50 величайших теорий математики,по 30 секунд на каждую
 Скачать 15.82 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
| за 30 секунд МАТЕМАТИКА Москва, 2014 50 величайших теорий математики, по 30 секунд на каждую Редактор Ричард Браун Авторы Ричард Браун Ричард Элвес Роберт Фатхауэр Джон Хай Дэвид Перри Джейми Поммерсхайм за 30 секунд МАТЕМАТИКА УДК 611 ББК 28.706 М34 Перевод с английского И. Карнаушко Научный редактор С. Михаеску Под редакцией Ричарда Брауна М34 Математика / [пер. с англ. И. Карнаушко; науч. ред. С. Михаеску; под ред. Ричарда Брауна]. — М. : РИПОЛ классик, 2014. — 160 с. : ил. ISBN 978-5-386-07012-0 Данное издание опубликовано в 2012 г. издательством Pier 9, Murdoch Books Pty Limited по разрешению Ivy Press Limited. Все права защищены. Любое копирование, размещение в поисковых системах либо воспроизведение текста в любой форме и любыми средствами (электронными, механическими, фотокопирующими, записывающими и прочими) без письменного разрешения правообладателей запрещено. Данная книга составлена, оформлена и опубликована издательством Ivy Press Limited, The Old Candlemakers, West Street, Lewes, East Sussex BN7 2NZ, UK УДК 611 ББК 28.706 ISBN 978-5-386-07012-0 © 2012 by Ivy Press Limited. Данное издание опубликовано в 2012 г. издательством Pier 9, Murdoch Books Pty Limited по разрешению Ivy Press Limited © ООО Группа Компаний «РИПОЛ классик», 2014 Научно-популярное издание Математика Генеральный директор издательства С. М. Макаренков Директор редакции С. Полякова Шеф-редактор Е. Олейник Младший редактор А. Хацаева Выпускающий редактор Л. Данкова Художественное оформление: Н. Дмитриева Компьютерная верстка: Н. Орлова Корректор О. Круподер Creative Director Peter Bridgewater Publisher Jason Hook Editorial Director Caroline Earle Art Director Michael Whitehead Designer Ginny Zeal Illustrator Ivan Hissey Profiles Text Viv Croot Glossaries Text Steve Luck Project Editor Jamie Pumfrey Издание содержит научную / научно-техническую / статистическую информацию. В соответствии с пунктом 2 статьи 1 Федерального закона от 29.12.2010 г. № 436-ФЗ знак информационной продукции не ставится. Подписано в печать 25.11.2013 г. Формат 180×230. Гарнитура «FuturaLight» Усл. печ. л. 12,9 Тираж 3500 экз. Заказ № 2379 Адрес электронной почты: info@ripol.ru Сайт в Интернете: www.ripol.ru ООО Группа Компаний «РИПОЛ классик» 109147, г. Москва, ул. Большая Андроньевская, д. 23 Отпечатано в 1010 Printing International Limited 26/Fl, 625 King’s Road North Point, Hong Kong Tel:(852) 8226 1010 Fax:(852) 2156 8039 СОДЕРЖАНИЕ 6 ВВЕДЕНИЕ 11 Числа и вычисления 12 ГЛОССАРИЙ 14 Обыкновенные и десятичные дроби 16 Рациональные и иррациональные числа 18 Мнимые числа 20 Системы счисления 22 Простые числа 24 Числа Фибоначчи 26 Треугольник Паскаля 28 Портрет: БЛЕЗ ПАСКАЛЬ 30 Теория чисел 33 Как работают числа 34 ГЛОССАРИЙ 36 Нуль 38 Бесконечность 40 Сложение и вычитание 42 Умножение и деление 44 Степени и логарифмы 46 Функции 48 Портрет: ГОТФРИД ЛЕЙБНИЦ 50 Исчисление 53 Случайность — вещь хорошая 54 ГЛОССАРИЙ 56 Теория игр 58 Как просчитать шансы 60 Портрет: ДЖЕРОЛАМО КАРДАНО 62 Закон больших чисел 64 Ошибка игрока: закон средних чисел 66 Ошибка игрока: удвоение ставки 68 Случайность 70 Теорема Байеса 73 Алгебра и абстракция 74 ГЛОССАРИЙ 76 Переменные величины 78 Уравнения 80 Полиномиальные уравнения 82 Портрет: АБУ АБДУЛЛАХ МУХАММАД ИБН МУСА АЛЬ-ХОРЕЗМИ 84 Алгоритмы 86 Множества и группы 88 Кольца и поля 91 Геометрия и формы 92 ГЛОССАРИЙ 94 «Начала» Евклида 96 «Пи» — константа окружности 98 Золотое сечение 100 Портрет: ПИФАГОР 102 Тригонометрия 104 Квадратура круга 106 Параллельные прямые 108 Графики 111 Иное измерение 112 ГЛОССАРИЙ 114 Платоновы тела 116 Топология 118 Эйлеров параллелепипед 120 Лента Мёбиуса 122 Портрет: АРХИМЕД СИРАКУЗСКИЙ 124 Фракталы 126 Оригами 128 Кубик Рубика 130 Теория узлов 133 Доказательства и теоремы 134 ГЛОССАРИЙ 136 Великая теорема Ферма 138 Портрет: ПЬЕР ФЕРМА 140 Проблема четырех красок 142 Программа Гильберта 144 Теорема Гёделя о неполноте 146 Догадка Пуанкаре 148 Континуум-гипотеза 150 Гипотеза Римана 153 ПРИЛОЖЕНИЯ 154 Источники 156 Об авторах 158 Алфавитный указатель 160 Благодарности Говорят, что математика — это искусство чисто го размышления. Это самая фундаментальная логическая структура из всех прочих существующих и несуществующих систем. Продвинувшись далеко вперед от простейших расчетов, позволяющих нам подвести баланс и подсчитать ежедневные расходы, математика помогает нам упорядочить и понять каждое явление окружающего мира. Как музыка, искусство и язык, основные математические символы и понятия (многие из которых определены и описаны в этой книге) помогают нам выразить себя самыми разными способами и разобраться в невообразимо сложных и прекрасных структурах. Конечно, практическое применение математики весьма широко, но что делает ее столь притягательной — это элегантность и красота математической науки, вне зависимости от ее приложения в нашем мире. Мы наделяем математические понятия значением только потому, что они способствуют упорядочиванию нашей жизни. Однако вне значения, придаваемого им людьми, эти понятия способны существовать только в нашем воображении. Данный текст — всего лишь мимолетный взгляд на мир, который математик видит каждый день. В этой книге изложен ряд основных фундаментальных элементов, снабженных определениями; небольшой экскурс в историю, а также несколько более глубокое ознакомление с природой основных математических понятий. Книга содержит 50 научно-популярных статей, каждая из которых фокусирует ваше внимание на одной из важнейших математических тем. Статьи разделены на семь разделов, взглянув на названия которых, вы сразу же поймете, о чем пойдет речь. В разделе Числа и вычисления мы рассматриваем базовые строительные элементы, с помощью которых мы считаем окружающие нас объекты. В разделе Как работают числа мы изучаем основные операции с числами. Эти статьи дают нам общее представление об арифметической системе, благодаря которой мы используем математическую систему каждый день. В части Случайность — вещь хорошая дается обзор ВВЕДЕНИЕ Ричард Браун 6 g Введение ЭЛЕГАНТНОСТЬ ГЕОМЕТРИИ Математики часто «видят» математические объекты как уравнения, которые сопровождаются геометрическим решением. Это графическое доказательство знаменитой теоремы Пифагора: a 2 + b 2 = c 2 . некоторых идей и выводов, чтобы с помощью математики понять природу случайных событий и возможностей. Далее мы уходим в более сложные структуры чисел в разделе Алгебра и абстракция. Именно здесь начинается дорога в высшие сферы математики. Мы исследуем визуальные аспекты математических взаимодействий в Геометрии и формах. Поскольку математическая абстракция существует только в нашем воображении, мы посмотрим, что происходит вне нашего трехмерного мира в части Иное измерение. И наконец, в разделе Доказательства и теоремы мы обсудим некоторые из важнейших и глубочайших идей и фактов, к которым в свое время также привела ученых дорога математики. Каждое эссе представляет собой краткий обзор наиболее красивых и важных идей, которые играют основную роль в сов ременной математике. Каждая тема представлена в одном и том же формате, имеющим своей целью упростить понимание любых сложных моментов. 