Статистика 1 курс матерал для семинара. Лекция Элементы математической статистики

ЯГМУ
Медицинская физика
Лечебный факультет
1 курс
Лекция
«Элементы математической статистики»

1
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, ЕЕ ОСОБЕННОСТИ, ВИДЫ,
ЗАДАЧИ.
Понятие "статистика" происходит от латинского слова "status", которое в переводе означает - положение, состояние, порядок явлений.
Развитие политической арифметики (Англия) и государствоведения
(Германия) привело к появлению науки статистики.
В научный оборот термин "статистика" введен математиками
Геттингенского университета в 18 веке. (Готфрид Ахенваль (1719-1772)).
В настоящее время существует около 150 определений статистики как научной дисциплины. Одно из лучших определений статистики дал австрийский математик Абрахам Вальд: «Статистика – это совокупность методов, которые дают нам возможность принимать оптимальные решения в условиях неопределенности».
Из различных определений статистики для практической медицины наиболее применимо следующее:
"Статистика - это наука о сборе, классификации и количественной оценке данных с целью получения достоверных выводов, прогнозов и решений".
Статистика изучает случайные массовые явления. Массовые явления - это явления, которые встречаются в больших количествах, но отличаются друг от друга величиной определенного признака. Чем больше количество объектов взято для исследования, тем достовернее статистические выводы.
Статистика состоит из теоретической (общей) статистики и прикладной
(экономической, социальной, отраслевой) статистики.
К отраслевым статистикам относится метеорологическая (статистика прогноза погоды), транспортная, экономическая, биологическая, медицинская.
Теоретическую статистику делят на описательную (дескриптивную) и аналитическую (индуктивную).
Описательная статистика - это статистика сбора общих данных. Она представляет собой совокупность методов сбора, группировки, классификации исходных данных и представлении их в удобном, для последующей обработки, виде (таблицы, графики).
Аналитическая статистика - это статистика выводов и прогнозов на основе математической обработки результатов, предоставленных описательной статистикой. Она включает в себя методы получения различных статистических заключений и выводов с целью их практического применения.
Медицинская статистика - это отраслевая статистика, комплекс методов прикладной статистики, которые применяются в научной, практической медицине и здравоохранении.
Основные задачи медицинской статистики:

2
✓ статистика рождаемости и смертности;
✓ статистика заболеваемости;
✓ статистика деятельности учреждений здравоохранения.
Вместе описательная и аналитическая статистики решают следующую задачу:
✓ сбор данных и описание их в удобном для статистической обработки виде;
✓ обработка результатов методами теоретической (общей) статистики;
✓ анализ полученных результатов, прогнозирование, выработка оптимальных решений.
2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПИСАТЕЛЬНОЙ СТАТИСТИКИ И ИХ
ХАРАКТЕРИСТИКА.
К основным понятиям описательной статистики относятся:
✓ статистическая совокупность (генеральная и выборочная);
✓ объем совокупности;
✓ статистический вариант;
✓ статистический признак;
✓ статистическая частота (абсолютная частота);
✓ частость (относительная частота).
Статистическая совокупность - это множество объектов, объединенных по какому-либо признаку для статистического изучения.
Виды совокупностей:
1. Генеральная совокупность (конечная или бесконечная).
2. Выборочная совокупность (выборка).
Генеральная совокупность - это совокупность всех объектов выбранного для исследования статистического множества.
Конечная генеральная совокупность – статистическая совокупность, в которой количество изучаемых объектов с данным признаком ограничено.
Пример: количество студентов в академии, жителей в городе, число измерений в опытах.
Бесконечная генеральная совокупность - это статистическая совокупность, в которой число объектов равно бесконечности. Используется в теоретических расчетах как математическая абстракция.
Выборочная совокупность (выборка) - это часть генеральной совокупности, взятая для статического изучения.
Объем совокупности - это количество объектов, входящих в совокупность.

