Главная страница
qrcode

Задачи в курсе математики 5-6 классов


Скачать 37.65 Kb.
НазваниеЗадачи в курсе математики 5-6 классов
Дата18.09.2019
Размер37.65 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файлаЗадачи в курсе математики 5-6 классов..docx
ТипУчебник
#63414
Каталог


Задачи в курсе математики 5-6 классов.

СОДЕРЖАНИЕ


Введение. Функции задач в обучении математики.
  • Классификация задач
  • Методы и способы решения
  • Сравнительный анализ учебников 5-6 классов.
  • Заключение
  • Используемая литература


    Введение.
    Функции задач в обучении математики.


    Развивающие функции задач заключаются в том, что в деятельности решения задач вырабатываются умения применять теоретические знания на практике, выделять общие способы решения, переносить их на новые задачи, развиваются логическое и творческое мышление, внимание, память, воображение.

    Обучающие функции задач можно классифицировать по их месту в обучении материала.
    Классификация задач.

    При обучении математике в средних классах используются следующая классификации:
    По
    методам поиска решения - алгоритмические, типовые, эвристические;
  • По требованию задачи - на построение, вычисление, доказательство;
  • По трудности — легкие и трудные;
  • По сложности - простые и сложные;
  • По применению математических методов - уравнений, подобия, арифметический, алгебраический, графический, практический и т. д.
    Все эти классификации позволяют рассматривать математические задачи под разными углами зрения и уточнять, совершенствовать методику работы с учащимися над задачей.
    1.1. В зависимости от целей классификации выбирают основание для ее проведения и на его основе получают те или иные группы текстовых задач, которые объединяет либо метод решения, либо количество действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, либо схожий сюжет. В зависимости от выбранного основания задачи можно классифицировать:
    По числу действий, которые необходимо выполнить для решения задачи;
  • По соответствию числа данных и искомых;
  • По фабуле задачи;
  • По способам решения и др.
    Положив в основание классификации число действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, выделяют простые и составные задачи. Задачу, для решения которой нужно выполнить одно арифметическое действие, называют простой.

    Пример: Площадь первого поля 27 га, а площадь второго на 4 га меньше. Чему равна площадь второго поля ?

    Задачу, для которой нужно выполнить два или большее число действий, называют составной.

    Пример: В двух пачках 156 тетрадей. Число тетрадей в одной пачке составляет 6/7 числа тетрадей другой пачки. Сколько тетрадей в каждой пачке?

    Решая простую задачу, учащиеся учатся понимать зависимость между величинами и применять то или иное арифметическое действие.

    Выбор действия - самый трудный вопрос при решении простых задач. При решении простой задачи учащиеся, усвоив содержание условия, должны разобраться, в какой зависимости находится искомое и данные числа, и отсюда сделать вывод действия для решения задачи.

    Решение составной задачи сводится к разложению ее на простые задачи и к решению этих простых задач.

    Поэтому к решению составных задач мы приступаем только тогда, когда учащиеся усвоили решение простых задач и когда они имеют достаточные вычислительные навыки.

    2.2. Кроме того задачи можно разделить на стандартные и нестандартные. Нестандартная задача - это задача, решение которой не является для решающего известной целью известных действий. Для ее решения учащийся сам должен изобрести способ решения.

    В каждой нестандартной задаче, как в клубке ниток, можно обнаружить ту ниточку, потянув за которую, можно распутать весь клубок. Такой ниточкой является основная идея решения, один из методов решения, который принято называть эвристиками. Эвристиками называются и отдельные методы решения задач, и учение об общих методах поиска решения задач.

    Наиболее часто используемой эвристикой является метод восходящего анализа - решение задачи с конца, от требования - к условию.
    3.3. Множество задач, в которых имеется одинаковая зависимость между величинами, входящими в эти задачи, при возможном различии их числовых данных и фабул образуют определенный вид задач. Задачи одного вида имеют одну и ту же алгебраическую модель. Положив в основание классификации способы решения задач, можно выделить такие группы задач:
    задачи на тройное правило;
  • задачи на нахождение неизвестных по результатам действий;
  • задачи на пропорциональное деление;
  • задачи на исключение одного из неизвестных;
  • задачи на среднее арифметическое;
  • задачи на проценты и части;
    7. задачи, решаемые с конца, или «обратным ходом».

