Методичка Основы теории вероятности. Вероятност... Случайные события 3 Некоторые виды событий 3
 Скачать 467.5 Kb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
 Содержание Случайные события 3 Некоторые виды событий 3 Классическое определение вероятности случайного события 4 Случайные величины 5 Понятие дискретных и непрерывных случайных величин 5 Дискретные случайные величины 6 Основные числовые характеристики дискретной случайной величины 7 Непрерывные случайные величины 8 Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины 8 Нормальный закон распределения (закон Гаусса) 9 Анализ вариабельности сердечного ритма 10 Вариационная пульсометрия 11 Статистические методы 12 Показатели статистического анализа (временной анализ). 13 Вероятностный подход 14 Перечень основных показателей вариабельности сердечного ритма 15 Упражнения 16 Задание 19 Теория вероятностей изучает закономерности, проявляющиеся при изучении результатов таких экспериментов, конкретный результат которых до их проведения невозможно с определенностью предсказать. Например, при однократном подбрасывании монеты нельзя заранее определить, выпадет герб или цифра. Однако результаты многочисленных экспериментов свидетельствуют, что герб и цифра выпадают примерно в одинаковом количестве. Уже этот простейший пример показывает, что, несмотря на случайный характер результата каждого эксперимента, могут существовать некоторые закономерности для результатов множества аналогичных экспериментов. Случайные событияПусть некоторый эксперимент, или, согласно терминологии, используемой в теории вероятностей, испытание, может быть, по крайней мере, теоретически, проведено в одних и тех же условиях неограниченное количество раз. Результатом каждого испытания является тот или иной его исход, называемый событием. Поскольку в теории вероятностей речь идет о таких испытаниях, исход которых не может быть однозначно предопределен, то соответствующие события называют случайными событиями. Например, случайным событием является выпадение цифры 2 при бросании игрального кубика, на гранях которого изображены цифры 1, 2, 3, 4, 5 и 6, наличие (как, впрочем, и отсутствие) некоторого препарата в конкретной, наугад выбранной аптеке в данный момент времени. Иными словами, случайное событие — это такое событие, которое в результате испытания может произойти, а может и не произойти. Случайные события принято обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т.д. Некоторые виды событийОпределение. Событие называется достоверным в данном испытании, если в результате испытания оно обязательно происходит. Например, достоверным является событие, состоящее в извлечении наугад упаковки аспирина из ящика, в котором находятся только упаковки аспирина. Определение. Событие называется невозможным в данном испытании, если оно не может произойти в результате испытания. Например, невозможным является событие, состоящее в извлечении наугад упаковки аспирина из ящика, в котором находятся только упаковки анальгина. Строго говоря, как невозможное, так и достоверное события не являются случайными, поскольку их соответственно ненаступление и наступление предопределены условиями испытания. Любое же из действительно случайных событий, т.е. событий, происходящих в результате испытания не наверняка, по мере возможности своего осуществления находится между событиями невозможными и достоверными. Классическое определение вероятности случайного событияПод вероятностью случайного события в математике понимают меру возможности осуществления данного события в конкретных условиях эксперимента (испытания). Р  ассмотрим некоторую конечную полную группу равновозможных элементарных событий (исходов) т. е. совокупность всех единственно возможных, несовместных и вместе с тем равновозможных результатов некоторого испытания, причем пусть интересующее нас случайное событие A осуществляется тогда и только тогда, когда наступают некоторые из элементарных событий указанной полной группы. Пусть таких событий, благоприятствующих для события A, насчитывается m (естественно, mОпределение. Вероятностью Р(А) случайного события A называется отношение количества m элементарных событий, благоприятствующих событию A, к общему количеству элементарных событий n:  , (1)Поскольку в общем случае 0 0 Пример 1. Найти вероятность того, что при извлечении наугад одной таблетки из коробки, в которой находятся 2 таблетки анальгина, 3 таблетки аспирина и 5 таблеток димидрола, извлеченная таблетка окажется таблеткой аспирина. Решение. Поскольку общее количество элементарных событий (исходов) для данного испытания образует полную группу из n = 10 равновозможных событий (по общему количеству таблеток в коробке), из которых только m = 3 элементарных события (по количеству таблеток аспирина) являются благоприятствующими для интересующего нас события (обозначим это событие через A), по формуле (1) получим:  Случайные величиныОпределение. Случайной величиной называют такую величину, которая в результате эксперимента принимает какое-либо одно значение из множества ее возможных значений, причем до эксперимента невозможно предсказать, какое именно. Случайными величинами являются, например, количество очков, выпадающих при бросании игрального кубика, число посетителей аптеки в течение дня, количество яблок на дереве и т. д. Случайными величинами являются также температура больного в некоторое наугад выбранное время суток, масса наугад выбранной таблетки некоторого препарата, рост наугад выбранного студента и т. д. О    днако с математической точки зрения между такими случайными величинами, как, например, число посетителей аптеки в течение дня (обозначим эту случайную величину X1) и рост наугад выбранного студента из некоторой группы студентов (величина Х2), имеется принципиальное различие, а именно: для величины X1 можно перечислить все ее возможные значения (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...), тогда как для величины Х2 этого сделать нельзя, поскольку эта величина в результате измерения может принять любое значение из отрезка, гдеи — соответственно минимальный и максимальный рост студентов группы. Случайные величины принято обозначать прописными буквами латинского алфавита — X, Y, Z и т. д., а их возможные значения — соответствующими строчными буквами с числовыми индексами. Например, значения случайной величины x обозначают следующим образом: x1, x2, x3 и т. д. Понятие дискретных и непрерывных случайных величинОпределение. Случайная величина называется дискретной, если совокупность всех ее возможных значений представляет собой конечное или бесконечное, но обязательно счетное множество значений, т. е. такое множество, все элементы которого могут быть (по крайней мере, теоретически) пронумерованы и выписаны в соответствующей последовательности. Определение. Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных значений представляет собой некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой оси. Исходя из этих определений, такие из перечисленных выше случайных величин, как количество очков, выпадающих при бросании игрального кубика, число посетителей аптеки в течение дня, количество яблок на. дереве, являются дискретными случайными величинами, а такие, как температура больного в фиксированное время суток, масса наугад выбранной таблетки некоторого препарата, рост наугад выбранного студента, — непрерывными величинами. Дискретные случайные величиныРассмотрим подробнее дискретные случайные величины, причем, как правило, будем ограничивать рассмотрение такими случайными величинами, у которых количество возможных значений конечно. Наиболее полную информацию о дискретной случайной величине дает закон распределения этой величины. Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между всеми возможными значениями этой случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения дискретной случайной величины часто задают в виде двухстрочной таблицы, в первой строке которой перечислены все возможные значения этой величины (как правило, в порядке возрастания), а во второй — соответствующие этим значениям вероятности таблице 1:
Пример 2. Имеется десять студенческих групп, насчитывающих соответственно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 и 11 студентов. Составить закон распределения случайной величины X, определяемой как число студентов в наугад выбранной группе. Решение. Возможными значениями рассматриваемой случайной величины Х являются следующие (в порядке возрастания): 8, 9, 10, 11 и 12. Поскольку случайная величина Х принимает значение, равное 8, в том случае, если наугад выбранной группой окажется группа из 8 студентов (назовем это событием А), вероятность того, что случайная величина Х примет значение  , равна вероятности этого случайного события:  .Вероятность же случайного события А в соответствии с классическим определением вероятности равна  поскольку из 10 групп две насчитывают по 8 студентов.Таким образом, для вероятности значения получаем: .Аналогично можно найти вероятности остальных значений случайной величины X:  что позволяет составить искомый закон распределения (таблица 2):
Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан также с помощью формулы, позволяющей для каждого возможного значения этой величины определить соответствующую вероятность. Основные числовые характеристики дискретной случайной величиныКак уже отмечалось, закон распределения дискретной случайной величины позволяет получить исчерпывающую информацию об этой величине. На практике закон распределения изучаемой величины часто неизвестен, но даже и в тех случаях, когда он известен, для описания определенных особенностей этой величины используют ее так называемые основные числовые характеристики, из которых рассмотрим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение (стандарт). Определение. Математическим ожиданием М(Х) (часто используется также обозначение «  ») дискретной случайной величины Х называется сумма произведений каждого из всех ее возможных значений на соответствующие вероятности: , (3)где индекс i принимает значения 1, 2, 3, ..., п. Пример 3. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины X, определяемой как количество студентов в наугад выбранной группе, используя данные табл. 2 (см. пример 2). Решение. Подставляя данные табл. 8.3 в формулу (3), получим:  Основной смысл математического ожидания дискретной случайной величины состоит в том, что оно представляет собой среднее значение данной величины. Иными словами, если произведено некоторое количество испытаний и по результатам этих испытаний вычислено среднее арифметическое всех наблюдавшихся значений дискретной случайной величины X, то это среднее арифметическое значение приближенно равно (тем точнее, чем больше количество испытаний) математическому ожиданию данной случайной величины. Для характеристики степени разброса возможных значений дискретной случайной величины относительно ее математического ожидания вводят понятие дисперсии дискретной случайной величины. Определение. Дисперсией D(X) (часто используется также обозначение «  ») дискретной случайной величины, называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания: , (4)Непрерывные случайные величиныВ отличие от дискретной величины непрерывную случайную величину невозможно задать в виде таблицы ее закона распределения типа табл. 8.2, поскольку невозможно перечислить и выписать в определенной последовательности все ее значения, а также потому, что вероятность любого конкретного значения непрерывной случайной величины равна нулю. В связи с последним обстоятельством нельзя также задать непрерывную величину с помощью формулы, которая позволила бы для каждого значения этой величины найти соответствующую вероятность. Одним из возможных способов задания непрерывной случайной величины является использование с этой целью соответствующей функции распределения. Определение. Функция F(x), равная вероятности того, что случайная величина Х в результате эксперимента примет значение, меньшее х, называется функцией распределения данной случайной величины:  , (5)Основные числовые характеристики непрерывной случайной величиныПод основными числовыми характеристиками непрерывной случайной величины понимают, как и в случае дискретной случайной величины, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Как и для дискретной величины, математическое ожидание представляет собой среднее значение этой величины, а дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются усредненными характеристиками степени разброса возможных значений этой величины относительно ее математического ожидания. Однако формулы, определяющие математическое ожидание  и дисперсию  непрерывной случайной величины, отличаются от соответствующих формул для дискретной величины и в общем случае имеют соответственно вид: , (6) , (7)Среднее квадратичное отклонение, как и для дискретной случайной величины, определяется формулой:  , (8)Нормальный закон распределения (закон Гаусса)Из известных видов распределения непрерывных случайных величин наиболее часто используют нормальное распределение, описываемое законом Гаусса. Это объясняется как его относительной простотой, так и тем, что многие случайные величины, формирование значений которых определяется большим количеством неконтролируемых факторов, каждый из которых вносит относительно небольшой вклад, имеют распределение, близкое к нормальному. Определение. Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону (закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид  , (9)где —математическое ожидание;  — дисперсия; — среднее квадратическое отклонение этой величины.График плотности вероятности нормального закона распределения (кривая Гаусса) приведен на рис. 1. Этот график симметричен относительно вертикальной прямой  причем в точке функция имеет максимум, равный  .П  оскольку при  функция f(х) стремится к 0, то ось абсцисс является асимптотой графика этой функции.Рисунок 1. График плотности вероятности нормального закона распределения (кривая Гаусса) Анализ вариабельности сердечного ритмаАнализ вариабельности сердечного ритма является методом оценки состояния механизмов регуляции физиологических функций в организме человека и животных, в частности, общей активности регуляторных механизмов, нейро-гумональной регуляции сердца, соотношения между симпатическим и парасимпатическим отделами вегетативной нервной системы. Текущая активность симпатического и парасимпатического отделов является результатом многоконтурной и многоуровневой реакции системы регуляции кровообращением изменяющей во времени свои параметры для достижения оптимального приспособительного ответа, который отражает адаптационную реакцию целостного организма. Адаптационные реакции индивидуальны и реализуются у разных лиц с различной степенью участия функциональных систем, которые обладают в свою очередь обратной связью изменяющейся во времени и имеющей переменную функциональную организацию. Метод основан на распознавании и измерении временных интервалов между R-зубцами электрокардиограммы (R-R–интервалы), построении динамических рядов кардиоинтервалов (кардиоинтервалограммы) и последующего анализа полученных числовых рядов различными математическими методами. Динамический ряд кардиоинтервалов называют кардиоинтервалограммой. Часто используемый термин ритмограмма, более правильно заменить кардиоритмограммой. При анализе динамических рядов кардионтервалов следует различать кратковременные (“короткие”) и долговременные (“длинные”) записи. Под последними, как правило, понимают данные, получаемые при 24-х часовом мониторировании электрокардиограммы (Холтеровское мониторирование). К так называемым “коротким” записям относят данные исследований, проводимых в течение минут, десятков минут или нескольких часов. Динамические ряды кардиоинтервалов могут быть получены при анализе любых кардиографических записей (электрических, механических, ультразвуковых и т.д.), однако в данном документе рассматриваются только данные анализа электрокардиосигналов. Анализ ВСР включает три этапа:
Измерение длительности R-R-интервалов производится аппаратным или программным путем с точностью до 1 миллисекунды. Проблема распознавания R-зубцов ЭКГ в различных аппаратно-программных комплексах решается по разному. Представление динамических рядов кардиоинтервалов осуществляется в числовом или графическом виде. Анализ динамических рядов кардиоинтервалов проводится различными математическими методами, которые можно разделить на три больших класса:
Полученные в результате анализа ВСР числовые значения (показатели ВСР) оцениваются по-разному различными исследователями в зависимости от используемой научно-теоретической концепции. Вариационная пульсометрияСущность вариационной пульсометрии заключается в изучении закона распределения кардиоинтервалов как случайных величин. При этом строится вариационная кривая (кривая распределения кардиоинтервалов – гистограмма) и определяются ее основные характеристики: Мо (Мода), Амо (амплитуда моды), ВАР (вариационный размах). Мода – это наиболее часто встречающееся в данном динамическом ряде значение кардиоинтервала. При нормальном распределении и высокой стационарности исследуемого процесса Мо мало отличается от математического ожидания (М). Амо – (амплитуда моды) – это число кардиоинтервалов, соответствующих значению моды, в % к объему выборки. Вариационный размах (MxDMn) отражает степень вариативности значений кардиоинтервалов в исследуемом динамическом ряду. Он вычисляется по разности максимального (Mx) и минимального (Mn) значений кардиоинтервалов и поэтому при аритмиях или артефактах может быть искажен. В западных работах этот показатель обозначается как TINN (trangular interpolation of NN intervals). При построении гистограмм (или вариационных пульсограмм) первостепенное значение имеет выбор способа группировки данных. В многолетней практике сложился традиционный подход к группировке кардиоинтервалов в диапазоне от 400 до 1400 мс. с интервалом в 50 мс. Таким образом, выделяются 20 фиксированных диапазонов длительностей кардиоинтервалов, что позволяет сравнивать вариационные пульсограммы, полученные разными исследователями. При этом объем выборки, в которой производится группировка и построение вариационной пульсограммы также стандартный – 5 минут. Другой способ построения вариационных пульсограмм заключается в том, чтобы вначале определить модальное значение кардиоинтервала, а затем, используя диапазоны по 50 мс, формировать гистограмму в обе стороны от моды. По данным вариационной пульсометрии вычисляется широко распространенный в России индекс напряжения регуляторных систем (Ин = Амо/2MO* MxDMn). Статистические методыЭти методы применяются для непосредственной количественной оценки вариабельности ритма в исследуемый промежуток времени. При их использовании кардиоинтервалограмма рассматривается как совокупность последовательных временных промежутков – интервалов RR. Статистические характеристики динамического ряда кардиоинтервалов включают: SDNN, RMSSD, PNN5O, CV. SDNN или СКО – суммарный показатель вариабельности величин интервалов RR за весь рассматриваемый период (NN – означает ряд нормальных интервалов “normal to normal” с исключением экстрасистол); СКО – среднее квадратическое отклонение (выражается в мс); SDNN – стандартное отклонение NN интервалов( аналог СКО); SDANN – стандартное отклонение средних значений SDNN из 5 минутных сегментов для записей средней длительности, многочасовых или 24-х часовых записей. Подобным же образом могут обозначаться и стандартные отклонения средних значений других показателей; RMSSD – квадратный корень из суммы квадратов разности величин последовательных пар интервалов NN (нормальных интервалов RR); NN5O – количество пар последовательных интервалов NN, различающихся более, чем на 50 миллисекунд, полученное за весь период записи; PNN5O (%) – процент NN50 от общего количества последовательных пар интервалов, различающихся более, чем на 50 миллисекунд, полученное за весь период записи; CV – коэффициент вариации. Он удобен для практического использовани, так как представляет собой нормированную оценку СКО; CV= СКО\М*100, где М – среднее значение интервалов RR; D, As, Ex – второй, третий и четвертый статистические моменты. D – это СКО в квадрате, отражает суммарную мощность всех периодических и непериодических колебаний. As – коэффициент аcсиметрии позволяет судить о стационарности исследуемого динамического ряда, о наличии и выраженности переходных процессов, в том числе трендов. Ex – коэффициент эксцессивности отражает скорость (крутизну) изменения случайных нестационарных компонентов динамического ряда и отражает наличие локальных нестационарностей. Показатели статистического анализа (временной анализ).– СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ (СКО, SD). Вычисление СКО является наиболее простой процедурой статистического анализа ВСР. Значения СКО выражаются в миллисекундах (мс). Нормальные значения СКО находятся в пределах 40–80 мс. Однако эти значения имеют возрастно-половые особенности, которые должны учитываться при оценке результатов исследования. Рост или уменьшение СКО могут быть связаны как с автономным контуром регуляции, так и с центральным (как с симпатическими, так и с парасимпатическими влияниями на ритм сердца). При анализе коротких записей, как правило, рост СКО указывает на усиление автономной регуляции, т.е. рост влияния дыхания на ритм сердца, что чаще всего наблюдается во сне. Уменьшение СКО связано с усилением симпатической регуляции, которая подавляет активность автономного контура. Резкое снижение СКО обусловлено значительным напряжением регуляторных систем, когда в процесс регуляции включаются высшие уровни управления, что ведет к почти полному подавлению активности автономного контура. Информацию по физиологическому смыслу аналогичную СКО можно получить по показателю суммарной мощности спектра - ТP. Этот показатель отличается тем, что характеризует только периодические процессы в ритме сердца и не содержит так называемой фрактальной части процесса, т.е. нелинейных и непериодических компонентов. – RMSSD – показатель активности парасимпатического звена вегетативной регуляции. Этот показатель вычисляется по динамическому ряду разностей значений последовательных пар кардиоинтервалов и не содержит медленноволновых составляющих сердечного ритма. Он отражает активность автономного контура регуляции. Чем выше значение RMSSD, тем активнее звено парасимпатической регуляции. В норме значения этого показателя находятся в пределах 20-50 мс. Аналогичную информацию можно получить по показателю pNN50, который выражает в % число разностных значений больше чем 50 мс. – ИНДЕКС НАПРЯЖЕНИЯ РЕГУЛЯТОРНЫХ СИСТЕМ (ИН) характеризует активность механизмов симпатической регуляции, состояние центрального контура регуляции. Этот показатель вычисляется на основании анализа графика распределения кардиоинтервалов – вариационной пульсограммы. Активация центрального контура, усиление симпатической регуляции во время психических или физических нагрузок проявляется стабилизацией ритма, уменьшением разброса длительностей кардиоинтервалов, увеличением количества однотипных по длительности интервалов (рост АМо). Форма гистограмм изменяется, происходит ее сужение с одновременным ростом высоты. Количественно это может быть выражено отношением высоты гистограммы к ее ширине (см. выше). Этот показатель получил название индекса напряжения регуляторных систем (ИН). В норме ИН колеблется в пределах 80-150 условных единиц. Этот показатель чрезвычайно чувствителен к усилению тонуса симпатической нервной системы. Небольшая нагрузка (физическая или эмоциональная) увеличивают ИН в 1,5-2 раза. При значительных нагрузках он растет в 5-10 раз. У больных с постоянным напряжением регуляторных систем ИН в покое равен 400-600 условных единиц. У больных с приступами стенокардии и инфарктом миокарда ИН в покое достигает 1000-1500 единиц. Вероятностный подходВзаимоотношения меры порядка и меры хаоса в организации ритма сердца могут быть оценены по информационным показателям, вычисляемым по формуле общей энтропии:  , где pi– вероятность попадания в тот или иной класс кардиоинтервалов,i – номер класса кардиоинтервалов, m – количество классов кардиоинтервалов. Максимальную энтропию вычисляют по формуле H0=log2m, где m – число классов межпульсовых интервалов. Относительную энтропию или коэффициент сжатия h определяют как отношение общей и максимальной энтропии  , а коэффициент избыточности D – как отношение разности максимальной и общей энтропии к максимальной энтропии  или D=1-h. Нормированную энтропию определяют по формуле  , где N – количество кардиоинтервалов.Перечень основных показателей вариабельности сердечного ритма
Упражнения
а) мальчиков нет; б) 4 мальчика; в) все дети — мальчики.
ЗаданиеПроанализировать массив R-R –интервалов, применяя статистический, графический и вероятностный подход.  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
, где 
и средним квадратическим отклонением 
, найти вероятность того, что у произвольно выбранного человека уровень рН находится между 7,3 и 7,5.
см и дисперсией 
см2 , найти вероятность того, что рост произвольно выбранного студента окажется в пределах от 180 до 190 см.