Реферат по дисциплине Вариационные методы и принципы строительной механики ст гр. Суз-1-16 Фомина М. А
 Скачать 142.83 Kb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Институт строительства и архитектуры Кафедра строительной механики Реферат по дисциплине: «Вариационные методы и принципы строительной механики» Выполнила: ст. гр. СУЗ-1-16 Фомина М. А. Проверил: д.т.н, профессор Игнатьев В.А. Волгоград, 2019 Содержание: Введение При проектировании строительных объектов необходимо проводить расчет применяемых строительных конструкций. Особенные трудности возникают при расчете оболочечных конструкций. Тонкостенные оболочечные конструкции находят большое применение в судостроении, самолетостроении, строительстве космических объектов, машиностроении, строительстве. Для придания большей жесткости они подкрепляются ребрами, но по технологическим причинам могут иметь и вырезы. При проектировании облегченных, но высокопрочных объектов и сооружений необходимо исследование устойчивости таких конструкций. Решение проблемы в линейной постановке как задач Эйлера не дает истинной картины деформирования таких конструкций, так как у ребристых оболочек (да и у гладких) вначале может наступить местная потеря устойчивости (прохлопывание части оболочки между ребрами), а затем уже общая. Борьба за уменьшение веса конструкции приводит к необходимости уточнения и усовершенствования математической модели конструкции и выбору устойчивого и наиболее точного алгоритма ее исследования. Это в свою очередь существенно усложняет решения поставленной задачи исследования и требует использования самой совершенной вычислительной техники для ее решения. Вместе с задачей исследования прочности и устойчивости рассматриваемых конструкций должна решаться и задача выбора оптимальных параметров конструкции (числа жесткости ребер, кривизны). В начале XX века в связи с потребностями кораблестроения и особенно, начиная с 30-х годов, в связи с потребностями самолетостроения стала развиваться геометрически нелинейная теория пластин и оболочек. Появилась возможность исследовать устойчивость таких конструкций с учетом нелинейных факторов. В конце 40-х годов основы нелинейной теории оболочек (пологих – Х. М. Муштари, Л. Донелл, В. З. Власов; непологих – В. В. Новожилов) были разработаны. Основные идеи расчета ребристых оболочек были высказаны в конце 40- х годов XX века А. И. Лурье и В. З. Власовым, которые заложили два основных подхода к расчету ребристых оболочек. Как А. И. Лурье, так и В. З. Власов считали, что ребра взаимодействуют с обшивкой по линии. Третий подход к ребристой оболочке основан на «размазывании » жесткости ребер по всей оболочке. Введение ребер по линии упрощает математическую модель оболочки, но приводит к пренебрежению многими важными физическими факторами, что сказывается на точности получаемых решений. Для решения линейных краевых задач, в основном, применяются метод конечных элементов или метод Бубнова – Галеркина. Так как исследование нелинейных математических моделей пластин и оболочек требует применения современной вычислительной техники, то возникает необходимость в разработке эффективных вычислительных алгоритмов и создании программных комплексов для расчета прочности и устойчивости подкрепленных оболочек с учетом геометрической и физической нелинейности, ползучести материала для комплексного их исследования. В данной работе рассмотрены вариационные принципы механики (Лагранжа, Гамильтона – Остроградского, Кастильяно), с помощью которых получаются уравнения равновесия в перемещениях, уравнения движения, уравнения в смешанной форме и естественные краевые и начальные условия. Приводятся различные численные методы (в том числе вариационные), используемые для решения нелинейных задач теории оболочек: как для исследования их прочности и устойчивости, так и для выбора рациональных параметров (жесткости подкреплений, кривизны). Все эти методы могут быть использованы и для расчетов стержневых и пластинчатых конструкций. [3] 2. Сущность вариационных методов решения дифференциальных уравнений Большинство задач теории упругости сводится к интегрированию дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями. Точного решения многих важных для практики задач до сих пор не получено, так как интегрирование дифференциальных уравнений, которым они приводятся, представляет собой большие математические трудности. Поэтому важное значение приобрели вариационные методы, позволяющие эффективно получать приближенные решения дифференциальных уравнений с точностью, достаточной для инженерных расчетов. Сущность вариационных методов заключается в том, что функцию, удовлетворяющую дифференциальному уравнению при заданных граничных условиях, заменяют приближенным аналитическим выражением, подбираемым так, чтобы оно наилучшим образом аппроксимировало эту функцию. В теории изгиба пластинок такой подход позволяет свести интегрирование основного дифференциального уравнения в частных производных к решению системы линейных алгебраических уравнений или к решению