Теория познания

СТРЕЛА ВРЕМЕНИ
116
логика и смысл
29
Ошибка
игрока
Монти и Карло уставились на крупье, сгребающего лопаточкой
фишки с зеленого сукна на игорном столе. Они уже некоторое
время не делали ставок, предпочитая смотреть, как развивается
ситуация за столом. Но после того как пять раз подряд выпало
красное, они уже с трудом сдерживались. Наконец терпение
кончается. «Кто не рискует, тот не пьет шампанского» — мысль
неоригинальная, но, вдохновившись ею, оба решают вступить
в игру…
…Делая ставку, Монти думает:
«Красное пять раз подряд! Шестого раза быть не может. Ну, какова вероятность-то? По закону больших чисел должно выпасть черное».
В то же самое время Карло думает:
«А красному сегодня везет! Главное — не упустить удачу. Ставлю на красное».
«Ставки сделаны… Ставок больше нет», — объявляет крупье.
Кто же выиграет, Монти или Карло? Может, Карло, а может, и нет.
Очевидно одно — оба они, как и миллиарды реальных игроков в миро- вой истории (самым древним игральным костям, найденным археоло- гами, около пяти тысяч лет), пали жертвой так называемой ошибки игрока, или ложного вывода Монте-Карло.
«Следующим выпадет черное»
«Следующим выпадет черное»
Монти совершенно прав:
«красное», выпадающее пять раз подряд, это действительно необычно: вероятность (при условии, что игра идет честно и игнорируется около
2750 до н. э.
Ошибка игрока

ошибка игрока
117
вероятность выпадения зеро) составляет
1 к 32, а вероятность выпадения шести красных подряд — 1 к 64. Но эти вероятно- сти верны только
в начале последовательно- сти, до первого оборота колеса рулетки.
Ошибка Монти в том, что относительно редкое событие (пять красных подряд)
уже
произошло и никоим образом не влияет на то, какой цвет выпадет следующим.
Вероятность, что в следующий раз выпадет красное, как всегда, 1 к 2, или 50 : 50.
У колеса рулетки — как и у костей, лотерей- ных шаров и так далее — нет памяти, поэтому учитывать, что уже произошло, в попытке предсказать, что выпадет следующим, — бессмысленно.
Невероятность любого прошлого события или последовательности событий никак не влияет на вероятность события будуще- го. В пренебрежении этим фактом и заклю- чается ошибка игрока.
Ошибочность рассуждений,
приводящих к ошибке игрока,
отлично иллюстрирует
история человека, которого
поймали на попытке пронести
в самолет бомбу.
«Вероятность того, что
в самолете окажется одна
бомба, невелика, — объяснил
он полиции. — Представьте,
насколько маловероятно, что
в самолете окажется еще
одна!»
Казино не обыграешь
Азартные игры в казино должны приносить выгоду самому казино, и обычно существуют небольшие уловки, чтобы изменить вероятность в пользу банка. Например, в рулетке есть одно (в Европе) или два (в США) бесцветных поля, поэтому шансы выигрыша у черного или красного на самом деле несколько меньше, чем 1 к 2. В «двадцать одно» вы должны обыграть банк: получается, 21 очко банка «бьет» 21 очко игрока. Одному игроку вполне возможно однажды выиграть у казино, но в общем и целом казино всегда останется в выигрыше.
1946
Парадокс Берксона
1950
Дилемма заключенного