3
Объем генеральной совокупности обозначается символом N, а выборочной -
n.
Статистический вариант - это объект совокупности, отдельное наблюдение или измерение.
Варианты обозначаются латинскими буквами x, y, z c подстрочными индексами, указывающими номер варианты.
Пример: х
1
- объект или измерение номер один,
х
2
- объект или измерение номер два и т.д.
Вариант без указания номера называется обобщенный вариант и обозначается латинской буквой с подстрочным буквенным индексом, например, x
i
.
Варианты (объекты) статистической совокупности характеризуются различными признаками, в том числе теми, на основе которых они объединены в совокупность.
Признак, который меняет свое значение от одного объекта к другому, называется варьирующим признаком, а само явление называется вариация.
Качественные признаки - это признаки, не имеющие количественного выражения. Это неизмеряемые признаки.
Пример: цвет, вкус, запах.
Количественные признаки - это измеряемые признаки, выражаемые определенным числом.
Пример: вес, длина, плотность, температура.
Дискретные количественные признаки - это количественные признаки, которые выражаются целыми числами.
Пример: число студентов в группе, пассажиров в автобусе, лепестков на цветке.
Непрерывные количественные признаки – это количественные признаки, которые выражаются как целыми, так и дробными числами.
Пример: вес арбуза 7 кг, вес дыни 1.7 кг.

4
Интервальный признак - это количественный признак, числовое значение которого лежит в определенных границах, называемых интервалами.
Пример: при измерении роста студентов, можно выделить интервальные группы 160 - 169 см, 170 – 179 см, 180 – 190 см.
Частота встречаемости (абсолютная частота) – число, показывающее, сколько раз объект с данным числовым значением признака встречается в совокупности или ее интервале.
Абсолютною частоту обозначают символом n
i
( µ
i
).
Сумма всех абсолютных частот равна объему совокупности N, для которой подсчитываются частоты: ∑n i
= N
Пример: число лиц мужского и женского пола в группе должно быть равно в сумме количеству студентов в этой группе.
Частость (относительная частота) – число, равное отношению абсолютной частоты к объему совокупности.
Частость обозначают символом f и вычисляют по формуле: в долях единицы: f
i
=
i
n
N
, в процентах: f
i
=
i
n
N
100%
Здесь n
i
- абсолютная частота, N- объем совокупности, равный сумме всех абсолютных частот.
Сумма всех относительных частот равна 1: ∑f
i
= 1
Пример: в студенческой группе из пятнадцати человек (объем совокупности N=15) 12 студенток (абсолютная частота n
1
=12) и 3 студента
(абсолютная частота n
2
=3). Частость f
1
будет равна 12/15, а частость f
2
=3/15. При этом сумма частостей или относительных частот равна единице.
В статистике относительные частоты или частости называют весами.
1. РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ИХ ВИДЫ И СПОСОБЫ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
Ряд распределения - это последовательность чисел с указанием качественного или количественного значения признака и частоты его встречаемости.
Виды рядов распределения классифицируются по разным принципам.
По степени упорядоченности ряды делят на:
✓ неупорядоченные
✓ упорядоченные
Неупорядоченный ряд - это такой ряд, в котором значения признака записаны в порядке поступления вариантов при исследовании.

5
Пример: При исследовании роста группы студентов были записаны его значения в см (175,170,168,173,179).
Упорядоченный ряд- это ряд, полученный из неупорядоченного в котором значения признака перезаписаны в порядке возрастания или убывания. Упорядоченный ряд называется ранжированным, а процедура ранжирования
(упорядочивания) называется сортировкой.
Пример: ( Рост 168,170,173,175,179 )
По виду признака ряды распределения делятся на:
✓ атрибутивные
✓ вариационные.
Атрибутивный ряд - это ряд, составленный на основе качественного признака.
Вариационный ряд - это ряд, составленный на основе количественного признака.
Вариационные ряды подразделяются на дискретные, непрерывные и интервальные.
Вариационные дискретные, непрерывные и интегральные ряды названы по соответствующему признаку, который лежит в основе составления ряда. Например, ряд по размеру обуви является дискретным по массе тела - непрерывным.
Способы представления рядов в практической и научной медицине делятся на три группы:
1.
Табличное представление;
2.
Аналитическое представление (в виде формулы);
3.
Графическое представление.
1. Простейшая таблица представляет собой два столбца или две строки, в одной из которых записаны значения признака x
i
в упорядоченном виде, а в другой - относительная или абсолютная частота его встречаемости n
i
, f
i
Пример: табличное представление оценок в группе x
i
и числа их получивших студентов n
i
x
i
5 4
3 2
n
i
3 8
2
-
2. Графическое представление рядов основано на табличных данных. Графики строят в прямоугольной системе координат, где по горизонтали всегда откладывают значения признака х
i
, а по вертикали абсолютную или относительную частоту n
i
Основные способы представления графиков:
1. Диаграмма в отрезках.
2. Гистограмма
3. Полигон частот.
4. Вариационная (частотная) кривая.