    При решении задач различными методами используют, как правило, «свою» классификацию задач. Так, при алгебраическом методе решения чаще всего в качестве основания классификации берут фабулу задачи, а при решении арифметическим методом задачи классифицируют по способам их решения. Однако следует отметить, что такое разбиение задач на группы, строго говоря, не является классификацией, так как в этих случаях, с одной стороны, появляются задачи, которые не могут быть отнесены ни к одной из образовавшихся групп, с другой стороны, существуют задачи, которые могут быть отнесены к нескольким указанным группам.

    Вместе с тем с точки зрения учебных целей эти и подобные им «классификации» задач удобны. Они дают возможность выделить наиболее типичные виды задач и усвоить стандартные способы их решения.

    3. Методы решения задач
    Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и т. д.

    1.1.
    Пример: Поют в хоре и занимаются танцами 82 студента, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 студента, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 студентов. Сколько студентов поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый студент занимается только чем-то одним?

    Решение.

    1-й способ.

    1) 82 + 32 +78 = 192 (чел.) - удвоенное число студентов, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;

    2) 192: 2 = 96 (чел.) - поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;

    3) 96 - 32 = 64 (чел.) - поют в хоре;

    4) 96 - 78 = 18 (чел.) - занимаются танцами;

    5) 96 - 82 = 14 (чел.) - занимаются художественной гимнастикой.

    2-й способ.

    1) 82 - 32 = 50 (чел.) - настолько больше студентов поют в хоре, чем

    занимаются художественной гимнастикой;

    2) 50 + 78 = 128 (чел.) - удвоенное число студентов, поющих в хоре;

    3) 128: 2 = 64 (чел.) - поют в хоре;

    4) 78 — 64 = 14 (чел.) — занимаются художественной гимнастикой;

    5) 82 - 64 = 18 (чел.) - занимаются танцами.

    Ответ: 64 студента поют в хоре, 14 студентов занимаются художественной гимнастикой, 18 студентов занимаются танцами.
    2.2
    Пример: Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей больше, то справится с заданием за два дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?

    Решение.

    1-й способ. Пусть х д./день - первоначальная производительность рабочего. Тогда (х + 10) д./день - новая производительность, Зх д. - число деталей, которое он должен сделать. По условию получаем уравнение Зх = 2(х + 10), решив которое найдем х = 20. первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.

    2-й способ.

    Пусть х д. - число деталей, которое должен сделать рабочий. Тогда х/2 д./день - новая производительность, (х/2 - 10) д./день - первоначальная производительность рабочего по условию получаем уравнение х = 3(х/2
  • 10), решив которое найдем х = 60. Рабочий должен сделать 60 деталей, его первоначальная производительность 20 деталей в день.

    Ответ: 20 деталей в день; 60 деталей.

    3.3.
    Пример: Из двух городов А и В, расстояние между которыми 250 км, навстречу друг другу выехали два туриста. Скорость движения первого равна 20 км/ч, второго – ЗО км/ч. Через сколько часов туристы встретятся?

    Решение.

    1-й способ. Математическую модель задачи представим в виде диаграммы. Причем длину одного отрезка по вертикали за 10 км. Длину одного отрезка по горизонтали - за 1 ч. Отложим на вертикальной прямой отрезок АВ, равный 250 км. Он будет изображать расстояние между городами. Для удобства проведем еще одну ось времени через точку В. затем на вертикальных прямых станем откладывать отрезки пути, пройденные каждым туристом за 1 ч, 2 ч, 3 ч и т. д. Из чертежа видим, что через 5 ч они встретятся.

    2-й способ. В прямоугольной системе координат по горизонтали отложим время движения (в часах), по вертикали - расстояние (в километрах).

    Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали - за 1 ч. Построим графики, характеризующие движение каждого туриста. Движение первого туриста определяется функцией v = 20х, второго -у — 250-ЗОх. Абсцисса точки их пересечения (точки О) указывает, через сколько часов туристы встретятся. Из чертежа видно, что ее значение равно 5. Ордината указывает, на каком расстоянии от пункта А произойдет встреча. Ее значение равно 100.

    4.4.5.5. Практический метод. Решить задачу практическим методом - значит найти ответ на требования задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами).

    Пример. Некто истратил 30 р. Своих денег, после чего удвоил оставшиеся деньги. Затем он истратил 60 р., после чего опять удвоил оставшиеся деньги. Когда он еще истратил 90 р., у него осталось 70р. Сколько денег было вначале?

    Решение:

    Чтобы определить, сколько денег было первоначально, возьмем оставшееся количество денег и выполним обратные операции в обратном порядке. Берем оставшиеся 70 р., добавляем к ним истраченные 90 р. (160 р.), затем делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как второй раз удвоили оставшиеся деньги (80 р.). После этого добавляем 60 р. и находим, сколько денег было до того, как истратили 60 р. (140 р.). Делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как первый раз удвоили оставшиеся деньги (70 р.), прибавляем истраченные в первый раз 30 р. и находим первоначальное количество денег (100 р.). Ответ: первоначально было 100 р.
    6.6. Иногда в ходе решения задачи применяются несколько методов: алгебраический и арифметический; геометрический, алгебраический и арифметический; арифметический и практический и т. д. в этом случае считают, что задача решается комбинированным методом.

    Пример. Четыре товарища купили телевизор. Первый внес половину суммы, вносимой остальными, второй - треть того, что внесли все его товарищи, третий - четверть того, что все его товарищи, четвертый - оставшиеся 650 р. Сколько было уплачено за телевизор?

    Решение:

    Пусть первый товарищ внес х р., второй -у р., третий — z р. тогда, решая задачу чисто алгебраическим методом, по условию задачи получим достаточно громоздкую систему трех уравнений с тремя неизвестными.

    Комбинированный метод позволяет получить ответ на требование задачи более простым путем.

    Решение начнем алгебраическим методом.

    Пусть первый товарищ вне х р., тогда все остальные внесли 2х р. Отсюда находим стоимость телевизора: х + 2х = Зх (р.). Значит, первый внес стоимости телевизора. Пусть второй внес у р., тогда все остальные внесли Зу р. Отсюда находим стоимость телевизора: у + Зу = 4у (р.). Значит, второй внес стоимости телевизора.

    Пусть третий внесz р., тогда все остальные внесли 4z р. Отсюда находим стоимость телевизора: z + 4z = 5z (p.). Значит, третий внес стоимости телевизора.

    Продолжим решение арифметическим методом.

    Первый, второй и третий внесли 1/3 + 1/4 + 1/5 = 47/60 стоимости телевизора. Значит, четвертый внес остальные 1 - 47/60 = 13/60 стоимости. По условию это составляет 650 р. Следовательно, телевизор стоит 650 * 60/13 = 3000 р.

    Ответ: 3 ООО р.

    Методы решения могут быть разные, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один.
    4. Сравнительный анализ учебников 5-6 классов
    Два года подряд у меня были 5 классы. С одним классом я использовала учебник «Математика 5» автор Виленкин Н.Я и др. В следующем году на МО учителей математики мы решили перейти на учебник «Математика 5» Зубарева И.И, Мордкович Л.Г.

    Если сравнивать учебники этих авторов, то практически они одинаковы по введению решения текстовых задач в курсе математики.

    Учебник «Математика 5» авторов Виленкин Н.Я. и др. разбит на две главы: натуральные числа и дробные числа. В первой главе присутствуют задачи на все действия с натуральными числами, во второй главе с пониманием смысла дроби связаны три основные задачи на дроби, осознанного решения которых важно добиться от учащихся. Также определенное внимание уделяется решению текстовых задач на сложение и вычитание, данные которых выражены десятичными дробями. Во всех задачах используется самый разнообразный сюжет. Все сюжеты встречаются в жизни: сборка урожая, приготовление пищи, географическая тематика, заполнение емкости водой, нахождение массы тела, длины ленты, ткани и т.д.

    При изучении темы «Отрезок» авторы дают задачи по этой теме, на сравнение и нахождение длины отрезков. В этом же учебнике Виленкин Н.Я. и др. предлагают текстовые задачи, решаемые с помощью у равнений. Почти с самого начала учебника есть задачи на производительность. В учебнике «Математика 5» Виленкин. Н.Я. и др. дают задачи на смеси и сплавы. Со второй четверти дети начинают решать задачи на нахождение площади, периметра, объема геометрических тел. В самом конце учебника авторы вводят понятие «Процент» и решение задач на проценты.

    Учебник «Математика 6» авторов Виленкин Н.Я. и др. тоже разбит на две главы: обыкновенные дроби и рациональные числа. В теме "Умножение и деление обыкновенных дробей" завершается работа над формированием навыков арифметических действий с обыкновенными дробями. Расширение аппарата с действий с дробями позволяет решать текстовые задачи, в которых требуется найти дробь от числа или число по данному значению его дроби, выполняя соответственно умножение или деление на дробь. Представлены задачи на пропорциональные величины. Сюжеты задач имеют такую же направленность как и в 5 классе.