3 секунды: суммируем содержит общие определения понятий, раскрываемых в тексте; 3 минуты: добавляем предлагает дополнительную информацию по данной теме, обнаруживающую природу связи теории и реального мира. Эта книга даст вам представление об основах наиболее важных математических идей. Когда вы прочтете эту книгу целиком, перед вами откроется такой же удивительный и богатый мир, как и тот, в котором вы живете: мир математики. 8 g Введение КРАСОТА ИЗМЕРЕНИЙ Существует лишь пять способов построить трехмерное геометрическое тело, используя правильные многоугольники. Нетрудно понять почему. Но являются ли в таком случае эти тела особенными? Математики полагают, что да. g ЧИСЛА И ВЫЧИСЛЕНИЯ 12 g Числа и вычисления Алгебра. Одно из основных направлений в математике, которое изучает операции, совершаемые с числами, и отношения между ними. Элементарная алгебра включает изучение законов арифметики, касающихся выражений с участием переменных. Алгебра более высокого уровня включает изучение операций, совершаемых над математическими объектами и нечисловыми выражениями, а также отношения между ними. Алгебраическое число. Любое число, являющееся корнем ненулевого многочлена, коэффициенты которого выражены целыми числами. Другими словами, алгебраические числа — это решения полиномиальных уравнений (см. c. 80); например, x 2 225 0, где x5√2.. Все рациональные числа являются алгебраическими, но иррациональные числа могут быть как алгебраическими, так и нет. Одно из наиболее известных алгебраических чисел представляет собой т. н. «золотое сечение» (1,6180339…), которое выражается буквой f (фи) греческого алфавита. Двоичная система. Система счисления, в которой используются только цифры 1 и 0. Как и в десятичной системе счисления, где есть 1-й разряд (10 0 51), 10-й разряд (10 1 ), 100-й разряд (10 2 ) и т. д., в двоичной системе есть 1-й разряд (2 0 51), 2-й разряд (2 1 ), 4-й разряд (2 2 ) и т. д. Например, число 7 в двоичной системе счисления выражается как 111, поскольку 1 341132113157. Действительное число. Любое число, выражающее ту или иную величину, расположенное на числовой прямой, или в континууме. К действительным числам относятся рациональные и иррациональные числа. Дробное число (дробь). Любое число, выражающее часть от целого. Наиболее распространенные дроби называются обыкновенными, или простыми, в которых знаменатель является целым числом, не равным нулю. Он означает, на сколько частей разделено целое; тогда как числитель выражает количество долей, из которых составлена дробь. Правильные дроби имеют значение меньше единицы (например, 2 / 3 ), а значение неправильных дробей всегда больше единицы (например, 3 / 2 или 1 1 / 3 ). Иррациональное число. Любое число, которое не может быть выражено отношением целых чисел на числовой прямой. Наиболее распространенные примеры иррациональных чисел — это число p и √2.. Хороший способ определения иррациональности числа — это проверка, является ли десятичная дробь, выражающая данное число, непериодической. Большинство действительных чисел иррациональны. ЧИСЛА И ВЫЧИСЛЕНИЯ ГЛОССАРИЙ Глоссарий g 13 Комплексное число. Любое число, представленное в виде нескольких действительных или мнимых числовых компонентов; например, a1bi, где a и b означают любые действительные числа, а i5√21. (См. мнимое число). Коэффициент. Число, используемое как мно жи тель при переменной величине. Так, в выражении 4 x58, 4 — коэффициент, x — переменная. Коэффициенты могут быть представлены в виде чисел или условных обозначений (например, буквенных). Коэффициенты, не относящиеся к каким-либо переменным, называются константами, или свободными членами. Мнимое число. Число, квадрат которого равен отрицательному числу. Так как ни одно действительное число, возведенное в квадрат, не дает отрицательного результата, математики разработали концепцию мнимого числа i. Так, i3i521, или i5√21. Наличие мнимого числа, равного √ 21, делает возможным решение уравнений, которые невозможно решить без участия этого числа, а также имеет практическое значение в ряде других областей математики. Многочлен. Выражение, содержащее в себе числа и переменные, между которыми производятся действия сложения, умножения и возведения в положительную степень. Например, x 2 (См . полиномиальные уравнения, c. 80). Множитель. Одно из двух или нескольких чисел, на которые целиком делится результирующее число. Например, числа 3 и 4 являются множителями числа 12, так же, как числа 1, 2, 6 и 12. Трансцендентное число. Любое число, которое не является корнем ненулевого многочлена с целыми коэффициентами. Другими словами, это неалгебраическое число. Число p — наиболее известное трансцендентное число; следуя определению, p не может удовлетворить уравнению p 2 510. Большинство действительных чисел являются трансцендентными. Фигурное число. Любое число, которое представимо правильной геометрической формой (например, треугольник, квадрат или шестиугольник). Целое число. Любое недробное число, например, 1, 2, 3, 4, 5 и так далее, а так же — 0 и отрицательные недробные числа. Числовая прямая. Визуальное представление всех действительных чисел, располагающихся на горизонтальной шкале; отрицательные числа при этом находятся слева от нуля, а положительные справа. 