6
Диаграмма в отрезках - это график представления ряда в виде вертикальных прямых-отрезков, положение которых на горизонтали определяется значением признака, а длина отрезка пропорциональна его абсолютной или относительной частоте.
Пример: диаграмма в отрезках для оценок успеваемости группы.
n
i
8 3
2
5 4 3 2 x
i
Обычно диаграммы в отрезках строят для дискретно заданных признаков при небольшом числе вариантов.
Гистограмма - это график в виде ступенчатой фигуры из примыкающих друг к другу прямоугольников, основаниями которых являются интервалы значений признаков, а высоты прямоугольников пропорциональны частоте или частости
(количеству объектов, попавших в интервал). Площади прямоугольников соответствуют численности групп, в данном интервале.
Гистограммы - это графики интервальных рядов. Их строят преимущественно для больших объемов совокупностей.
Пример: Гистограмма нормального распределения эритроцитов в крови человека.
По горизонтали - диаметр клеток х
i
(мк), по вертикали - частота n
i
числа клеток в интервале.
n
i
2 4 6 8 10 12 x
i

7
Полигон (многоугольник) частот - график ряда, представленный ломаной линией точки - вершины которой соответствуют серединам интервалов, а высота точки над горизонталью пропорциональна частоте или частости.
Полигоны строят для непрерывных и дискретных вариационных рядов в тех случаях, когда в интервалах выделены средние значения признака. Полигоны предпочтительнее гистограмм при непрерывных рядах распределения
Пример: полигон частот на основе гистограммы распределения эритроцитов в крови человека.
n
i
2 4 6 8 10 12 x
i
Вариационная (частотная) кривая - график ряда, полученный при условии, что объем совокупности, стремится к бесконечности (N→∞), а длина самого интервала стремится к нулю ( Δх→0 ).
Для практических статистических расчетов в качестве стандартов выделено четыре группы частотных распределений:
1.
Прямоугольное распределение.
2.
Колоколообразное унимодальное (одновершинное) распределение.
3.
Бимодальное (двухвершинное) распределение.
4.
Экспоненциальное распределение: a) нарастающее, b) убывающее.

8
n
i
x
i
x
i
x
i
x
i
Прямоугольному распределению подчиняются случайные равновероятные события.
Колоколообразному симметричному распределению подчиняется широкий класс явлений (показатели умственного и физического развития, рост, масса, и др. ). На практике наиболее часто встречается симметричное унимодальное распределение, поэтому его классическая форма называется нормальным распределением.
Бимодальному распределению соответствует, например, успеваемость студентов, имеющих и не имеющих большого перерыва в учебе.
Экспоненциальному убывающему распределению соответствует распределение доходов в капиталистическом обществе, (частота убывает при возрастании дохода).

9
4. МЕРЫ ПОЛОЖЕНИЯ И МЕРЫ РАССЕЯНИЯ ЧАСТОТНОГО
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКА.
Ряды распределения описываются разными числовыми характеристиками, которые называются мерами. Меры – это числовые характеристики вариационного ряда.
Все меры делятся на три основные группы:
1.
Меры положения.
2.
Меры рассеяния (разброса).
3.
Меры формы.
1. К мерам положения относятся различные средние значения.
Основные меры положения:
1.
Мода Мо.
2.
Медиана Ме.
3.
Средняя арифметическая простая
𝑋
4.
Средняя арифметическая взвешенная
𝑋вз
Более редко используются:
5.
Средняя геометрическая.
6.
Средняя гармоническая.
7.
Средняя квадратичная.
8.
Средняя кубическая.
Мода - величина, значение которой наиболее часто встречается в совокупности.
Медиана - величина, которая делит упорядоченный (ранжированный) ряд распределения пополам. Медиана характеризует середину вариационного ряда и геометрически разделяет площадь под кривые распределения на две равные части.
Для нахождения медианы нужно:
1.
Упорядочить (ранжировать) ряд в порядке возрастания числовых значений.
2.
Найти номер медианы по формулам: для нечетного числа вариантов (нечетного объема выборки)
2 1
+
=
N
Me
; для четного числа вариантов (четного объема выборки)
2
N
Me =
Средняя арифметическая простая
𝑿- величина, полученная суммированием числовых значений всех вариантов с последующим делением суммы на объем совокупности. Средняя арифметическая простая находится по формуле:

