a
=
Задачидлясамостоятельногорешения
1.1.
Даны координаты вершин треугольника
ABC
:
)
3
,
1
(
−
A
,
)
5
,
3
(
−
B
,
)
7
,
5
(
−
C
Определить координаты середин его сторон.

7 1.2.
Известны координаты вершин
)
2
,
1
(
−
A
и
)
2
,
3
(
B
параллелограмма
ABCD
, а также точка
)
1
,
5
(
−
N
пересечения его диагоналей. Найти координаты двух других вершин
C
и
D
1.3.
Найти координаты центра и радиус окружности, проходящей через точки
)
0
,
0
(
O
,
)
1
,
3
(
−
M
и
)
4
,
8
(
N
1.4.
Найти точки пересечения линий, заданных своими уравнениями
1
L
:
25 2
2
=
+
y
x
и
2
L
:
0 25 7
=
−
+
y
x
1.5.
Охарактеризовать геометрически расположение точек на оси
Ox
, координаты которых удовлетворяют неравенствам:
1)
2
>
x
; 2)
0 3
≤
−
x
;
3)
0 12
<
−
x
; 4)
3 1
<
<
x
;
5)
0 1
2
>
−
−
x
x
;
6)
1 2
1 2
>
−
−
x
x
;
7)
0 15 8
2
≤
+
−
x
x
1.6.
Найти координаты точек, симметричных относительно биссектрисы второго координатного угла
x
y
−
=
следующим точкам:
1)
)
5
,
3
(
A
;
2)
)
3
,
4
(
−
B
;
3)
)
2
,
7
(
−
C
1.7.
Даны точки
)
1
,
1
(
−
A
,
)
3
,
3
(
B
и
)
5
,
4
(
C
, лежащие на одной прямой.
Определить отношение
λ
, в котором каждая из точек делит отрезок, ограниченный двумя другими точками.
1.8.
Отрезок, определяемый точками
)
7
,
6
(
1
−
M
и
)
3
,
2
(
2
−
M
, разделен на четыре равные части. Найти координаты точек деления
L
,
M
и
N
До какой точки
P
нужно продолжить отрезок
2 1
M
M
, чтобы его длина увеличилась в три раза?
1.9.
Найти декартовы координаты точек, равноудалённых от осей координат и от точки
)
8
,
1
(
M
1.10.
Даны две смежные вершины квадрата
( )
1
;
2
−
A
и
(
)
3
;
1
−
B
Определить две его другие вершины
1.11.
Зная проекции отрезка на координатные оси
1
=
X
,
3
−
=
Y
, найти его проекцию на ось, которая составляет с осью Ox угол
3 2
π
=
Θ
1.12.
Определить координаты концов A и B отрезка, который точками
( )
2
;
2
P
и
( )
5
;
1
Q
разделён на три равные части.
1.13.
Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полярной оси точкам
)
4
,
3
(
1
π
M
,
)
2
,
2
(
2
π
−
M
,
)
3
,
3
(
3
π
−
M
,
)
2
,
1
(
4
M
и
)
1
,
5
(
5
−
M
, заданным в полярной системе координат.

8 1.14.
В полярной системе координат даны две вершины
)
9 4
,
3
(
π
−
A
и
)
14 3
,
5
(
π
B
параллелограмма
ABCD
, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить полярные координаты двух других вершин этого параллелограмма.
1.15.
В полярной системе координат даны точки
)
3 2
,
8
(
π
−
A
и
)
3
,
6
(
π
B
Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки
A
и
B
1.16.
Вычислить площадь треугольника, вершины которого






8
;
3
π
A
,






24 7
;
8
π
B
и






8 5
;
6
π
C
заданы в полярных координатах.
1.17.
В полярных координатах записать уравнение окружности, проходящей через начало координат с центром на полярной оси и радиусом
a
1.18.
В полярной системе координат на линии, определённой уравнением
ϕ
ϕ
ρ
sin
1
)
(
=
, найти координаты точек, расстояния которых от начала координат равны: 1)
1
; 2)
2
; 3)
2
Какая линия определена данным уравнением? Построить её на чертеже.
1.19.
Прямая перпендикулярна полярной оси и отсекает на ней отрезок
3
=
OM
Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.
1.20.
Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояния от которых до двух данных точек
1
F
и
2
F
есть величина постоянная и равная
2
a
, где
2 2
1
F
F
a
=
Произвести расчёт как в декартовых, так и в полярных координатах (данная кривая носит название
«
лемниската Бернулли»).
1.21.
Окружность радиуса
R
равномерно катится без проскальзывания по оси
Ox
Записать параметрическое уравнение линии
)
(t
x
x
=
,
)
(t
y
y
=
, где
t
есть время, а
)
,
(
y
x
представляют собой координаты точки окружности, находившейся при
0
=
t
в начале координат (данная кривая носит название «циклоида»).

9
2.
Определителиисистемылинейныхуравнений
2-
гои 3-гопорядка
Прямоугольная таблица
A
из вещественных или комплексных чисел, содержащая
m
строк и
n
столбцов, называется матрицей порядка
n
m
×
с элементами
ij
a
, где
m
i
K
,
1
=
и
n
j
K
,
1
=
Если
n
m
=
, то матрица называется квадратной матрицей порядка
n
Любую матрицу
ij
a
A
=
можно умножить на вещественное или комплексное число
α
, при этом все элементы матрицы умножаются на это число:
( )
ij
ij
a
A
α
α
=
Матрицы одинаковых порядков можно складывать, при этом
(
)
ij
ij
ij
b
a
B
A
+
=
+
Для квадратной матрицы
A
можно ввести понятие определителя, или детерминанта, представляющего собой числовую функцию от её элементов и обозначаемого
A
det
Для матрицы первого порядка
11
a
A
=
определитель, обозначаемый в отличие от самой матрицы одинарной прямой чертой, равен единственному имеющемуся элементу, т.е.
11
det
a
A
A
=
≡
Для матрицы второго порядка
22 21 12 11
a
a
a
a
A
=
определитель вычисляется по следующему правилу:
21 12 22 11
det
a
a
a
a
A
−
=
, откуда сразу следует, что определитель меняет знак при перестановке строк или столбцов, а также равен нулю, если две строки или два столбца пропорциональны друг другу, а также для случая нулевой строки или столбца.
Отметим, что данные свойства имеют место для определителей матриц любого порядка. Для матрицы третьего порядка
33 32 31 23 22 21 13 12 11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
=
определитель выражается через определители второго порядка как
32 31 22 21 13 33 31 23 21 12 33 32 23 22 11
det
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
+
−
=
,

10 где детерминанты второго порядка раскрываются по описанному выше правилу.
Рассмотрим основные свойства систем линейных уравнений на примере системы двух уравнений с двумя неизвестными
(
)
2 1
, x
x
Отметим, что обсуждаемые здесь результаты и методы решения задач останутся прежними и для систем третьего, и более высоких порядков. Системой линейных уравнений второго порядка с двумя неизвестными называется система равенств следующего вида:



=
+
=
+
2 2
22 1
21 1
2 12 1
11
b
x
a
x
a
b
x
a
x
a
, где коэффициенты
ij
a
образуют квадратную матрицу
A
данной системы, а столбец
)
,
(
2 1
b
b
называется столбцом свободных членов. В случае, когда этот столбец состоит из нулей, говорят об однородной системе, если же данный столбец содержит хотя бы один ненулевой элемент, система называется неоднородной. Однородная система всегда совместна, поскольку она имеет как минимум одно решение
(
)
)
0
,
0
(
,
2 1
=
x
x
Кроме того, при
0
det
=
A
у однородной системы уравнения пропорциональны друг другу, т.е. имеется одно независимое уравнение для двух неизвестных. Это означает, что одно неизвестное линейно выражается через второе, например,
12 1
11 2
a
x
a
x
−
=
, что говорит о бесконечном числе решений. Неоднородная система с квадратной матрицей
A
при
0
det
≠
A
имеет единственное решение, выражаемое формулами Крамера
∆
∆
=
1 1
x
,
∆
∆
=
2 2
x
, где
A
det
≡
∆
, а определители
2
,
1
∆
получаются из
∆
заменой соответственно первого и второго столбца на столбец свободных членов:
22 2
12 1
1
a
b
a
b
=
∆
,
2 21 1
11 2
b
a
b
a
=
∆
Если
0
det
=
A
, а хотя бы один из
2
,
1
∆
отличен от нуля, то решений нет и система не совместна. Если же все три определителя равны нулю, то уравнения системы пропорциональны друг другу и реально независимым является лишь одно из них. Как и в случае однородной системы, здесь имеется бесконечное множество решений.

11
Пример

  1   2   3   4   5   6   7   8   9