14 g Числа и вычисления Математика за 30 секунд Целые числа могут делиться на дроби, причем десятичные дроби выражают это деление наиболее точно. АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ АБУ АБДУЛЛАХ МУХАММАД ИБН МУСА АЛЬ-ХОРЕЗМИ (790–850) АБУ АЛЬ-ХАСАН АХМАД ИБН ИБРАХИМ АЛЬУКЛИДИСИ (920–980) ИБН ЯХЬЯ АЛЬ-МАГРИБИ АЛЬ-САМАВАЛ (1130–1180) ЛЕОНАРДО ПИЗАНО (ФИБОНАЧЧИ) (1170–1250) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА (c. 16) СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (c. 20) НУЛЬ (c. 36) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Осуществить переход между обыкновенными и десятичными дробями не всегда просто. Можно представить 0,25 как 1 / 4 ; 0,5 как 1 / 2 ; 0,75 как 3 / 4 Однако при этом обыкновенная дробь 1 / 3 записывается в виде десятичной дроби как 0,333333..., которая бесконечна; а 1 / 7 выражается как 142857142857142857..., и эта дробь также является периодической. Получается, что все дробные величины выражениимогут быть записаны в виде конечных или периодических десятичных дробей, тогда как недробные числа, как p, записываются в виде непериодических десятичных дробей. Целые числа 0, 1, 2, 3... являются основными в математике и используются на протяжении тысячелетий. Однако не все может быть измерено в целых числах. Если 15 гектаров земли разделены между 7 фермерами, каждый получит 15 / 7 (или 2 1 / 7 ) гектара. Простейшие нецелые величины могут быть представлены при помощи подобных дробных выражений. Однако в отношении прочих чисел, например p, это нецелесообразно либо просто невозможно. С развитием науки возникла необходимость в еще более точном выражении дробных величин. Так, появились система десятичных дробей, эффективная разрядная система, в которой используются индо-арабские числовые обозначения. Например, число 725 имеет три разряда; т. е. в данном числе 7 сотен, 2 десятка и 5 единиц. Если мы добавим запятую после разряда единиц и несколько разрядов после запятой, то получим величины меньшие, чем единица. Таким образом, в числе 725,43 получилось 7 сотен, 2 десятка, 5 единиц, 4 десятых единицы и 3 сотых единицы. Добавляя еще больше разрядов левее либо правее числа, как большие так и малые, можно записывать настолько точно, насколько это необходимо. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Исходной точкой для математиков является система целых чисел: 0, 1, 2, 3... Но многие величины находятся в промежутке между ними, и существует два способа для их выражения. ОБЫКНОВЕННЫЕ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ 16 g Числа и вычисления Математика за 30 секунд Действительно — числа рациональны, если могут быть выражены в форме обыкновенной дроби. АВТОР ТЕКСТА Дэвид Перри 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ГИППАС ИЗ МЕТАПОНТА (V в. до н. э.) ИОГАНН ЛАМБЕРТ (1728–1777) ШАРЛЬ ЭРМИТ (1822–1901) ФЕРДИНАНД ФОН ЛИНДЕМАН (1852–1939) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫЕ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ (c. 14) СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ (c. 44) ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (c. 80) «ПИ» — КОНСТАНТА ОКРУЖНОСТИ (c. 96) ПИФАГОР (c. 100) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Философские взгляды древнегреческих ученых заключались в том, что все объекты в мире исчисляемы, по крайней мере, с помощью целых чисел. Существует исторический анекдот: ученики Пифагора были настолько обескуражены открытием, что число √2 иррационально, что даже убили одного из пифагорейцев, когда он попытался обнародовать это открытие. Действительные числа включают в себя положительные и отрицательные числа, а также 0; эти величины могут быть классифицированы несколькими способами. Согласно одной из классификаций, действительные числа подразделяются на рациональные числа, т. е. те, что могут быть выражены дробью, числитель и знаменатель которой являются целыми числами (например, 1 / 2 или — 7 / 3 ); и на иррациональные числа, т. е. те, которые не могут быть выражены подобным образом. Древние греки полагали, что все числа рациональны, до тех пор, пока один из последователей Пифагора не доказал, что √2 не является рациональным числом. Является ли число рациональным или иррациональным можно определить по его записи в виде десятичной дроби: если начиная с некоторого места после запятой повторяется последовательность цифр, т. е. находится в периоде, то число рационально (например, 3 / 11 50,272727...). Десятичные дроби, выражающие иррациональные числа (например, p53,14159265...) непериодичны. Однако это еще не все. Как рациональные, так и многие иррациональные числа имеют нечто общее — это алгебраические величины, т. е. они могут быть корнями полиномиальных, или многочленных уравнений с целыми коэффициентами. Например, √2 — корень уравнения x 2 2250 (см. Полиномиальные уравнения, c. 80). 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Действительные числа — это числа, которые используются для выражения величин и могут быть представлены десятичными дробями. Они могут являться как рациональными, так и иррациональными. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 18 g Числа и вычисления Математика за 30 секунд Для некоторых математиков положительных и отрицательных чисел было недостаточно — им были необходимы еще и мнимые числа. МНИМЫЕ ЧИСЛА АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ НИККОЛО ФОНТАНА (ТАРТАЛЬЯ) (1500–1557) ДЖИРОЛАМО КАРДАНО (1501–1576) РАФАЭЛЬ БОМБЕЛЛИ (1526–1572) КАРЛ-ФРИДРИХ ГАУСС (1777–1855) ОГЮСТЕН ЛУИ КОШИ (1789–1857) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫЕ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ (c. 14) ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (c. 80) ГИПОТЕЗА РИМАНА (c. 150) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Комплексные числа позволяют найти решение таких уравнений, как, например, x3x521. Однако остается вопрос, существует ли в принципе решение подобных уравнений, либо есть необходимость дальнейшего расширения системы счисления. Как выясняется, система комплексных чисел включает в себя решения всех возможных полиномиальных уравнений; иными словам — это все, что нам может когда-либо понадобиться. Этот примечательный факт известен как основная теорема алгебры. За всю историю развития математики ученым несколько раз удава лось усовершенствовать систему счисления. Ранние периоды были связаны с введением отрицательных чисел. Так, в сфере бизнеса 14 означает по выше ние прибыли на 4 единицы, тогда как 24 означает погру жение в долги на 4 единицы. Арифметика отрица тельных чисел обладает удивительным свойством. Умножение положительного числа на отрицательное всегда дает отрицательный результат; например, 24335212. Но если вы умножите отрицательное число на отрицательное, в итоге вы получите положительное число; например, 24323512. Таким образом, не существует числа, положительного или отрицательного, кото рое, умноженное само на себя, давало бы отрицательный результат. Это означает, что некоторые простые урав нения (например, x 2 521) не имеют решения, что является препятствием на пути к решению гораз до более сложных уравнений (если эти решения существуют). Эта проблема была исправлена при помощи «мнимого» числа i, определяемого как √21, то есть i3i521. Использование этого числа поначалу являлось сво его рода хитростью, призванной помочь в рас четах, и представлялось весьма противоречивым: Декарт считал слово «мнимый» уничижительным. Однако некоторое время спустя, мнимое число вошло в арсенал математиков наряду со всеми прочими. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Современные математики работают с расширенной системой счисления, которая включает в себя новое «мнимое» число i, равное √21. Математика за 30 секунд 20 g Числа и вычисления Наиболее распространенная сегодня система счисления — десятичная; вавилоняне смотрели на вещи шире, используя шестидесятеричную систему, а сегодня компьютерный код упрощен до двоичной системы счисления. 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Индейцы майя, жившие в Центральной Америке, также пользовались двадцатеричной системой счисления для «долгого счета» своего календаря. Однако вместо обычного для этой системы счета 400 520320 они ввели такой: 18 3205360 — возможно, для того, чтобы выразить приблизительное количество дней в году. Если нам более близка десятичная система, поскольку мы имеем 10 пальцев на руке и легко используем их для счета, возникает вопрос: пользовались ли в таком случае майя преимуществом своей открытой обуви, используя для счета еще и пальцы на ногах? 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Основа системы счисления зависит от количества цифр, которые в ней используются. АВТОР ТЕКСТА Ричард Браун 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ГОТФРИД ЛЕЙБНИЦ (1646–1716 ) ДЖОРДЖ БУЛЬ (1815–1864) СВЯЗАННАЯ ТЕОРИЯ НУЛЬ (c. 36) СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Чтобы обозначать числа больше девяти, принято ставить 1 в следующем разряде и повторять счет заново, начиная с 0, в предыдущем разряде. Это правило десятичной системы счисления, или системы счисления с десятичным основанием. Но система с десятичным основанием не всегда была предпочтительной. В древнем Вавилоне использовали для счета систему с шестидесятеричным основанием. Вместо того, чтобы остановиться на 9 и перейти к следующему разряду, они делали остановку на 59. Остатки этой системы сохраняются и в наше время; например, 60 минут в часе, 360 о в окружности. Отголоски существования двенадцатеричной системы счисления отражены в понятии «дюжина» и «гросс» (12 дюжин). Двадцатеричная система была распространена в Европе (в знаменитом Геттисбергском послании Авра ама Линкольна «Восемь десятков и семь лет...» счетной основой как раз является двадцатеричная система счисления). В современных компьютерах используется двоичная сис тема счисления, где фигурируют только 0 и 1. В любой из систем легко производятся действия сложения и умножения; таким образом, можно совершать и алгебраические действия. В следующий раз, когда вас кто-нибудь спросит, сколько будет 1 11, скажите: «10» (ведь в бинарной арифметике так оно и есть)! Математика за 30 секунд 22 g Числа и вычисления На протяжении столетий числа, способные делиться лишь на единицу и самих себя, занимали воображение математиков. Открытие больших простых чисел обрело огромное практическое значение в наши дни. АВТОР ТЕКСТА Дэвид Перри 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ЕВКЛИД (примерно 300 г. до н. э.) КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС (1777–1855) ЖАК АДАМАР (1865–1963) ШАРЛЬ ЖАН ДЕ ЛА ВАЛЛЕ ПУССЕН (1866–1962) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ (c. 30) НАЧАЛА ЕВКЛИДА (c. 94) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ При рассмотрении операции разложения на простые множители кажется очевидным, что, в конце концов, мы пользуемся одним и тем же набором простых чисел. Однако, чем больше знаний приобретается о числе, тем менее очевидным оказывается это утверждение. Это важнейшее явление носит название основной теоремы арифметики. Несмотря на то, что не было выведено ни одной формулы, позволяющей генерировать все возможные простые числа, теорема простых чисел способна дать идею о том, какова составляющая простых чисел от чисел вообще. Большинство целых чисел можно разделить на части. Например, 100 54325. Также является верным равенство 100 52035. Если мы возьмем любое из этих двух равенств и по де лим его множители на еще более мелкие части, то в конечном счете мы придем к разложению на простые множители: 100 :100 52323535. Мы не можем разделить получившиеся множители дальше, поскольку они являются простыми числами, которые делятся только на 1 и сами на себя. Когда математики начали составлять списки простых чисел, они пытались увидеть некую закономерность, однако не обнаружили ее. Тогда они подняли вопрос о том, конечен ли список простых чисел, или все же возможно и дальше пополнять его. Евклид в своих «Началах» приводит весьма тонкое доказательство в пользу существования бесконечного количества простых чисел. Например, 17 463 991 229 — большое число. Как мы можем узнать, что оно простое? Мы можем попытаться разделить его на все возможные меньшие числа и прийти к выводу, что 1 является единственным делителем данного числа, следовательно, оно простое. Однако такой способ займет много времени, и кроме того, существу ют более удобные способы. Самые большие простые числа содержат более 10 000 000 цифр, и для доказательства, что они являются простыми, разработаны весьма хитрые методы. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Простое число — это положительное целое число, которое делится только на единицу и само на себя; больше ни на одно целое число простые числа не делятся. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА Математика за 30 секунд 24 g Числа и вычисления Числа Фибоначчи фигурируют в закономерностях строения генеалогического древа пчел. Каждый трутень имеет лишь одну матку- родителя, тогда как пчела женского пола имеет двоих родителей. АВТОР ТЕКСТА Джейми Поммерсхайм 3-СЕКУНДНАЯ БИОГРАФИЯ ЛЕОНАРДО ПИЗАНО (ФИБОНАЧЧИ) (1770–c. 1250) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ (c. 30) ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ (c. 98) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ В 1202 г. Леонардо Пизано, также известный, как Фибоначчи, в своей книге «Liber Abaci» (Книга Абака) сформулировал загадку о выведении кроликов. Он утверждал, что каждый месяц каждая пара взрослых кроликов производит на свет пару крольчат, которые за месяц становятся взрослыми. Если начать разводить кроликов в январе с одной пары, то к декабрю у вас будет целых 144 пары! В последовательности Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...