10
N
X
N
X
X
X
X
N
i
i
i
n

=
=
=
+
+
+
=
1 2
1
Средняя арифметическая взвешенная
𝑋вз. – величина, полученная суммированием произведений числовых значений вариантов на их частоты с последующим делением суммы на объем совокупности. Формула вычисления средней взвешенной:
1 1 2
2 1
i N
i
i
n
n
i
X n
X n
X n
X n
X âç
N
N
=
=
+
+ +
=
=

Пример: Обследовано 10 семей с числом детей в семье от 1 до 3 человек.
Среднюю арифметическую числа детей в семье вычисляем как среднюю взвешенную соответственно данным таблицы: число детей х
i
1 2
3 число семей с данным количеством детей N
i
5 3
2
Меры рассеяния характеризуют разброс числовых значений вариантов в генеральной или выборочной совокупности относительно средних значений.
К мерам рассеяния относятся:
1.
Вариационный размах R;
2.
Индивидуальное отклонение d;
3.
Дисперсия σ
2
, s
2
;
4.
Стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение) σ, s ;
5.
Коэффициент вариации V.
Вариационный размах - представляет собой разность максимального
X
макс
и минимального Х
мин
числового значений вариантов совокупности:
R = Х
макс
- Х
мин
Индивидуальное отклонение - отклонение числового значения данного варианта X
i
от средней арифметической
X
совокупности:
d = X
i
-
X
.
1 5 2 3 3 2 1.7 10
âç
X
+
+
=
=

11
Основное свойство индивидуальных отклонений: сумма всех индивидуальных отклонений равна нулю.
Дисперсия - мера рассеяния, полученная суммированием квадратов индивидуальных отклонений с последующим делением суммы на объем совокупности.
Дисперсия генеральной совокупности обозначается σ
2
( выборочной s
2
) и вычисляется по формуле:
σ
2
=
N
X
X
X
X
)
(
)
(
2 2
2 1
+
−
+
−
.
Стандартное (среднее квадратическое) отклонение - мера рассеяния равная корню квадратному из дисперсии.
Стандартное отклонение генеральной совокупности обозначается символом σ
( выборки s ) и вычисляется по формуле:
2


=
2
s
s =
Коэффициент вариации - это относительная мера рассеяния, равная отношению стандартного отклонения
s
к средней арифметической
X
Коэффициент вариации обозначается символом V, вычисляется в долях единицы или в процентах по формулам:
X
s
V =
100 100

=
X
s
V
Кроме вышеприведенных числовых характеристик вариационного ряда в статистике существуют и другие, но они в медицине практически не используются.
5. ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД. ВЫБОРКИ, ИХ ВИДЫ И
ОСОБЕННОСТИ.
Выборочный метод - это такой статистический метод, при котором выводы и заключения о характеристиках генеральной совокупности делаются по ее выборке.
Этот метод применяют тогда, когда исследовать всю генеральную совокупность или нецелесообразно из-за больших затрат времени и средств, или невозможно.
Статистические характеристики для генеральной совокупности называется
параметрами. Такие же характеристики для выборок называют оценками
параметров или просто статистиками.
Таблица: СИМВОЛЫ ОБОЗНАЧЕНИЯ ГЕНЕРАЛЬНЫХ

12
( ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ) И ВЫБОРОЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Характеристика
Генеральная совокупность(параметр)
Выборка (оценка параметра)
Средняя арифметическая
μ
X
Дисперсия
Dx, σ
2
S
2
Стандартное отклонение
σ
S
Чтобы характеристики выборки с наибольшей точностью оценивали характеристики генеральной совокупности они должны быть:
2. Состоятельными
3. Несмещенными
4. Эффективными
Состоятельная - это такая оценка, числовое значение которой с увеличением объема выборки стремится к числовому значению оцениваемого параметра.
Несмещенная - это такая оценка, которая не имеет систематической погрешности, среднее значение которой при повторных многократных выборках из той же генеральной совокупности стремится к истинному значению оцениваемого параметра.
Эффективная - это такая оценка, которая имеет наименьшую дисперсию относительно других оценок этого же параметра генеральной совокупности.
Требования к выборкам.
Выборки должны быть репрезентативными и случайными.
Репрезентативность выборки означает, что ее состав и структура должны соответствовать составу и структуре генеральной совокупности, из которой взята выборка.
Случайность выборки состоит в том, что каждый вариант (объект) генеральной совокупности имел одинаковую вероятность и возможность попасть в выборку.
Репрезентативность и случайность на практике обеспечиваются специальными методами отбора вариантов в выборку (например, на основе таблицы случайных чисел).
По объему выборки делят на большие и малые.
Большие выборки имеют объем более 30 вариантов ( n > 30 ).
Малые выборки - это выборки объемом менее 30 вариантов ( n < 30 ).