    Задачи в данных учебниках решаются как алгебраическим способом, так и арифметическим.

    В учебнике «Математика 5» авторов Зубарева И.И., Мордкович А.Г. отдельно выделены параграфы для перевода задачи на математический язык и на составление математической модели. Уделяется большое внимание задачам на проценты, которые имеют разный сюжет: сборка урожая; вычисление заработной платы; нахождение площади, отведенной под сельскохозяйственные культуры; определение количества учащихся, посещающих разные кружки, студии и секции; определение количества монет в коллекции нумизмата, марок в коллекции филателиста. Имеются сюжетные задачи на деление фруктов на части.

    С первых параграфов учебника идет решение задач с помощью уравнений, так же на количество, на нахождение массы, на движение, на производительность. В учебнике «Математика 5» Зубарева И.П., Мордкович А.Г. дают изучение отрезков и решение задач на сравнение, и нахождение длины отрезков. При изучении раздела «Геометрические фигуры» решаются задачи на нахождение площади, периметра, объема тел, и задачи на доказательство. В этом же разделе авторы учебника вводят понятие серединного перпендикуляра и решение задач на его нахождение. В данном учебнике решаются текстовые задачи по теме «Масштаб». В конце этого учебника авторы знакомят учащихся с понятием «Процент» и дают задачи на нахождение процентов. В самой последней главе учебника «Математика 5» Зубарева И.И. и Мордкович А Г. вводят задачи на вероятность и комбинаторные задачи. Такие как: «Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8.»

    В учебнике «Математика 6» авторов Зубарева И.И., Мордкович А.Г. встречаются самые разнообразные сюжеты: масса учебников и их количество (имеется в виду учебник определенного наименования); средняя скорость движения и проделанный за определенное время путь; время движения и путь, проделанный с определенной скоростью; средняя скорость движения и время на преодоление определенного расстояния; рост человека и его масса; высота предмета в данной точке земли и тень, которую он отбрасывает при конкретном времени в ясную погоду.

    Сравнивая учебники математики 6-х классов авторов Виленкин Н.Я. и др., Зубарева И.И. и Мордкович А.Г., можно сказать, что к ранее перечисленным текстовым задачам добавляются новые задачи. Например, в учебнике авторов Виленкин Н Я. и др. добавляются задачи на нахождение масштаба, на составление пропорций и задачи на вероятность.

    Например: «Длина отрезка на карте 3 см. найти длину соответствующего отрезка на местности, если масштаб карты 1: 1 ООО ООО.»

    В «Математике 6» Зубаревой И.И. и Мордковича А Г. добавляются задачи, решаемые с помощью пропорции. Образец решения задач такого типа представлен так: «За 6 кг товара заплатили 420 р. какова стоимость 20,4 кг этого товара?»
      Заключение.
      Мы привыкли к учебникам Виленкина Н.Я. и др., которые хорошо излагают материал по изучению текстовых задач в курсе математики 5-6 классов. Изучение тем идет в логической последовательности, учащиеся с легкостью усваивают новый материал и не вызывают трудностей при решении текстовых задач. Но за учебниками «Математика 5,6», по-моему, авторов Зубарева И.И., Мордкович А.Г. будущее. Перевод задач на математический язык и на составление математической модели позволяет легче перейти на язык алгебры в 7 классах. Учебники 7-11 классов Мордковича А.Г. дают возможность лучше подготовить учащихся к сдаче ГИА и ЕГЭ.

        Используемая литература


        Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе Ростов-на-Дону.,2005.
      1. Демидова Т.Е., Гонких А.П. Теория и практика решения текстовых задач -М.,2002.
      2. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика - 5 кл. М.: Мнемозина, 2011.
      3. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика - 6 кл. М.: Мнемозина, 2011.
      4. Математика - 5 кл. / под ред. Виленкина Н.Я., Жохова В.И. - М.: Мнемозина, 2011.
      5. Математика - 6 кл. / под ред. Виленкина Н.Я., Жохова В.И. - М.: Мнемозина, 2011.
      6. Скаткин Л.Н. Обучение решению простых и составных арифметических задач - М.,1963.
      7. Стандарт основного общего образования по математике.
      8. Шевкин А.В. Обучение решению текстовых задач в 5 – 6 классах. – М.: Рус. слово, 2001.
      9. Шевкин, А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики. Математика (приложение к газете "1 сентября"). - 2005. - № 11,17.

        перейти в каталог файлов


    связь с админом