Историческая методичка. Задача о колебании струн

книги Тамаркина посвящена изучению разложения произвольной функции в ряды по главными фундаментальным функциям. В частности показано, что теорема Кантора о единственности разложения не имеет места. Значение исследований Тамаркина заключается в том, что развитые им методы позволили начать изучение несамосопряженных дифференциальных операторов, выявив в конкретной форме многие особенности общей теории.

ГЛАВА 4
ВОЗНИКНОВНИЕ ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ ЗАДАЧ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
§ 1. Регулярный и сингулярный случаи задачи Штурма - Лиувилля Теория симметрических линейных интегральных уравнений в форме теории
Гильберта-Шмидта открывала пути для значительного расширения теории собственных значений и собственных функций для новых классов дифференциальных уравнений и краевых задач. Развитая Гильбертом спектральная теория билинейных и квадратичных форм позволяла сделать новый значительный шаг в исследовании спектральных свойств дифференциальных операторов. С помощью метода функции Грина Гильберт сводил спектральные теории дифференциальных уравнений к задачам теории интегральных уравнений. Гильбертом было показано существование непрерывного спектра. Регулярный случай задачи Штурма–Лиувилля охватывает дифференциальные уравнения второго порядка с коэффициентами непрерывными наконечном замкнутом интервале. Интеграл Фурье соответствовал разложению функций, заданных на всей прямой или полупрямой. Водной работе Хильба, относящейся кг, рассматривается дифференциальное уравнение на полуинтервале, решение которого сводится с помощью функции Грина к интегральному уравнению, и отмечаются различные возможные случаи постановки краевых задач, которые здесь могут иметь место. Систематическое изучение сингулярного случая задачи Штурма-Лиувилля было начато исследованиями Вейля в 1908-1910 гг.Частные случаи сингулярных задач встречались ранее в теории интеграла Фурье ив теории разложения функций в ряды по функциям Бесселя, Лежандра и некоторым другим. Работами Вейля было положено начало общей спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов.
§ 2. Работы Вейля. Интересы Германа Вейля /1885-1955/ к спектральным задачам сложились в Геттингене под влиянием Гильберта, разрабатывавшего в те годы теорию интегральных уравнений, в период, когда складывалось понятие гильбертова пространства, как конкретной формы возникавшего функционального анализа. В первых печатных работах Г.
Вейля изучаются вопросы сходимости рядов по периодическим функциям, а затем и по произвольным ортогональным функциям. В диссертации, представленной при окончании университета в 1908 г, Вейль рассматривал сингулярные интегральные уравнения в связи с интегральной теоремой Фурье. Впервой диссертации и статье [45]Вейль рассматривает сингулярные интегральные уравнения вида с некоторыми ограничениями для ядра типа
∫∫
∞ ∞
<
0 0
)
(
)
(
)
,
(
M
dsdt
t
v
s
u
t
s
K
, где
∫
∫
∞
∞
=
=
0 0
2 2
1
))
(
(
))
(
(
ds
s
v
ds
s
u

При этом ядро во всякой конечной области переменных (может иметь конечное число точек и отрезков кривых, где ядро имеет разрывы или вообще не определено. При этих условиях изучение указанных интегральных уравнений возможно методом Гильберта. Рассматриваемые функции принимаются "в общем" непрерывными, те. могущими иметь конечное или счетное множество точек разрыва сточкой сгущения внос интегрируемым квадратом. Замена независимого переменного
1 1
+
=
t
x
преобразует полную ортонормированную систему
( на отрезке
[ ]
1
,
0
в полную ортонормированную систему на полуоси
( Следуя Гильберту, интегральное уравнение сводится к системе бесконечного числа линейных алгебраических уравнений. Применение и развитие теории Гильберта и
Хеллингера о квадратичных формах позволяют Вейлю дать спектральную теорию рассматриваемого класса интегральных уравнений. Вторая часть работы Вейля содержит примеры сингулярных ядер, дающих системы ортогональных полиномов Эрмита,
Лагерра, функций Бесселя и разложения интегрального типа (интеграл Фурье-Бесселя). Аналогичные вопросы теории сингулярных интегральных уравнений изучала
Лебедева (Миллер) в диссертации и статьях [166].
Миллер-Лебедева ставит задачу получения интегрального уравнения и соответствующего разложения для известных и изученных ортогональных систем функций, таких как многочлены Лежандра, многочлены Чебышева-Эрмита, Лагерра и т.п., не применяя использованного Гильбертом метода функции Грина. Для получения ядра интегрального уравнения, приводящего к системе многочленов Чебышева-Эрмита,
Миллер-Лебедева рассматривает уравнение теплопроводности для бесконечного стержня с условием на бесконечности
0
)
,
(
lim
2 2
=
−
∞
→
x
k
x
e
t
x
f
,
0
)
,
(
lim
2 Для функции у Миллер - Лебедевой
)
(
)
(
x
P
n
− полиномы Эрмита) получается ядро
ξ
τ
τ
ξ
τ
τ
τ
π
ξ
x
t
t
x
t
t
e
t
t
x
K
−
+
+
−
+
−
−
=
2
)
(
)
(
2 2
2
)
,
(
, а для многочленов Лагерра
)
(x
Q
n
, точнее для функций
)
(
)
(
2
)
(
x
Q
e
x
n
x
n
=
Ψ
, ядро имеет вид и оно имеет собственные значения
2
)
(
n
n
t
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
ξ
λ
Визложении используется представление многочленов Эрмита с помощью производящей функции
∑
∞
=
−
−
=
0
)
(
!
2
n
n
n
x
hx
x
P
n
h
e

и разложения в цепную дробь интеграла
∫
∞
∞
−
−
−
du
u
x
e
u
2
и для многочленов Лагерра интеграла Возможность перенесения теоремы разложения Гильберта-Шмидта на случай бесконечного интервала доказывается. Для случая Лагерра рассматривается уравнение
0 1
1 2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
t
u
x
x
u
x
x
u
, а затем дается обобщение многочленов Лагерра. Значение работ Миллер-Лебедевой в том, что она одна из первых сделала переход к изучению сингулярных задач. В изложении Миллер-Лебедевой теорема разложения по функциям
2 2
( )
s
n
e P s
−
(
( )
n
P s
полиномы Эрмита) гласит всякая непрерывная в
s
−∞ < < ∞ функция
)
(s
g
, которая с помощью непрерывной и интегрируемой функции
)
(s
p
с интегрируемым квадратом может быть представлена в виде
∫
∞
∞
−
=
dr
r
p
r
s
K
s
g
)
(
)
,
(
)
(
, где К) −какое-нибудь ядро из двухпараметрического семейства, может быть разложена вряд Фурье
∑
∞
=
−
=
1 2
)
(
)
(
2
n
n
s
n
s
P
e
c
s
g
, где
)
(s
P
n
- полиномы Эрмита. Ряд для сходится абсолютно и равномерно. Теорема разложения вряд по полиномам Лагерра дана для конечной и непрерывной функции g(s) на отрицательной полуоси
0
s
−∞ ≤ ≤
при условии
0
)
(
lim
2
=
−∞
→
s
g
s
s
и ряд имеет вид
∑
∞
=
=
1 На пути создания спектральной теории неограниченных операторов и сингулярных краевых задач следует отметить исследование Хильба об интегральном представлении функций [299]. Вначале статьи Хильб отмечает, что в теории Гильберта при ограниченности интеграла собственные значения изолированы друг от друга и могут иметь точку сгущения только в бесконечности. Если же этот интеграл бесконечен, например, если концы интервала оказываются сингулярными, то представление произвольной функции через собственные может быть очень разнообразным. Хильб употребляет уже термин непрерывный
(Kontinuerliches) спектр, вмеcто гильбертовского “отрезочного” (Streckenspectrum) спектра. Хильб говорит и о смешанном случае и о спектре из ряда отрезков. Хильб упоминает о работе Виртингера [48] о колебании бесконечной струны, в которой встречается термин для непрерывного спектра “Bandenspectrum” - полосчатый спектр.
Виртингер остановился перед трудностями предельного перехода. Хильб отмечает также, что квадратичная форма бесконечного числа переменных у Гильберта не только предельный случай квадратичной формы с конечным числом переменных, но предельный случай для вполне непрерывных квадратичных форм бесконечного числа переменных. Хильб в своей работе использует результаты Гильберта, относящиеся к вполне непрерывным формами общей теории ортогональных преобразований с бесконечным числом переменных, Впервой главе Хильб получает интегральную теорему Фурье. От краевой задачи для уравнения
(
) ( )
,
0 1
)
(
2 2
=
−
+
x
u
dx
x
u
d
λ
1 1
(0)
( ) 0
u
u l
=
= , предельным переходом
∞
→
l
через замену независимого переменного ln
x
s
=
получается сингулярная краевая задача с условиями Для задачи на интервале
)
1
,
(
ε
, где строится функция Грина и соответствующее интегральное уравнение с симметричным ядром ( , )
K s t
ε
. Применяя методы Гильберта, получается интегральное представление ядра
,
1
)
,
(
)
,
(
2
)
,
(
0 где
1
_
1 0
sin
( , )
( )
2 sin
| ln |
i
i s
L x
L а затем и интегральная формула Фурье в виде
(
)
,
)
(
ln
|
sin
|
ln
|
sin
2
)
(
0 где f(t) имеет вторую непрерывную производную. Во второй главе рассматривается более общий случай дифференциального уравнения второго порядка при некоторых предположениях относительно и h(s).
Доказывается, что при краевых условиях
,
0
)
1
(
=
u
0
)
(
lim
=
∞
→
s
u
s
, спектр состоит из непрерывной части, уходящей в бесконечность
0
g
>
λ
и конечного числа собственных значений
0
g
p
<
λ
. Затем строится функция Грина для краевой задачи в
( )
1
,
ε
, осуществляется предельный переходи получается теорема разложения. Далее рассмотрен случай, когда h(s) при
0
s
→
стремится к нулю, причем интеграл
∫
1 0
)
(
ds
s
s
h
имеет конечное значение, а спектр − только точечный. В четвертой главе Хильб рассматривает интегральные представления функций двух переменных в связи с теорией потенциала. После распространения методов Гильберта на сингулярные интегральные уравнения Вейль обратился к изучению краевых задач для сингулярных дифференциальных уравнений и соответствующим разложениям функций.