13
По принципу возврата вариантов в выборку их делят на бесповторные и повторные.
Бесповторные - это такие выборки, в которых вариант после исследования в выборку не возвращается.
Повторные выборки - такие, в которых вариант после исследования возвращается в выборку.
В медицине повторные выборки практически не применяются.
6. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, ЕГО ФОРМУЛА, ГРАФИК,
ОСОБЕННОСТИ.
Нормальное распределение (по имени авторов - распределение ГауссаЛапласа) названо так потому, что оно наиболее часто встречается на практике, и прежде предполагалось, что такое распределение является «нормой» для всех массовых явлений.
Для медицинской практики наиболее важными являются следующие виды нормального распределения:
✓ эмпирическое нормальное распределение;
✓ общее (теоретическое) нормальное распределение;
✓ стандартное нормальное распределение.
Эмпирическое нормальное распределение - это распределение, полученное опытным путем на основе статистического исследования.
Особенность этого распределения в том, что объем его совокупности всегда конечен.
Общее (теоретическое) нормальное распределение - это абстрактная математическая модель, которую используют в качестве стандарта для сравнения с эмпирическим (опытным) распределением по разным статистическим критериям.
Особенность этого распределения в том, что оно построено в предложении, что объем совокупности является бесконечно большим.
Общее нормальное распределение описывается формулой:
2 2
2
)
(
t
e
N
x
f
y
−
=
=


Здесь y=f(x) - функция, равная частоте встречаемости вариантов с данным значением признака;
N - объем совокупности;

14
е и π - математические постоянные, равные 2,71 и 3,14 соответственно;
σ, s – стандартные отклонения ( генеральное - σ, выборочное – s );
t - показатель, который называется «нормированное отклонение» и вычисляется по формуле
i
X
t


−
=
, где
X
i
числовое значение конкретной варианты,
i
X
или μ - средняя арифметическая выборочной или генеральной совокупности.
График общего (теоретического) нормального распределения представляет собой унимодальную (одновершинную) симметричную вариационную кривую.
Эту кривую строят в прямоугольной системе координат, где по горизонтали откладывается текущее числовое значение признака x
i
в порядке возрастания, а по вертикали - значение функции y = f(x), которое соответствует числу объектов (вариантов) с данным числовым значением признака.
График нормального распределения
Y
X
=Mo=Me
σ
2σ
3σ
X
X
Особенности нормального распределения:
1. Кривая распределения симметрична относительно средней арифметической (
X
илиμ ).
2. Чем больше отклоняются числовые значения вариантов от средней арифметической, тем реже такие варианты встречаются в совокупности.
3. Площадь под кривой равна объему совокупности N.

15 4. В пределах площади, отсекаемой перпендикулярами к горизонтали в точках:
/

1

X
/ находится 68.3% всех наблюдений,
/

2

X
/ находится 95.5% всех наблюдений,
/

3

X
/ находится 99.7% всех наблюдений,
/

4

X
/ находится 99.93% всех наблюдений.
5. Для общего (теоретического) нормального распределения средняя арифметическая
X
, мода Mo и медиана Me равны между собой:
X
= Mo = Me.
6.
Смещение кривой по горизонтальной оси определяется числовым значением средней арифметической.
7.
Степень вытянутости кривой по вертикали зависит от значения стандартного отклонения. Чем меньше числовое значение имеет стандартное отклонение σ, тем более острой будет кривая.
Наибольшее значение функции y имеет тогда, когда числовое значение конкретной варианты равно значению средней арифметической x
i
=
X
. При этом величина максимума будет равна


2
N
y =