каждое число представляет собой сумму двух предыдущих чисел. В результате данная последовательность, играющая особую роль в теории чисел, обладает множеством любопытных свойств. Если добавлять числа в последовательность Фибоначчи до определенного момента, то сумма предшествующих ей чисел, кроме последнего, будет меньше ее самой на единицу. Например, сумма чисел последовательности 1 1112131518 меньше числа Фибоначчи 21 на единицу. Квадрат каж дого из этих чисел в ряду Фибоначчи дает произведение двух других чисел последовательности: 1 11141912516458313. Пропорции 1:1, 2:1, 3:2, 5:3, 8:5, ... стремятся к «золотой» пропорции f ≈ 1,618. Если выразить эту пропорцию геометрически, то прямоугольники, длины сторон которых равны числам Фибоначчи, соотносятся между собой, образуя т. н. «золотую» спираль. Задолго до того, как люди проявили интерес к подобным математическим соотношениям, закономерности Фибоначчи были отражены в строении растений. Листья или почки, имеющие спиралеобразную структуру, — например, ананасы, подсолнухи или артишоки — геометрически проявляют соотношение между па рами следующих друг за другом чисел Фибоначчи. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Простое правило — суммировать два предшествующих числа, чтобы получить последующее, — одна из самых распространенных последовательностей чисел. ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ 1 трутень 1 родитель 2 прародителя 3 прапрародителя 5 прапрапрародителей 8 прапрапрапрародителей трутень матка 26 g Числа и вычисления Математика за 30 секунд Треугольник Паскаля дает возможность для решения целого ряда алгебраических задач. АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (1623–1662) ИСААК НЬЮТОН (1643–1727) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ (c. 24) ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (c. 76) ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (c. 80) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Треугольник Паскаля содержит множество удивительных закономерностей. Первая диагональ представляет собой ряд единиц, а вторая — прямую последовательность чисел 1, 2, 3, 4 и т. д. При этом третья диагональ содержит т. н. треугольные числа: 1, 3, 6, 10, 15, ... . Например, если вам нужно сложить шарики в виде треугольника (как, скажем, складывается пирамида в бильярде), то в процессе будут фигу рировать эти числа. Числа Фибоначчи также содержатся в рядах этого треугольника — они представляют собой сумму последовательности «малых диагоналей» — посмотрим, сможете ли вы их обнаружить! Имеется последовательность: (1 1), (1 2 1), (1 3 3 1), (1 4 6 4 1), ... Каким будет следующий член данной последовательности? Эта загадка является важнейшей задачей в алгебре, известной как «раскрытие скобок». Задача решается так: возьмите выражение (1 1x) и умножьте его само на себя. Это дает (1 1x) 2 5112x11x 2 . Троекратное умножение этого выражения на себя дает (1 1x) 3 5113x13x 2 11x 3 . Четырехкрат ное: (1 1x) 4 5114x16x 2 14x 3 11x 4 . Трудности здесь вызывает не столько алгебра, сколько сами числа. Следующее выражение закономерно выглядит следующим образом: (1+ x) 5 511?x1?x 2 1?x 3 1?x 4 11x 5 . Какие же числа сюда подходят? Блез Паскаль на шел ответ с помощью своего знаменитого треугольника. На вершине треугольника находится единица. Ниже, во втором ряду, располагаются две единицы. Идея Паскаля заключалась в том, что треугольник может быть продолжен путем сложения каждой па ры чисел каждого ряда, расположенного выше. Процесс составления данного треугольника прост: только сложение компонентов при полном отсутст вии сложных алгебраических действий. Каждый ряд треугольника Паскаля дает ответ на задачу раскрытия скобок. Так, чтобы найти ответ для выражения (1+ x) 5 , нужно всего лишь прочесть числа в шестом ряду треугольника: 1, 5, 10, 10, 5, 1. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Треугольник Паскаля представляет собой инструмент для решения алгебраических задач. ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ 28 g Numbers & Counting 19 июня, 1623 Родился в Клермоне (в наши дни КлермонФерран) 1631 Переезжает в Париж со своей семьей 1639 Пишет «Опыт о конических сечениях»; семья переезжает в Руан 1642–1645 Конструирует «паскалину», механический калькулятор 1647 Знакомится с Декартом и публикует «Новые опыты, касающиеся пустоты» 1650 Принимает янсенизм 1653 Возвращается к научной работе 1653 Публикует «Трактат о равновесии жидкостей», в которой излагает выведенный им закон о давлении 1654 Ведет переписку с Ферма 1655 Напечатано пособие, где объясняются свойства «треугольника Паскаля»; знакомится с Антуаном Арно, ведущим философомянсенистом 1656–1657. «Письма к провинциалу» в защиту янсенизма 1658 Пишет «Исследование циклоиды» 1668 Начинает работу над «Мыслями», собранием философских и теологических записок 19 августа 1662 Умер в Париже 1670 Посмертно опубликован труд «Мысли» 1779 Опубликован «Опыт о конических сечениях» что не существует такой вещи, как вакуум, что в конце концов привело к написанию Паскалем книги о гидростатике. Также отдельное время он уделил разработке идеи о «треугольнике Паскаля» (см. страницы 26–27) и принципов теории относительности в своей переписке с Пьером де Ферма. За это стоит поблагодарить шевалье де Мере, заядлого картежника: он спросил Паскаля, как бы он разделил ставку, если бы два игрока с одинаковыми возможностями решили покинуть стол посреди игры. В 1646 отец Паскаля заболел; заботу о нем взяли на себя братья-янсенисты из монастыря Порт-Рояль. Паскаль и его сестра были глубоко впечатлены этим и сами приняли янсенизм. В конце своей жизни Паскаль проводил большую часть времени за попытками согласовать веру и разум; его попытки лучше всего представлены т. н. «Пари Паскаля», изложенном в труде «Мысли», собрании философских размышлений, не завершенном при жизни ученого. Пари касалось существования Бога и тому,стоить ли человеку ставить на это утверждение. Паскаль делает выводы в пользу веры в Его существование, рассуждая так, что если Он существует, то вам уже уготовано место на небесах, а если не существует, то вы ничего не теряете. Жизнь Паскаля была коротка, но необычайно плодотворна, хотя на протяжении долгих лет сопровождалась нескончаемой болью (Паскаль страдал от постоянных мигреней, бессонницы и болезни желудка). Однако несмотря на это он сделался выдающимся математиком, физиком, философом и теологом, работая (и скандаля) с величайшими умами своего времени. С 6 лет Паскаль остался без матери и обучался дома; отец запрещал ему изучать математику, и Блез занимался ее освоением втайне. Когда мальчику исполнилось 12, отец его наконец сменил гнев на милость, и молодой Паскаль с еще большим усердием посвящал себя математике; в это время он разработал суммирующую машину, чтобы помочь отцу, который работал сборщиком налогов, в расчетах. «Паскалина» не являлась первым механическим калькулятором, и хотя Паскаль сделал 50 штук, их продажа не принесла больших доходов. Тем не менее, дизайн и принцип работы «Паскалины» произвели величайшее впечатление на Готфрида Лейбница. Будучи уже взрослым, Паскаль постоянно участвовал в словесных перепалках с философом Декартом по поводу теории существования (или отсутствия) вакуума. Декарт ошибочно полагал, БЛЕЗ ПАСКАЛЬ Блез Паскаль g 29 30 g Числа и вычисления Математика за 30 секунд Фигурные числа — одно из направлений исследования в теории чисел; это числа, которые могут быть представлены в виде геометрических фигур. АВТОР ТЕКСТА Дэвид Перри 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ПИФАГОР (570–495 до н. э.) ЕВКЛИД (приблизительно 300 до н. э.) ПЬЕР ДЕ ФЕРМА (1601–1665) К. Ф. ГАУСС (1777–1855) Г. Х. ХАРДИ (1877–1947) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА (c. 22) КОЛЬЦА И ПОЛЯ (c. 88) «НАЧАЛА» ЕВКЛИДА (c. 94) ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА (c. 136) Теория чисел — это исследование интересных свойств, которыми обладают числа. Например, выберите любое простое нечетное число и разделите его на 4. Остаток составит либо 1, либо 3. Если остаток равен 1, то можно найти два квадрата чисел, которые в сумме дают данное простое число. Например, 73 / 4 518 с остатком 1. Соответственно, нахо дим: 73 5916453 2 18 2 . С другой стороны, остаток 3 означает, что как бы тщательно вы ни искали, невозможно найти два квадрата чисел, дающих в сумме данное простое число (например, 7 или 59). Возникает вопрос: почему так? Математиков никогда не устраивало одно лишь открытие подобных любопытных свойств — им всегда нужно было найти доказательство тому, что эти свойства закономерны. Древнегреческие математики на чали исследовать свойства делимости чисел, что в конечном итоге привело к изучению свойств простых чисел. Они также увлекались исследованиями фигурных чисел и их взаимоотношений. Например, имеется определенное количество камней, из которых можно образовать равносторонний треугольник, или квадрат, или пятиугольник, и т. п. Такое число камней называется фигурным. Евклид даже вывел формулу, согласно которой два любых квадрата в сумме образуют третий квадрат. На основании исследований подобных уравнений Пьер де Ферма сформулировал знаменитую великую теорему Ферма. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Теория чисел — это дисциплина, посвященная изучению свойств и отношений различных типов чисел. 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Карл Фридрих Гаусс утверждал, что математика является царицей наук, а теория чисел — королевой математики. 70 лет спустя Г. Х. Харди повторил подобное утверждение, описав математику как область, которая подлежит исследованию с целью обнаружения удивительных и прекрасных истин, область, незапятнанную никакими практическими приложениями. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ > Любое число в квадрате есть сумма двух треугольных чисел: например, 5 2 — это результат сложения 10 и 15. > Сложение последовательных нечетных чисел, начиная с 1, в результате дает квадрат: 8 2 564. g КАК РАБОТАЮТ ЧИСЛА Алгебраическое выражение. Математическое выражение, в котором буквы или другие символы используются в качестве представления чисел. В алгебраических выражениях могут также использоваться арабские числа и любые знаки действия, например, 1 (сложение), 3 (умножение), √ (квадратный корень) и т. п. При этом неважно, насколько сложно алгебраическое выражение, оно всегда имеет только одно значение. Ассоциативность. Свойство операции, проводимой над числами; при котором выражение включает в себя несколько одинаковых операций, и не имеет значения, в каком порядке эти операции выполняются. Например, умножение — это ассоциативное действие, поскольку ( a3b)3c5a3(b3c). Булева логика (булева алгебра). Направление алгебры, в котором логические утверждения представлены алгебраическими уравнениями, где «умножение» и «сложение» (и противоположные им операции) заменены на «и» и «или» (а также «нет»), а числа 0 и 1 заменяются словами «ложь» и «истина» соответственно. Булева алгебра играла и продолжает играть важную роль в развитии компьютерного программирования. 34 g Как работают числа Действительное число. Любое число, выражающее ту или иную величину, расположенное на числовой прямой, или в континууме. К действительным числам относятся раци ональные числа (т. е. числа, которые могут быть выражены в пропорции или обыкновенной дробью) и иррациональные числа (т. е. числа, которые нельзя записать в виде обыкновенной дроби, например, √2), а также трансцендентные числа (например, p). Декартовы координаты. Числа, представляющие позицию точки на графике или карте с координатной сеткой. Координаты задаются значениями, определяющими расстояние точки на горизонтальной ( x) и вертикальной ( y) осях от начала координат, обычно это точка пересечения координатных прямых. Дифференциальное уравнение. Уравнение, включающее неизвестную функцию и некоторые ее производные. Дифференциальные уравнения являются первостепенными инструментами ученых для моделирования физических и механических процессов в физике и инженерии. Квантовая механика. Направление в физике, в котором при помощи математиКАК РАБОТАЮТ ЧИСЛА ГЛОССАРИЙ Глоссарий g 35 ческих формул описываются свойства движения и взаимодействия субатомных частиц; в том числе, например, корпускулярно-волновой дуализм. Коммутативность. Свойство операции, проводимой над числами; при котором порядок членов может изменяться, а результат при этом остается прежний. Например, умножение — это коммутативное действие, поскольку 3 355533. Множитель. Величина, на которую умножается другое число, которое называется множимым. В выражении 3 39527 множителем является 9, а множимым — 3. Монадология. Метафизическая философская теория Готфрида Лейбница, изложенная в его книге «Монадология» (1714). Основана на понятии «монады»; это простейшие субстанции, которые Лейбниц называл «элементами вещей» и каждая из которых запрограммирована на определенную манеру поведения. Переменная. Величина, которая может изменять свое числовое значение. Переменные часто имеют буквенное обозначение (например, x или y), а также часто используются в математических выражениях и уравнениях: 3 x56, где 3 — коэффициент, x — переменная, а 6 — постоянная величина. Степень. Количество раз, которое число, называемое основанием, умножается само на себя. В выражении 4 3 564, называется степенью с основанием 4 и показателем 3. Функция. Значение зависимой переменной, полученное в результате совершения каких-либо действий над независимой переменной (аргументом). Функцию часто записывают в виде f (x). Например, f (x)5x 2 — функция, в которой при каждом значении аргумента x результатом функции будет являться x 2 , т. е. f (5)525, f (9)581, и т. д. Числовая прямая. Визуальное представление всех действительных чисел на горизонтальной шкале, при этом отрицательные числа располагаются слева от нуля, а положительные справа. Большинство числовых прямых содержат обозначения положительных и отрицательных чисел, расположенных через равные промежутки. Математика за 30 секунд 36 g Как работают числа Много шума из ничего — нуль является числом, заслуживающим особого пристального рассмотрения. НУЛЬ АВТОР ТЕКСТА Роберт Фатхауэ 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ БРАХМАГУПТА (598–670) АБУ АБДУЛЛАХ МУХАММАД ИБН МУСА АЛЬ-ХОРЕЗМИ (780–850) ЛЕОНАРДО ФИБОНАЧЧИ (1170–1250) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (c. 20) БЕСКОНЕЧНОСТЬ (c. 38) СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ (c. 40) УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ (c. 42) СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ (c. 44) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ В булевой логике 0 означает «ложь», а в отношении электроприборов 0 — крат кое обозначение отсутствия тока. В физике понятие абсолютного нуля означает минимальный предел температуры. Выражение «меньше нуля» употребляется для обозначения отрицательных чисел и величин. «Обнулить» при бор — это значит привести его к первоначальным настройкам. И наконец, «нулем» часто называют незначительного человека либо предмет, не имеющий особого значения, хотя само качество незначительности трудно применимо к самому нулю — важнейшему и многообразнейшему из всех действительных чисел! В древности некоторые народы — вавилоняне, греки (но только астрономы!), майя — в своих системах счисления использовали нуль в качестве простого заполнителя. Нуль также использовался и в Индии, откуда произошла вся современная система счисления. В 628 году н. э. Брахмагупта написал свою первую книгу, в которой нуль рассматривается как полноценное число, а не заполнитель; здесь же излагаются арифметические правила обращения с нулем и отрицательными числами. В 820 году н. э. Аль-Хорезми принес индийскую систему счисления в исламский мир. В 1202 году Фибоначчи ввел ее в обиход в своей «Книге Абака», распространив знание о нуле и использовании его в Европе. Нуль является единственным числом, которое не положительно и не отрицательно; любое число, не являющееся нулем, называется «ненулевым». Нуль можно прибавить к другому числу: a105a, где a — любое действительное число, а прибавление нуля оставляет его неизменным. Другие правила: a3050, и 0 / a 50, при aÞ0. Существует мнение, что деление числа на нуль равно бесконечности. Однако данное выражение не имеет точно определимого смысла, поэтому математики называют результат деления на нуль неопределенным. Поскольку 0 делится на 2, он является четным числом. Некоторые математики предпочитают начинать счет с 0, а не с 1. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Нуль, символом которого является 0, представляет собой отсутствие величины. К синонимам слова «нуль» относятся «ноль» и «нулевой элемент». 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Все хорошее в конце концов заканчивается — но только не в математике! 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Базз Лайтер, известный герой серии мультфильмов «История игрушек» студии Pixar, гордо заявлял: «В бесконечность и далее!». Однако как бы близко мы ни подобрались к черте бесконечности, мы никогда ее не достигнем, как отважные моряки не достигнут горизонта. Даже число всех субатомных частиц во Вселенной, составляющее ни много ни мало 10 100 (гугол), не намного ближе к бесконечности, чем 1. А чтобы попасть за пределы бесконечности, нужно сначала достигнуть ее. Если бы это кому-то удалось, даже Зенон был бы впечатлен. СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА (c. 16) ИСЧИСЛЕНИЕ (c. 50) КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА (c. 148) 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ЗЕНОН ЭЛЕЙСКИЙ (490–430 до н. э.) ГЕОРГ КАНТОР (1845–1918) АВТОР ТЕКСТА Ричард Браун Математика за 30 секунд Всем известно, что множество натуральных чисел бесконечно, то есть их количество неограниченно. Стоит только допустить, что какое-либо число является наибольшим, как тут же находится еще большее число. Правда и то, что между 0 и 1 находится бесконечное количество чисел, однако и здесь не все так просто. Древнегреческий стоик Зенон подверг исследованию это понятие с помощью ряда парадоксов. В самом известном из них утверждалось, что любое движение невозможно, поскольку при передвижении из пункта А в пункт Б необходимо пройти бесконечное количество промежуточных пунктов, и на прохождение каждого тратится количество времени, выражаемое положительным числом. А поскольку положительные числа в конечном счете составляют бесконечность, то в ограниченное время нельзя никуда попасть. Сегодня мы знаем, где Зенон допустил ошибку (сумма положительных чисел может быть конечной!), однако данный парадокс послужил основой для множества исследований. Определяя значение изменяющейся во времени величины используют бесконечную последовательность постоянно уменьшающихся положительных отрезков времени (т. н. бесконечно малых), так, можно в конечном итоге определить значение велечины в определенный момент времени. 38 g Как работают числа Будет ли конец для всего, что нас окружает? Если верить математикам, то нет. БЕСКОНЕЧНОСТЬ 40 g Как работают числа Математика за 30 секунд Основа всего — сложение и вычитание — были частью жизненного уклада людей с древнейших времен. АВТОР ТЕКСТА Роберт Фатхауэр 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ АРИАБХАТА (476–550) БРАХМАГУПТА (598–670/668) ЛЕОНАРДО ФИБОНАЧЧИ (1170–1250) ИОГАНН ВИДМАН (1462–1498) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫЕ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ (c. 14) СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (c. 20) НУЛЬ (c. 36) УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ (c. 42) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Бесконечное множество чисел можно сложить или вычесть бессчетное количество раз. Последовательность, которая имеет конечный предел называется сходящейся. Простой пример такой последовательности: 1 / 2 1 1 / 4 1 1 / 8 1 1 / 16 1…51. Более наглядно его можно представить так: сначала вы проходите половину комнаты, затем половину оставшегося расстояния до стены (т. е. 1 / 4 всего расстояния), потом половину этого расстояния ( 1 / 8 ), и т. д. Удивительные результаты дают некоторые бесконечные последовательности. Например, 1 2 1 / 3 1 1 / 5 2 1 / 7 1 1 / 9 2 1 / 11 1 1 / 13 2 1 / 15 5 p / 4 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Сложение — это комбинирование двух или более чисел. Вычитание — нахождение разницы между двумя числами. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ Древние народы — египтяне, вавилоняне — пользовались действиями сложения и вычитания еще в 2000-х годах до нашей эры. Индийская десятичная система счисления, наибо лее пригодная для арифметических операций, пришла в Европу благодаря «Книге Абака» Фибоначчи. Ариабхата и Брахмагупта существенно дополнили индийскую математику в 6–7 веках н. э., а символы 1 и 2 впер вые появились в печатном труде Иоганна Видмана в 1489 году. При сложении числа, которые складываются между собой, называются слагаемыми, а результат — суммой. Когда сумма чисел больше 9, производится прием, называемый переносом. Сложение коммутативно, т. е. a1b5b1a; а также ассоциативно: ( a1b)1c5a1(b1c). В результате прибавления нуля к числу получается то же самое число, что подтверждает способность нуля к сложению: a10=a. Вычитание — это действие, противоположное сложению. В вычитании первое число называется уменьшаемым, а второе — вычитаемым; например, в выражении a2b, a — уменьшаемое, a b — вычитаемое. В отличие от сложения, вычитание не является коммутативным либо ассоциативным действием. Так же, как прием переноса используется при сложении чисел, в вычитании столь же необходимым приемом является заем. Математика за 30 секунд 42 g Как работают числа При умножении берут какое-то число и складывают его с самим собой определенное количество раз. При делении, напротив, число разделяется на определенное количество равных долей. АВТОР ТЕКСТА Роберт Фатхауэр 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ АРИАБХАТА (476–550) БРАХМАГУПТА (598–670/668) ЛЕОНАРДО ФИБОНАЧЧИ (1170–1250) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫЕ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ (c. 14) ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ (c. 30) СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ (c. 40) СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ (c. 44) УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ При использовании алгоритмов, действия умножения и деления могут выполняться путем сложения и вычитания соответственно. Это возможно благодаря тому, что умножение или деление чисел, возведенных в степень и имеющих одно основание, осуществляется путем сложения или вычитания показателей степени. До изобретения калькулятора для подобных вычислений широко использовались логарифмические линейки, размеченные соответствующими шкалами. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Умножение — это повторное сложение первого числа с самим собой определенное количество раз. Деление — это операция, выясняющая, сколько раз одно число укладывается в другое. Умножение и деление вызывали жгучий интерес еще со времен древних систем счисления, которые еще не были позиционными: египетская, греческая и римская. Арифметическая и цифровая системы, в конечном итоге вошедшие в употребление в Европе, получили свое развитие в Индии, наиболее важные открытия при этом были сделаны в VI—VII вв. При умножении a3b5c, a называется множителем, b — множимым, а c — произведением; a и b также называют сомножителями. Письменное обозначение умножения включает следующие варианты: a3b, a•b, (a)(b), а также просто ab, наиболее употребляемый математиками. Так же, как и при сложении, перенос появляется тогда, когда произведение чисел больше 9. В выражении a315a, 1 называют мультипликативной единицей. Умножение коммутативно, т. е. a3b5b3a, а также ассоциативно, т. е. ( a3b) 3c5a3(b3c). Деление в свою очередь не обладает ни одним из этих свойств. В выражении a4b5c, a — это делимое, b — делитель, a c — частное. Математики предпочитают записывать операцию деления как a/b, а не a4b. Т. н. деление столбиком — это алгоритм деления, представляющий делимое, делитель и частное в виде таблицы. Математики утверждают, что при делении любого числа на 0, результат будет неопределенным, поскольку, строго говоря, деление на 0 не имеет никакого смысла. Математика за 30 секунд 44 g Как работают числа Тогда как логарифмический рост приводит к резкому уменьшению числа, рост степени приводит к его взрывному увеличению. СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ АВТОР ТЕКСТА Дэвид Перри 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ДЖОН НЕПЕР (1550–1617) ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707–1783) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА (c. 16) УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ (c. 42) ФУНКЦИИ (c. 46) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ В XVI веке математик Джон Непер первым использовал термин «логарифм» для обозначения действия, обратного возведению в степень, и составил таблицу значений для расчета логарифмов. Возможно, вы замечали на калькуляторах кнопку log 10 ( x) (логарифм по основанию 10), а также ln( x) — обозначение «натурального логарифма». Основание этого логарифма — число между 2 и 3, обозначаемое e, особое число, как и p, часто встречающееся в физических, биологических и экономических формулах. Если каждую неделю я буду класть £ 1 в мою свинку-копилку и вести учет моих накоплений, то в итоге я буду отслеживать некую сумму, которая возрастает линейно (т. е. равномерно). Если еженедельно я буду класть £ 1 на счет в банке под проценты, то сумма будет возрастать в геометрической прогрессии. Иной банк может позволить мне накопить 100 % от моего вклада, т. е. вместо £ 1 в конце года я получу £ 2. Если я не стану класть дополнительных средств на счет, а буду только дожидаться накопления процентов, то каждый год сумма будет возрастать вдвое, и после трех лет у меня будет £ 8, потому что 2 323252 3 58. Через 4 года сумма на счете составит £ 16, и т. д. В выражении 2 3 58, постоянный множитель 2 называется основанием; показатель 3 — число раз, которое мы умножаем основание 2 само на себя. Естественно, возникает вопрос, как обратить эту операцию. Что, если мне известна конечная сумма, но хочется узнать, за сколько лет она накопится? Действием, противоположным возведению в степень, является логарифм: log 2 8 53. В общем, функция log 2 говорит о том, в какую степень возвести 2, чтобы получить x. В примере с банком, где сумма на моем счете удваивается каждый год, данная функция говорит мне, сколько лет займет накопление процентов на сумму. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Возведение в степень — это краткая запись многократного умножения какого-либо числа. Логарифм относится к возведению в степень так же, как деление к умножению  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |