Строительная механика с примерами решения задач. Внутренние и внешние (опоры) связи
 Скачать 6.16 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
С. Задача 2 Построить эпюры внутренних усилий для балки.  Консольная балка 1) Определяем реакции в опорах:  2) Строим эпюру изгибающих моментов М:  3) Строим эпюру поперечных сил Q:  С. Задача 3 Построить эпюры внутренних усилий для однопролетной ломаной балки.  Ломаный стержень1) Определяем реакции в опорах:  Проверка:  2) Строим эпюру изгибающих моментов М:  3) Строим эпюру поперечных сил Q:  4) Строим эпюру продольных сил N:  С. Задача 4 Построить эпюры внутренних усилий для консольной ломаной балки.  Ломаная балка 1) Определяем реакции в опорах:  2) Строим эпюру изгибающих моментов М:  3) Строим эпюру поперечных сил Q:  4) Строим эпюру продольных сил N:  Расчет многопролетных балок Расчет статически определимой многопролетной балки при расчете сооруженийнеобходимо начинать с анализа взаимодействия отдельных ее элементов и построения «поэтажной схемы» многопролетной балки.  Поэтажные схемы для многопролетных балок Проверку на геометрическую неизменяемость и статическую определимость для многопролетной балки выполняют по основной формуле кинематического анализа. При построении поэтажной схемы в многопролетной балке выделяют основные и вспомогательные балки. Виды основных балок:  Виды основных балок Вспомогательную балку можно удалить из многопролетной балки без нарушения неизменяемости оставшейся части, поэтому вспомогательную балку можно рассчитать независимо от оставшейся части, причем ее опорные реакции будут служить внешними силами для оставшейся. Вспомогательные балки опираются на основные и поэтому при построении поэтажной схемы их располагают над основными, т.е. все вышерасположенные балки являются вспомогательными по отношению к нижерасположенным. Соответственно, расчет многопролетной балки начинают с самой верхней вспомогательной балки, представляя ее как статически определимую и геометрически неизменяемую систему. С. Задача 1  Построить эпюры внутренних усилий для многопролетной балки. Строим поэтажную схему для многопролетной балки. Подробнее: С. Задача 1 С. Задача 2  Построить эпюры внутренних усилий для многопролетной балки. Строим поэтажную схему для многопролетной балки. Подробнее: С. Задача 2 С. Задача. Метод матриц  Построить эпюры внутренних усилий и линии влияния для указанного сечения методом матриц. С. Задача 1 Построить эпюры внутренних усилий для многопролетной балки. Строим поэтажную схему для многопролетной балки.  Многопролетная балка Рассчитываем балку Ш2С:  Балка Ш2С Определяем реакции в опорах:  Проверка:  Построение эпюр выполняется как для простой однопролетной балки. Рассчитываем балку Ш1Ш2:  Балка Ш1Ш2 Определяем реакции в опорах:  Проверка:  Рассчитываем балку АШ1:  Балка АШ1 Определяем реакции в опорах:  С. Задача 2 Построить эпюры внутренних усилий для многопролетной балки. Строим поэтажную схему для многопролетной балки.  Многопролетная балка Рассчитываем балку АШ1:  Балка АШ1 Определяем реакции в опорах:  Проверка:  Рассчитываем балку Ш2D:  Балка Ш2D Определяем реакции в опорах:  Проверка:  Рассчитываем балку BC:  Балка BC Определяем реакции в опорах:  Проверка:  Построение линий влияния для балок Кинематический метод построения линий влияния Кинематический способ построения линий влияния для внутренних усилий базируется на принципе возможных перемещений Лагранжа. Сутьданного принципа заключается в том, что для системы, находящейся в состоянии равновесия, сумма работ всех действующих сил на возможных малых перемещениях равна нулю. Для построения линии влияния реакции, поперечной силы или изгибающего момента для заданного сечения балки необходимо удалить связь, линию влияния внутреннего усилия для которой требуется построить, и вместо нее ввести требуемое усилие. Таким образом, заданная система станет механизмом с одной степенью свободы. В направлении рассматриваемого внутреннего усилия вводится бесконечно малое перемещение.Направление этого перемещения должно совпадать с внутренним усилием, чтобы оно совершала положительную работу. На базе принципа возможных перемещений записывается уравнение равновесия, из решения которого и определяется требуемое усилие. Пример: построим линию влияния поперечной силы в сечении k (рис. 1, а). Для этого требуется построить эпюру перемещений балки от единичного смещения по направлению исключенной связи, как показано на рис. 1, б.  