обыкновенного дифференциального уравнения. Для приведения основного дифференциального уравнения изгиба пластинки к системе линейных алгебраических уравнений приближенное значение функции прогибов где В зависимости от числа членов ряда решение может быть получено с любой степенью точности. Параметры [5] 3. Вариационный принцип Лагранжа Рассмотрим некоторое тело, загруженное объемными Предположим, что состояние равновесия тела характеризуется компонентами перемещения где - (3) вариация потенциальной энергии деформации тела. Принцип возможных перемещений в формулировке (2) справедлив при любых свойствах материала тела, т. е. при произвольном законе связи между компонентами напряжений и деформаций и при произвольном законе кинематической связи между компонентами перемещений При этом , . Потенциальная энергия деформации такой оболочки будет иметь вид: Найдем первую вариацию функционала (4) и покажем, что выполняется равенство (3): преобразуем выражение: Подставляя полученный результат в (5), получим что подтверждает соотношение (3). Работа внешних сил (поперечной нагрузки q) на перемещении Согласно принципу возможных перемещений Функционал полной энергии деформации оболочки или из которого выводятся уравнения равновесия в перемещениях, называют функционалом Лагранжа. Вариационное уравнение (6) с учетом (7) можно записать в виде Учитывая, что и используя интегрирование по частям, например вариационное уравнение (8) приведем к виду Так как под знаком двойного интеграла GU ,GV ,GW произвольны (не равны нулю), то сомножители, стоящие перед ними в двойном интеграле, должны равняться нулю. Таким образом, получим уравнения равновесия ; Из равенства нулю одномерных интегралов в (9) получаем естественные краевые условия: при при или Вариационный принцип Лагранжа основан на необходимом условии экстремума функционала. [5] 4. Вариационный принцип Кастильяно Принцип возможных напряженных состояний формируется так: если деформация системы согласуется со всеми внутренними и внешни- ми связями, то сумма работ, производимых возможными изменениями всех внешних и внутренних сил на действительных перемещениях тела, равна нулю. Математическая формулировка этого принципа имеет вид Эта зависимость носит название вариационного уравнения Кастильяно. Обозначим где поведение материала тела подчиняется закону Гука, то Напряженное состояние, вариации которого удовлетворяют уравнению (13), отличается от всех других статически возможных напряженных состояний тем, что удовлетворяет не только уравнениям равновесия внутри и на поверхности тела, но и всем условиям сплошности (неразрывности деформаций) по объему тела. Таким образом, если принцип возможных перемещений позволяет вывести уравнения равновесия, то принцип возможных напряженных состояний позволяет вывести все условия сплошности. Получим уравнение совместности деформаций (уравнение сплошности) для тонких оболочек малого прогиба, находящихся под действием поперечной нагрузки находящихся под действием поперечной нагрузки q, используя вариационное уравнение Кастильяно (13), которое запишется в виде Используя соотношения и тот факт, что а также выражение q из третьего уравнения равновесия приведем вариационное уравнение (14) к виду Введем функцию Подставив (16) в (15), интегрируя по частям два раза и учитывая краевые условия (11), (12), сведем уравнение (15) к виду Отсюда получаем уравнения совместности деформаций (сплошности) в виде 5. Метод Ритца – Тимошенко Метод Ритца – Тимошенко основан на использовании известного из курса теоретической механики принципа возможных перемещений: для равновесия системы, подчиненной идеальным удерживающим связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех приложенных к ней сил на всяком возможном перемещении равнялась нулю. Рассматривая отдельно действие внешних и внутренних сил, принцип возможных перемещений можно представить следующим образом: где Пусть тело находится в равновесии под действием объемных сил, составляющие которых Обозначим составляющие возможных перемещений Точно так же элементарные работы составляющих объемных сил Работа, производимая объемными силами во всем объеме тела V, равна интегралу по этому объему от суммы элементарных работ, совершаемых каждой из составляющих: Элементарная работа составляющей поверхностных сил Аналогично определяются и элементарные работы двух других составляющих поверхностных сил: Работа, производимая поверхностными силами, действующими по всей поверхности тела s, равна интегралу по этой поверхности от суммы элементарных работ, совершаемых каждой из составляющих поверхностных сил: Таким образом, работа всех внешних сил на возможных перемещениях ранва сумме работ объемных (18) и поверхностных (19) сил: При вычислении возможной работы внешних сил варьировались только перемещения u, v, и w, а объёмные и поверхностные силы оставались постоянными, поэтому оператор Приращение потенциальной энергии где Полагая в формуле (17) оператор Выражение, стоящее в скобках, представляет собой работу всех внешних и внутренних сил, приложенных к телу. Эта разность с противоположным знаком является потенциальной энергией системы внешних и внутренних сил, действующих на упругое тело: Вводя это обозначение в условие (7), получаем Приращение функции А это означает, что потенциальная энергия системы В курсе теоретической механики доказывается теорема Лагранжа – Дирихле, на основании которой можно сформулировать следующий принцип минимума потенциальной энергии: из всех мыслимых перемещений упругого тела перемещения, удовлетворяющие условиям устойчивого равновесия, сообщают потенциальной энергии системы минимальное значение. Таким образом, потенциальная энергия системы Где потенциальная энергия, накапливаемая в упругом теле, а работа объемных и поверхностных сил согласно формуле (21) составляет При изгибе пластинки объемными силами пренебрегают, а из составляющих поверхностных сил отлична от нуля только одна Если приближенное значение функции прогибов выбирать в виде ряда, то после подстановки этого значения в формулу То после подстановки этого значения в формулу (б) потенциальная энергия системы окажется функцией параметров Определим вид этой функции. Составляющие деформации и напряжений являются линейными функциями параметров Производная квадратичной функции параметров оказывается линейной функцией этих параметров, поэтому условие (г) представляет собой систему Таким образом, метод Ритца – Тимошенко позволяет заменить задачу о нахождении решения дифференциального уравнения изгиба пластинки задачей о нахождении минимума потенциальной энергии. Такая замена возможна в связи с тем, что и указанное дифференциальное уравнение и вариационное уравнение (24) являются уравнениями равновесия упругого тела. Покажем, что последнее включает все дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности. Рассматривая уравнение (24) в форме внесем в него выражения потенциальной энергии и возможную работу всех внешних сил (20) и учтем, что В результате получим: Обратимся в уравнение (27) к первому из тройных интегралов и произведем интегрирование по переменной х. Интегрируя по частям находим Первый интеграл в правой части равенства (28) является поверхностным интегралом второго типа. Его можно преобразовать в поверхностный интеграл первого типа по известной из курса математического анализа формуле: Здесь функции Используя преобразование (29), вместо формулы (28) получаем Аналогично преобразуя и остальные восемь первых тройных интегралов в уравнении (27). После преобразования и группировки по составляющим возможных перемещений вместо уравнения (27) получаем: В записанном уравнении возможны перемещения между собой не связаны, поэтому, чтобы оно обращалось в тождество при любых значениях возможных перемещений, должны обращаться в нуль коэффициенты при возможных перемещениях, стоящие в скобках. Следовательно, получаем шесть уравнений: три первых уравнения представляют собой условия на поверхности, а три других – дифференциальные уравнения равновесия. Таким образом, вариационное уравнение (26) заключает в себе дифференциальные уравнения равновесия и статические граничные условия. Отсюда следует, что при использовании этого уравнения для приближенного решения задач выбранная функция Итак, решение задачи об изгибе пластинки методом Ритца – Тимошенко состоит в следующем. Принимаем приближенное значение функции прогибов Причем функции Затем вычисляем работу внешних сил по формуле (в), а по формуле (б) – потенциальную энергию системы. Для определения параметров Следует заметить, что, хотя удовлетворение статических граничных условий в методе Ритца – Тимошенко не обязательно, функции [5] 6. Метод Бубнова – Галеркина Этот метод не связан с решением вариационной задачи, а связан с решением краевой задачи для дифференциального уравнения, но решение краевой задачи берется в том же виде, как при решении вариационной задачи методом Ритца. Решение уравнения Эйлера по методу Бубнова – Галеркина совпадает с решением соответствующей вариационной задачи методом Ритца. И. Г. Бубнов связывал свой метод с вариационной задачей, а Б. Г. Галеркин применял аналогичный метод непосредственно к краевой задаче для дифференциального уравнения. Рассмотрим следующую краевую задачу: найти решение уравнения где множестве D(L) функций вещественного гильбертова пространства, при условии т. е. нужно найти функциюдифференциальному уравнению (31), а на границе области Г – краевому условию (32). Возьмем приближенное решение в виде где удовлетворяющие краевым условиям (32), а параметры. Подставив (33) в (31), получим невязку решение, то невязка равна нулю. Суть метода состоит в том, что если невязка близка к нулю, то можно считать, что она ортогональна к любой функции ортогональности имеет вид После вычисления интегралов в (34) от известных функций получим систему линейных алгебраических уравнений для нахожденияСходимость метода Бубнова – Галеркина для широкого круга задач (в том числе задач механики) была доказана. В общем случае краевые условия могут иметь вид где функции меньшего порядка, чем в уравнении (31), и тогда решение берется в виде где Например, если условия имеют вид Используя метод Бубнова – Галеркина, можно найти прогиб прямоугольной пластинки (плиты), закрепленной по контуру шарнирно- неподвижно и находящейся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузкиСчитая прогиб пластинки малым, уравнение изгиба можно записать в виде где и коэффициент Пуассона материала пластинки соответственно. Краевые условия имеют вид: при при Исходя из краевых условий (36), (37) аппроксимирующие функции для прогиба в методе Бубнова – Галеркина возьмем в виде Решение примем в виде Согласно методу Бубнова – Галеркина для определения условие После вычисления интегралов от известных функций получим Откуда где Следовательно, Для квадратной плиты Максимальный прогиб (при (принято 7. Метод Власова В. З. Власовым был предложен аналогичный метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений, который позволяет свести краевую задачу для дифференциальных уравнений в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение в этом методе принимается в виде, линейно зависящем от функции одной переменной, а далее выполняется процедура нахождения решения, как в методе Бубнова – Галеркина. Рассмотрим следующую краевую задачу: найти функцию удовлетворяющую в области условиям a по временной переменной решение возьмем в виде где аппроксимирующие функции, удовлетворяющие однородным краевым условиям а Условие ортогональности невязкисистему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций Решив эту систему при заданных начальных условиях по переменной приближенное решение поставленной краевой задачи. В качестве примера рассмотрим динамическую задачу для жестких пластинок. Уравнение движения такой пластины имеет вид где Если пластинка шарнирно-неподвижно закреплена по контуру, то краевые условия будут иметь вид (36), (37). Кроме того, по переменной Получили смешанную задачу для дифференциального уравнения. Для решения этой задачи применим метод Власова, взяв решение в виде При этом будут выполнены краевые условия (36), (37). Условие (44) примет вид После вычисления интегралов по переменным где Таким образом, получили начальную задачу для обыкновенного дифференциального уравнения при условии (46), где Общее решение уравнения (48) имеет вид Произвольные постоянные условия (48). Окончательно получим Таким образом, приближенное решение поставленной динамической задачи имеет вид 8. Метод конечных элементов Метод конечных элементов (МКЭ) получил большое применение в различных областях техники при расчете конструкций и целых сооружений. Его можно рассматривать как один из вариантов вариационных методов. Если в методе Ритца – Тимошенко и Бубнова – Галеркина аппроксимирующие функции задаются на всей области, занимаемой конструкцией, то в МКЭ эти функции задаются свои на каждом элементе, на которые разбивается вся область. Этот метод целесообразно применять для расчетов сложных объектов: целых сооружений, элементов конструкции сложного очертания, составных конструкций. Рассмотрим этот метод на примере определения прогиба жестких прямоугольных плит (пластины). Пусть прямоугольная пластинка испытывает изгиб под действием произвольной поперечной нагрузки Разобьем пластинку на n прямоугольных элементов Рис.3. Разбиение пластинки на конечные элементы Связь конечных элементов между собой осуществляется в узлах (вершинах прямоугольников). В каждом узле задаем по три перемещения (прогиб Потребуем совместности вертикальных перемещений и углов поворота относительно местных осей конечного элемента обозначим через Рис. 2. Прямоугольный конечный элемент Перемещения между узловыми точками на конечном элементе зададим многочленом Функцию а на остальных элементах она берется равной нулю. Полученные выражения для функций прогиба обеспечивают непрерывность прогибов W и их первых производных по x и у между узлами по линии контакта конечных элементов. Так как аппроксимация записана в местной системе координат переход к общей системе координат На всей области, занимаемой пластиной, функция прогиба Теперь к функционалу полной энергии деформации жесткой пластины (Ритца и получим систему алгебраических уравнений (в данном случае линейную) относительно неизвестных узловых перемещений каждого конечного элемента. Эта система будет разрежена, так как функция на всех элементах, кроме можно для ее решения использовать метод прогонки. Как видим, МКЭ совпадает с методом Ритца при дискретной аппроксимации неизвестных функций. [5] Список литературы Власов, В. З. Новый практический метод расчета складчатых покрытий и оболочек / В. З. Власов // Строительная промышленность. 1932. Карпов В.В., Сальников А.Ю. Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчете строительных конструкций/ СПбГАСУ. – СПб., 2009. Петров, В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек / В. В. Петров. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975 Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности./ В. И. Самуль - М.: Высш. Школа, 1982. |
перейти в каталог файлов