118
логика и смысл
«Красному везет!»
«Красному везет!»
Разумнее ли рассуждает Карло? На самом деле нет. Как и Монти, он пытается предсказать будущее на основе событий, не имеющих на это будущее никакого влияния. И если прошедшие события действительно случайны, он точно так же совершает ошибку игрока. Но разумеется, это касается только событий действительно случайных. Если лошадь выигрывает скачку четыре раза подряд, разумно предположить, что и в пятый раз она тоже выиграет. Но если при броске монеты двадцать раз подряд выпадает решка, разумней предположить, что с монетой что-то не так (например, она кривая). Точно так же, если в рулетке красное выпадает четыре раза подряд,
можно предположить, что с рулеткой что-то не в порядке и игра идет не честная. С другой стороны, четыре красных подряд — событие не настолько маловероятное, чтобы делать какие-либо выводы о честности игры, основываясь только на нем. Так что при отсутствии иных подтверждений жульничества Карло точно такой же простофиля, как Монти.
‘
Чувствую себя нарушителем
закона больших чисел
’
Билл Молдин,
1945
Покупаете лотерейные билеты?
Лучше начинайте копать...
Какова вероятность, что одинаковая последовательность шести номеров в английской национальной лотерее выпадет два раза подряд? Примерно
1 к 200 000 000 000 000 (200 миллионов миллионов). Вероятность невелика, так что надо быть полным болваном, чтобы выбирать те же цифры, что выпали на прошлой неделе… На самом деле не большим болваном, чем тот, кто выбирает другие шесть цифр. Это еще один случай ошибки игрока: после того, как одна последовательность цифр уже выиграла, вероятность повторного появления той же последовательности не выше и не ниже, чем у любой другой последовательности цифр, — всего-то 14 миллионов к 1. Таким образом, для людей, выбирающих наилучшую стратегию, нет никакой разницы, повторять одни и те же последовательности каждую неделю или регулярно выбирать новые, — разумнее, впрочем, вооружиться лопатой и начать искать клад у себя во дворе.

ошибка игрока
119
В сухом остатке
Вопреки вероятности
Закон больших чисел
В оправдание ошибки игрока часто приводят так называемый закон усредненности. Его смысл сводится к тому, что нечто с большей вероятно- стью произойдет в будущем, поскольку в прошлом оно случалось реже, чем предполагалось (или наоборот). Предполагается, что «на протяжении долгого времени обстоятельства сами собой выравниваются».
Привлекательность такого ложного подхода в его сходстве с настоящим статистическим законом больших чисел. Согласно этому закону, если подбросить монету несколько раз, соотношение выпавших «орлов» и «решек» может сильно отличаться от среднего числа (5 и 5 из десяти бросков); но при большом количестве попыток — скажем, тысяче — соот- ношение будет приближаться к среднему (500 и 500). И чем больше бросков, тем ближе будет соотношение к ожидаемому среднему. Итак, в серии случайных событий равной вероятности соотношение выровняет- ся при достаточной продолжительности серии. Но никакого отношения к вероятности конкретного события этот закон не имеет — монета не знает о предсказанном среднем соотношении и не будет изо всех сил пытаться исправить любые отклонения от него. Неутешительно для игроков.

СТРЕЛА ВРЕМЕНИ
120
логика и смысл
30
Парадокс
сорита
Предположим (если есть такая необходимость), что у вас
на голове много волос — 100 000 волосков. Теперь вырвите один
из них. Вы облысеете от этого? Конечно, нет. Один волосок
ситуации не меняет, 99 999 волос — все равно пышная прическа.
Мы все, разумеется, согласны с тем, что, если вы не лысый, удаление одного волоска не превратит вас в лысого. И если вы вырвете еще один, и еще, и еще… Рано или поздно, при должном упорстве, волос на голове не останется и вы, несомненно, облысеете. То есть, вы совершите переход от состояния бесспорной не-лысости к состоянию бесспорной плешивости в результате серии шагов, каждый из которых сам по себе не имел бы подобного эффекта. Так в какой же момент произошел переход?
Это вариант знаменитой головоломки, обычно приписываемой древнегреческому логику Евбулиду Милетскому, известной как «пара- докс сорита». «Сорит» — от греческого слова «
soros», «куча», поскольку в оригинальной формулировке речь шла о куче песка. В терминах сложения (песчинок), а не вычитания (волос) парадокс выглядит так:
Одна песчинка — не куча.
Если одна песчинка — не куча, то и две — не куча.
Если две — не куча, то и три — не куча.
(И так далее вплоть до…)
Если 99 999 песчинок — не куча, то и 100 000 — не куча.
Следовательно, 100 000 песчинок — не куча песка.
Но этот вывод очевидно не верен. Что же пошло не так? около
350 до н. э.
Виды доказательств около
300 до н. э.
Парадокс сорита

парадокс сорита
121
Проблема неопределенности
Проблема неопределенности
Если вывод получается настолько очевидно бессмысленным, следует перепроверить умозаключения, которые привели к этому выводу. Должна быть ошибка либо в исходной посылке, либо в рассуждениях. Несмотря на древность парадокса, до сих пор нет единого мнения, как же с ним справиться наилучшим образом.
Один из предлагаемых выходов — настаивать, что существует момент, когда добавление одной песчинки меняет ситуацию, что есть точное количество песчинок, после которого куча становится кучей. К сожалению, определить это количество практически невозможно, и любое предложенное число кажется безнадежно субъективным: если 1001 песчинка — уже куча, то почему 999 — еще не куча? Но это фактически пощечина здравому смыслу, с этим невозможно согласиться.
Более многообещающий подход — рассмотреть подробней исходное предпо- ложение, что процесс создания кучи из не-кучи может быть полностью реконструирован в серию отдельных действий по добавлению одной песчинки. Очевидно, что такие шаги присутствуют, но так же очевидно, что ими не ограничивается процесс создания кучи.
Переход кучи в не-кучу — это континуум, следовательно, нет и быть не мо- жет определенной точки перехода одного состояния в другое (по поводу похожей проблемы неопределенности см. с. 87). Это, в свою очередь, помогает разобраться со всеми подобными ситуациями,
Убийственная логика
Парадокс сорита до некоторой степени реализуется на практике куриль- щиками. Курильщик решает, и не без основания, что «следующая сигарета меня не убьет». Следующий логический шаг весьма напоминает парадокс сорита — «следующая после следующей меня тоже, наверное, не убьет». И так далее, но, к сожалению, не до бесконечности. Вполне разумное заключение, что от одной сигареты вреда не будет (но от множества выкуренных сигарет — наверняка), — пиррова победа покойного курильщика. около
1901
Парадокс брадобрея
1973
Теория нечеткой логики
Лотфи Заде

122
логика и смысл к которым применим парадокс сорита: куча песка, лысеющая голова, рост человека, рост благосостояния, прибавление веса и многие другие. Все это, так или иначе, варианты неопределенности, где невозможно провести четкую границу, отделяющую нынешнее со стояние от предыдущего — маленький, бедный, худой и т. д.
Из такого разрешения парадокса следует, что во всех подобных ситуациях возникают пограничные состояния, когда ни один из терминов не подходит к объекту в полной мере.
Возвращаясь к нашему первому примеру — суще- ствуют люди как определенно лысые, так и совершенно не лысые, но вместе с тем есть и много таких, о которых, в зависимости от контекста, можно сказать либо то, либо другое. Бывает так, что человек еще не лысый, но уже не «волосатый». Такие промежуточные
Нечеткая логика
Традиционная логика двоична: утверждение может быть либо «истинно», либо «ложно». Но природная неопределенность некоторых понятий, которую демонстрирует парадокс сорита, показывает ограниченность формальной логики по сравнению с богатым и сложным естественным языком.
Нечеткая логика была разработана математиком Лотфи Заде, чтобы проводить вычисления с неточными значениями. Истина представляется в виде континуума между полной истиной (1) и полной ложью (0). То есть, например, любое «отчасти истинное» или «более-менее истинное» утверждение может быть названо правдивым на 0,8 и ложным на 0,2.
Нечеткая логика оказалась особенно важна для исследований в области искусственного интеллекта, где «разумная» система должна реагировать на неопределенности и нюансы естественного языка
‘
По мере возрастания
сложности системы
наша способность
формулировать точные
и при этом
осмысленные
утверждения о ее
поведении
уменьшается вплоть до
некоторого порога,
за пределами которого
точность и смысл
становятся
практически
взаимоисключающими
характеристиками
’
Лотфи Заде,
1965

парадокс сорита
123
состояния могут быть отнесены к любой из двух «пограничных» групп. Существование промежуточных состояний означает также, что такие утверждения, как «Х — лысый», не всегда можно определить как безоговорочно правдивые или ложные; скорее можно говорить о степенях правды. Это приводит к конфликту естественного языка и точной терминологии классической логики, которой свойственна
бивалентность (любое утверждение может быть либо верным, либо неверным).
Концепция неопределенности предполагает пересмотр всей классической логики и включение в нее элемента неопределенности, присущего естественному языку, — с чего и началось развитие других видов логики.
‘
Не бывает полной правды: любая правда —
полуправда. И недоразумения начинаются,
когда мы пытаемся обращаться с этими
половинками так, будто они целые
’
Альфред Уайтхед,
1953
В сухом остатке
Сколько песчинок нужно
для кучи песка?

СТРЕЛА ВРЕМЕНИ
124
логика и смысл
31
Король
Франции лыс
Предположим, я скажу вам «король Франции лыс».
Вы подумаете, что я чокнутый или просто поразительно плохо
информирован. Но действительно ли это утверждение ложно?
Если так, то (согласно установленному логическому закону)
верно обратное — король Франции не лыс. Что звучит столь же
странно. А может, оба утверждения не истинны и не ложны,
а попросту бессмысленны, хотя, несмотря на свою странность,
они таковыми не кажутся
.
И что, философы правда этим занимаются? — спросите вы. Печально, что люди тратят столько времени, придумывая проблемы на свою голову. В общем, да, именно этим они и занимаются: за последние сто лет многие ведущие философы потратили много часов на размышления о лысине французского короля, хотя страна уже двести лет как республика. Размышления над этой и другими подобными проблемами привели Бертрана Рассела к созданию теории описаний, впервые изложенной в 1905 году в работе «Теория дескрипций». Эта теория, как и многие другие, созданные англоговорящими философами в начале XX века, основывалась на убеждении, что подробный анализ языка и его логики — самый надежный и, возможно, единственный путь познания мира, который этим языком описывается.
Щекотливые вопросы
Щекотливые вопросы
Главный фокус теории описаний
Рассела — лингвистические элементы под названием «описательные выражения»: «первый человек на Луне», «самое маленькое простое число», «высочайшая вершина мира», «нынешняя королева Англии» и тому подобные. С точки зрения грамматики предложения с такими фразами — например, «Первым человеком на Луне был около
300 до н. э.
Парадокс сорита
1078
Онтологическое доказательство

король франции лыс
125
американец» — похожи на так называемые «конструкции субъект-предикат», такие как «Нил Армстронг был американцем». В последнем примере имя собственное «Нил Армстронг» описывает определенный объект (человека) и потом приписывает этому объекту некое свойство (американец).
Несмотря на внешнее сходство имен собственных, попытка обращаться с этими двумя типами утверждений одинаково приводит к массе проблем.
Их-то Рассел и попытался решить в своей работе 1905 года. Он выделил две главные:
1.
Информативное утверждение идентичности. Если А и В идентичны, любое свойство А также является свойством В, и А может заменить В в любом предложении, не повлияв на его истинность или ложность. Георг IV хочет узнать, является ли Вальтер Скотт автором «Уэверли». Поскольку Скотт действительно автор этого романа, вышеописанная замена приводит к тому, что Георг IV пытается узнать, действительно ли Скотт — Скотт.
Но едва ли он хотел узнать именно это. «Вальтер Скотт — автор
“Уэверли”» — информативное предложение, а «Вальтер Скотт — это
Вальтер Скотт» — нет.
2.
Сохранение законов логики. Согласно закону исключенного третьего (одному из законов классической логики), «если А есть В» ложно, то «В не есть А» истинно. То есть если утверждение «король Франции лыс» ложно (что в XXI веке практически не вызывает сомнений), то «король Франции не лыс» должно быть истинно. Но это не так. Если и само утверждение, и отрицание его ложны, логика явно не справляется.
‘
Таким образом, «отец Карла II был
казнен» приобретает вид: «Не всегда
ложно для Х, что Х породил Карла II
и Х был казнен», а утверждение
«если У породил Карла II, то У
совпадает с Х» всегда истинно для У
’
Бертран Рассел,
1905
Это очевидно,
стоит только
пораскинуть
мозгами…
1901
Парадокс брадобрея
1905
Теория описаний
Бертрана Рассела

126
логика и смысл
Решение Рассела
Решение Рассела
Решение каждой из этих проблем, с точки зрения Рассела, заключается в том, что не следует воспринимать описания как замаскированные утверждения. Внешность обманчива: хотя многие приведенные примеры
грамматиче-
ски сформулированы как предложения типа субъект-предикат, логически они таковыми не являются. Определять правдивость или ложность утверждения и подтверждать любой вывод, который мы делаем на данном основании, должна именно логическая структура.
Отбросив модель субъекта-предиката, Рассел предложил считать утверждения c кон- кретными описаниями «экзистенциально количественными». Таким образом, утверж- дение «F есть G» может быть разделено на три отдельных утверждения: «существует F»;
«существует только одно F»; «если нечто является F, тогда оно же является G». С помо- щью подобного анализа Рассел успешно развеял все тайны, связанные с растительно- стью на головах европейских монархов:

перейти в каталог файлов