Рисунок 1. Линия влияния поперечной силы В рассматриваемом сечении вводится шарнирно подвижная связь и балке в месте приложения этой связи вводится бесконечно малое линейное перемещение δk. Записываем условие равновесия по принципу Лагранжа (знак "+" при совпадении направления силы и перемещения): Р·δР(z)+Qk(z)·δk=0 Qk=- Р·δР(z)/ δk. Поскольку в полученном уравнении знаменатель является числом постоянным (задавалось в начале), то эпюру перемещений балки от единичного смещения по направлению требуемого усилия можно считать линией влияния этого усилия.Кинематический способ построения линий влияния чаще всего используется для построения моделей линий влияния усилий, что позволяют решить задачу об опасном загружении многопролетной балки временной нагрузкой при определении экстремальных усилий. Статический метод построения линий влияния Линия влияния – это линия, представляющая собой зависимость рассматриваемого внутреннего усилия, от перемещения подвижной единичной силы P=1. Ординаты линии влияния показывают изменение рассматриваемого внутреннего усилия, возникающего в конкретной точке на балке, при передвижении единичной силы Р=1 по всей длине балки, в отличии от эпюр, показывающих изменение рассматриваемого внутреннего усилия в различных точка балки при неподвижной внешней нагрузке. Статический метод построения линий влияния основан на составлении уравнений равновесия. При этом подвижная нагрузка считается статической (неподвижной). При построении линии влияния поперечной силы и изгибающего момента рассматривается два случая – сила Р=1 расположена слева и справа относительно рассматриваемого сечения, при этом когда сила Р=1 расположена слева относительно сечения, в расчете используются силы, действующее правее сечения и наоборот. Линии влияния изгибающих моментов (М) и поперечных сил (Q) в характерных сечениях для шарнирно-опертых и консольных балок представлены на рисунках ниже. Примеры с решениями.  Линии влияния изгибающих моментов для шарнирно-опертых балок  Линии влияния поперечных сил для шарнирно-опертых балок  Линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил для консольных балок Построение линий влияния для балок Линия влияния статическим способом строится от подвижной силы Р=1, которая перемещается по всей длине балки. Линии влияния изгибающих моментов (М) и поперечных сил (Q) для различных точек в шарнирно-опертых балок представлены на рисунках 1 и 2, для консольных балок – на рисунке 3.  Рисунок 1. Линия влияния изгибающих моментов для шарнирно-опертой балки  Рисунок 2. Линия влияния поперечных сил для шарнирно-опертой балки  Рисунок 3. Линии влияния внутренних усилий для консольной балки Линии влияния для многопролетных балок строятся, начиная с балки, в которой расположено рассматриваемое сечение, а потом подвижная сила P=1 перемещается по остальным элементам многопролетной балки. Положительные ординаты линий влияния откладываются сверху от нейтральной оси. Значение усилия от внешней нагрузки по линиям влияния определяется по формуле:  где S – требуемое усилие (рассчитывается отдельно для каждой линии влияния); Pi – значение сосредоточенной силы, действующей на балку; уi – ордината на эпюре под сосредоточенной силой; qi – значение распределенной нагрузки, действующей на балку; wi – площадь фигуры, образованной линией влияния и нейтральной осью под равномерно распределенной нагрузкой q; Mi, tgαi – значения изгибающего момента и тангенса угла наклона линии влияния момента к нейтральной оси в месте приложения изгибающего момента. Значения ординат yi и площади фигур wi из соответствующей линии влияния берутся со своими знаками. Сила Pi и распределенная нагрузка qi берутся с плюсом, если направлены вниз как и единичная сила Р=1. Изгибающий момент берется с плюсом, если направлен по часовой стрелке. Тангенс угла наклона линии влияния tgαi будет положительным, если ту часть линии влияния, над которой приложен сосредоточенный момент, до ее совмещения с нейтральной осью необходимо повернуть по часовой стрелке, причем угол поворота менее 90°. С. Задача 1 Построить линии влияния реакций и внутренних усилий для простой однопролетной балки.  Линии влияния для простой однопролетной балки 1) Определяем реакции в опорах. Силу Р=1 "привязываем" к одной из опор (введенная система координат имеет положительные значения в направлении x):  2) Рассматриваем случай расположения силы Р=1 справа от сечения k: Рассматриваем характерные точки: x=0; 4; -5. При этом рассматриваем действие сил, лежащих левее сечения k.  3) Рассматриваем случай расположения силы Р=1 слева от сечения k: Рассматриваем характерные точки: x=4; 6; 9. При этом рассматриваем действие сил, лежащих правее сечения k.  С. Задача 2 Построить линии влияния реакций и внутренних усилий для простой консольной балки.  Линии влияния для консольной балки 1) Определяем реакции в опорах:  2) Рассматриваем случай расположения силы Р=1 справа от сечения k: Рассматриваем характерные точки: x=0; 4. При этом рассматриваем действие сил, лежащих левее сечения k.  3) Рассматриваем случай расположения силы Р=1 слева от сечения k: Рассматриваем характерные точки: x=4; 6. При этом рассматриваем действие сил, лежащих правее сечения k.  С. Задача 3 Построить линии влияния внутренних усилий для простой однопролетной балки.  Линии влияния для простой однопролетной балки 1) Определяем реакции в опорах:  2) Рассматриваем случай расположения силы Р=1 справа от сечения k: Рассматриваем характерные точки: x=0; -2. При этом рассматриваем действие сил, лежащих левее сечения k.  3) Рассматриваем случай расположения силы Р=1 слева от сечения k: Рассматриваем характерные точки: x=0; 4; 6. При этом рассматриваем действие сил, лежащих правее сечения k.  С. Задача 4 Построить линии влияния внутренних усилий для простой однопролетной балки и рассчитать по ним усилия в сечении.  Линии влияния для простой однопролетной балки 1) Определяем реакции в опорах:  2) Рассматриваем случай расположения силы Р=1 справа от сечения k: Рассматриваем характерные точки: x=0; 5; -2. При этом рассматриваем действие сил, лежащих левее сечения k.  3) Рассматриваем случай расположения силы Р=1 слева от сечения k: Рассматриваем характерные точки: x=5; 8. При этом рассматриваем действие сил, лежащих правее сечения k.  4) Определяем усилие в сечении k: - для изгибающего момента Мk:  - для поперечной силы Qk: Полученные значения соответствуют значениям на эпюрах в сечении.  \ Узловая передача нагрузки (многопролетные балки) Внешняя нагрузка на несущую часть строительной конструкции может передаваться через вспомогательные балки (например, в мостах). Основная балка, которая является несущей частью, называется главной балкой. Балки, расположенные перпендикулярно к главной, называются поперечными. Однопролетные балки, к которым непосредственно приложена внешняя нагрузка, называются продольными (вспомогательными). Описанный способ передачи нагрузки на главную балку называется узловым, а точки главной балки, к которым примыкают поперечные балки, называются узлами. Участок балки между двумя соседними узлами называют панелью.  Линии влияния при узловой передаче нагрузки Линии влияния для реакций в опорах балки Ra и Rb строятся аналогичным образом, как и для обычной простой балки. Когда подвижная единичная сила Р=1 действует непосредственно на главную балку линии влияния внутренних усилий строятся как для обычной простой балки, что соответствует случаям, когда единичная сила находится над поперечными балками. Когда единичная сила находится между поперечными балками, линия влияния представляет собой прямую, соединяющую вершины крайних узловых ординат линии влияния рассматриваемой панели, имеющей сечение, для которого строится линия влияния – эта прямая называется передаточной прямой. Алгоритм построения линии влияния при узловой передаче нагрузки: 1) Строится линия влияния как для обычной простой балки; 2) На построенной линии влияния ординаты под узлами панели, имеющей сечение, для которого строится линия влияния, соединяются прямой линией (передаточной прямой). При построении линий влияния для многопролетных балок расчет начинается с балки, которой принадлежит рассматриваемое сечение, а затем переходят к остальным элементам многопролетной балки, причем усилия от единичной нагрузки могут передаваться с основных балок на вспомогательные. На вспомогательных балках линия влияния строится как при узловой передаче нагрузки. Т.е. для многопролетных балок вначале строится линия влияния для балки, в которой находится рассматриваемое сечение, а затем построенная линия влияния продолжается для всех балок вспомогательных к балке с сечением (для вспомогательных линия влияния проводится через ноль на нейтральной оси под шарнирными опорами). Пример задачи с решением. С. Задача 5 Построить линии влияния внутренних усилий для многопролетной балки.  Линии влияния для многопролетной балки  Схемы для построения линий влияния 1) Определяем реакции в опорах балки с сечением I (рис. а):  2) Рассматриваем случай расположения силы Р=1 справа от сечения I: Рассматриваем характерные точки: x=0; 1. При этом рассматриваем действие сил, лежащих левее сечения I.  3) Рассматриваем случай расположения силы Р=1 слева от сечения I: Рассматриваем характерные точки: x=1; 2. При этом рассматриваем действие сил, лежащих правее сечения I.  4) Определяем реакцию в шарнире вспомогательной балки Ш1B, примыкающем к балке с сечением (рис. б):  5) Определяем реакции в опорах балки с сечением I с учетом реакции Rш1 (которую переносим на балку с сечением, меняя направление) (рис. в):  6) Рассматриваем случай расположения силы Р=1 на вспомогательной балке (справа от сечения I): Рассматриваем характерные точки: x1=0; 2; -2. При этом рассматриваем действие сил, лежащих левее сечения I.  Далее расчет ведется по аналогии на базе пунктов 4-6 (рассматриваем расположение силы Р=1 на вспомогательной балке Ш2С). С. Задача 6 Построить линии влияния внутренних усилий для многопролетной балки.  Линии влияния для многопролетной балки Линия влияния для балки с сечением строится как показано в примерах выше. Линии влияния для вспомогательных балок имеют значение 0 в опорах. И могут быть построены графически. Значения на линиях влияния определяются из условия подобия треугольников:  С. Задача. Метод матриц Построить эпюры внутренних усилий и линии влияния для указанного сечения методом матриц.  Расчет многопролетной балки методом матриц 1) Разбиваем балку на равные участки и пронумеруем их границы. При этом точки разбиения балки должны приходится на точки приложения внешних нагрузок, связей в балке. 2) Рассчитываем сосредоточенные силы в каждой точке. Для этого каждый участок рассматриваем как отдельную балку и определяем для нее реакции от внешних нагрузок. На границе двух участков суммируем реакции, направляя полученный результат в противоположную сторону, и определяем сосредоточенную силу в точке на границе двух участков.  Расчет сосредоточенных сил 3) Составляем матрицу нагрузки Р (положительное направление принимаем для силы, направленной вниз):  4) Построим эпюры изгибающих моментов для многопролетной балки для случаев нахождения силы Р=1 в каждой введенной точке.  Эпюры изгибающих моментов от силы Р=1 5) Составляем матрицу влияния моментов LM, каждый столбец которой представляет собой ординаты построенных эпюр изгибающих моментов в введенных точках:  , т.е.:  6) Составляем матрицу влияния поперечных сил LQ. Для этого воспользуемся матрицей перехода KQM от матрицы LM к LQ. Матрица KQM имеет туже размерность, что и матрица LM (в данном примере 15×15).  где d – длина участков, на которые разбита многопролетная балка.  7) Составляем матрицу изгибающих моментов М:  8) Составляем матрицу поперечных сил Q:  9) Строим эпюры изгибающих моментов М и поперечных сил Q. Для этого полученные величины матриц М и Q откладываем в введенных точках. При этом для участка с распределенного нагрузкой необходимо значения эпюры, построенной из матрицы, сложить с эпюрой от распределенной нагрузки в пределах каждого участка с распределенного нагрузкой, рассматривая этот участок как самостоятельную балку на опорах (рисунок 1). При построении эпюр учитываем, что под сосредоточенным моментом должен быть скачок на его величину на эпюре изгибающих моментов, а на эпюре поперечных сил его быть не должно.  Эпюры внутренних усилий  Рисунок 1. Эпюры внутренних усилий для участка с распределенной нагрузкой 10) Построение линий влияния изгибающего момента М и поперечной силы Q. Каждая строка матриц LM и LQ содержит ординаты линии влияния для соответствующего сечения, проходящего через введенную точку. Заданному сечению, находящемуся в 11 введенной точке соответствуют 11 строки матриц LM и LQ.  Линии влияния для сечения k 11) Определяем изгибающий момент М и поперечную силу Q в сечении k по линиям влияния: - изгибающий момент Мk:  - поперечная сила Qk:  Полученные значения соответствуют значениям на эпюрах в сечении. Расчет рам Принципы расчет простой рамы аналогичен расчету простой балки. Единственным отличием является появление горизонтальных реакций в опорах даже от вертикальных нагрузок. Количество степеней свободы плоской стержневой системы определяется по формуле, называемой основной формулой кинематического анализа: W = 3Д – 2Ш – С0 При W=0–система неизменяема и статически определима (т.е. может быть решена путем составления уравнений равновесия). Для определения реакций в опорах применяетсяпринцип освобождения от связей – систему можно освободить от связей, если эти связи (например, опоры) заменить реакциями. Далее составив уравнения равновесия для новой полученной системы определяют величины введенных реакций. Уравнения равновесия для плоской системы можно составить в следующих видах:  В элементах стержневой системы на плоскости могут возникать три вида внутренних усилий: продольная сила N,поперечная сила Q, изгибающий момент M. Положительные значения указанных усилий в зависимости от направления внутренних усилий определяются как на рис. 1:  Рисунок 1. Правило знаков для внутренних усилий Правила для проверки правильности построения эпюр: 1. На участках стержня, на которые действует равномерно распределенная нагрузка q эпюра изгибающих моментов М имеет вид выпуклой (вогнутой) кривой (выпуклость это кривой направлена в ту сторону, куда и направлена распределенная нагрузка), эпюра Q – наклонной прямой. 2. В местах расположения на стержне сосредоточенной силы P на эпюре поперечной силы Q всегда будет перепад на величину этой сосредоточенной силы. В месте расположениясосредоточенного момента на эпюре изгибающих моментов М также всегда будет перепад на величину этого сосредоточенного момента. Расчет составной рамы Составные рамы представляют собой статически определимые геометрически неизменяемые распорные системы. Характерной особенностью распорных систем является наличие горизонтальных составляющих опорных реакций при действии вертикальной нагрузки. Для определения реакций в таких системах составляют два уравнения моментов относительно опорных шарниров и два – относительно ключевого шарнира. Проверкой правильности нахождения реакций служат уравнения равновесия – сумма проекций всех сил на оси X и Y. При составлении уравнений относительно ключевого шарнира рассматриваются отдельно левая и правая части рама, разделенные ключевым шарниром. Если составную раму можно разделить на основную – статически определимую геометрически неизменяемую раму, и вспомогательную (приставную) раму, прикрепленную к основной при помощи шарнира, то ее расчленяют на отдельные рамы по шарниру, вместо которого прикладывают два неизвестных усилия (горизонтальное и вертикальное), причем расчет начинают вести со вспомогательной (приставной) рамы. С. Задача 1  Построить эпюры внутренних усилий для простой рамы. Подробнее: С. Задача 1 С. Задача 2  Построить эпюры внутренних усилий для простой рамы. С. Задача 1  Построить эпюры внутренних усилий для составной рамы. Данную раму разделить на основную (статически определимую и геометрически неизменяемую) и вспомогательную нельзя. Поэтому рассчитываем ее как неделимую систему. Подробнее: С. Задача 1 С. Задача 1 Построить эпюры внутренних усилий для простой рамы.  Простая рама 1) Определяем реакции в опорах:  2) Строим эпюру изгибающих моментов М (построение ведем с любого "свободного" конца рамы):  3) Строим эпюру поперечных сил Q (формула Журавского):  4) Строим эпюру продольных сил N методом вырезания узлов: Рассматриваем узел С:  Рассматриваем узел B:  С. Задача 2 Построить эпюры внутренних усилий для простой рамы.  Простая рама 1) Определяем реакции в опорах:  2) Строим эпюру изгибающих моментов М:  3) Строим эпюру поперечных сил Q:  4) Строим эпюру продольных сил N: Рассматриваем узел D:  Рассматриваем узел G:  С. Задача 3 Построить эпюры внутренних усилий для простой рамы.  Простая рама 1) Определяем реакции в опорах:  Проверка:  2) Строим эпюру изгибающих моментов М:   Эпюра изгибающих моментов 3) Строим эпюру поперечных сил Q:   Эпюра поперечных сил 4) Строим эпюру продольных сил N: Рассматриваем узел D:  Рассматриваем узел G:   Метод вырезания узлов  Эпюра продольных сил С. Задача 4 Построить эпюры внутренних усилий для простой рамы.  Простая рама 1) Определяем реакции в опорах:  2) Строим эпюру изгибающих моментов М:  3) Строим эпюру поперечных сил Q:  4) Строим эпюру продольных сил N: Рассматриваем узел D:  Рассматриваем узел G:   перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |