Историческая методичка. Задача о колебании струн
 Скачать 2.02 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
| X x g P Q В силу того, что 0 > g , отсюда следовало бы 0 = = Q P . В частности, на левом конце ( ) , 0 = x F тогда и 0, X x dV dx = = что противоречит доказанному ранее. Итак, 0 = μ , то есть числа r вещественные. Здесь существенно только то, что g и k положительные. В несколько отличной форме доказательство вещественности собственных значений уравнений математической физики впервые было дано Пуассоном в г. Далее Штурм доказывает ортогональность собственных функций, используя дифференциальные уравнения с различными r и и первое краевое условие. Обычные выкладки приводят к равенству 0 X x gVV Штурм отмечает, что по Пуассону вещественность собственных значений есть следствие ортогональности собственных функций. Действительно, для 1 − + = μ λ r и 1 − − = ′ μ λ r соответственно, , 1 − + = Q P V , 1 − − = ′ Q P V получаем ( ) X 2 2 x 0, g P Q dx + = ∫ откуда 0 ≡ = Q P , и функции P и Q тождественно равны нулю, если Интегрирование исходного уравнения от x до произвольного x дает ( ) x x dV k C gr l Vdx dx = + − +Непосредственный анализ этого равенства приводит Штурма к утверждению о положительности значений r . Он приводит и другое доказательство этого факта и указывает еще на возможность применения развитой им раньше теории. Далее Штурм дает прямое доказательство бесконечности положительных корней уравнения ( замечая, что оно следует из результатов его первого мемуара. Выбирая положительные постоянные k итак, чтобы k k ′ < , 2 n k l gr ′ > − , Штурм берет уравнение приводимое к виду 0 2 2 2 = ′ + ′ V n dx V d , решение которого имеет вид Выбирая подходящим образом c и применяя теорему сравнения, Штурм показывает, что функция V может иметь как угодно большое число нулей, то есть больше чем функция V ′ , если используя результаты первого мемуара о том, что число корней уравнения ( ) 0 = r F в фиксированном интервале ( ) R , 0 конечно, но неограниченно возрастающее приросте Расположив собственные значения краевой задачи в возрастающем порядке , , , , , 2 1 K K n ρ ρ ρ для соответствующей функции ( ) x V i на основании своих прежних исследований Штурм приходит к заключению, что ( имеет 1 − i нулей в интервале ( ) X x , , и распространяет на собственные функции результаты первого мемуара о взаимном расположении нулей функций i V и , 1 + i V а также i V и Δ + i V Аналогичные заключения делает Штурм и о расположении максимумов функций Далее Штурм переходит к изучению влияния коэффициентов уравнения и постоянных из краевых условий на расположение собственных значений, то есть корней уравнения ( ) 0 = r F и нулей собственных функций. При различных предположениях об изменений h и H например, h и H возрастают и т.п./ удается получить характеристику изменения корней уравнения ( в указанном случае корни возрастают. Если убывает и H возрастает, тоне удается сделать определенного заключения об изменении i ρ , но нули функции становятся, соответственно, меньше. При переходе к другому уравнению, при тех же h и H с условием будет i i ρ ρ ≤ ′ . При условии l g l g i − ≥ ′ − ′ ′ ρ ρ и k k ≥ ′ , нули функции i V ′ сдвинуты влево от соответствующих нулей функции i V . Получены и другие аналогичные результаты. Далее Штурм переходит к задаче разложения произвольной функции.Предполагая возможность разложения функции ( ) x f вряд ( ) , 2 2 1 получаются формулы для коэффициентов 26 ( ) X x i i i gV f x dx C R = ∫ , где X 2 x i i R gV Штурм говорит, что можно доказать возможность представления произвольной функции ( ) x f в виде сходящегося ряда. Фурье и другие математики, по замечанию Штурмане понимали важности и трудности этой проблемы. К моменту опубликования мемуара Штурма появилась еще статья Лиувилля, в которой было показано, что если ряд сходится, то его сумма равна ( ) x f . Заключительная часть мемуара Штурма посвящена изучению поведения решения уравнения теплопроводности ( ) t x U , . Следует отметить также теорему о числе нулей функции ( ) n n m m V A V A x + + = K ϕ § 2. Фундаментальные исследования Лиувилля. К исследованиям по общей теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка Лиувилль пришел после опубликования нескольких работ, относящихся к теории разложения функций в тригонометрические ряды. В работе [147] Лиувилль рассматривает разложение функций в ряды по синусами косинусам, исходя из интегральной формулы Фурье и вводя функцию, подобную δ - функции, позволяющую ему дать разложение не только по системе синусов или косинусов кратных аргументов, но и по системам вида { } x n ρ sin или { } x n ρ cos , где n ρ последовательность корней некоторого трансцендентного уравнения. Отчетливо ставит Лиувилль задачу чистоматематического характера о разложении функции вряд поданной системе. В конце этой статьи Лиувилль указывает на свою работу, уже представленную в Академию наук, о разложении по системам функций, определяемых дифференциальным уравнением второго порядка. В работе [148] Лиувилль указывает на возможность обобщения интегральной формулы Фурье заменой тригонометрических функций произвольной (конечно, с некоторым условием) системой функций ( и получает формулу ( ) ( ) ( ) ( ) dy y f zx zy z x dz x x f ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ − − = 0 , , 1 ϕ ω , или в более частном случае ( ) ( ) ( ) dy y f zx zy z dz A x f ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ − = , 1 0 ϕ В1835г. Лиувилль представил в Академию наук свой первый мемуар /149/ о разложении функций в ряды по решениям дифференциального уравнения второго порядка, содержащего переменный параметр. Отправляясь от задач теории теплопроводности, Лиувилль ставит задачу нахождения функции V , не обращающейся тождественно в нуль, которая при некотором определенном значении параметра r удовлетворяет дифференциальному уравнению и краевым условиям 0 = − hV dx dV для x x = , 0 = + HV dx dV для X x = , где − l k g функции, причем g >0, k >0, 0 ≥ l , H h, – постоянные, могущие принимать значения от 0 до ∞ . Лиувилль подчеркивает, что он рассматривает задачу, независимо от проблем математической физики, что он ничего не предполагает априорно о происхождении функций, рядов и их природы. При решении физических задач допускается возможность разложения функций в ряды, но оказалось трудным установить эту возможность прямым способом и доказать строгим образом. Чтобы выполнялись краевые условия нужно, чтобы параметр был корнем некоторого трансцендентного уравнения ( ) 0 = r ω Лиувилль ставит своей целью найти и строго доказать значение суммы ряда ( ) X x X 2 x V gVf x dx gV Без доказательства он указывает некоторые свойства корней уравнения ( ) 0 = r ω , а именно 1) Корни уравнения все вещественные и неравные, наименьший из корней Располагая корни в порядке возрастания 1 r < 2 r < K < m r < K < n r < , K обозначаем соответствующие функции ( ) ( ) ( ) , , , , , 2 1 K K x V x V x V n 2) ( ) ( ) X x 0 m n gV x V x dx = ∫ для n m ≠ 3) Функции i V не принимают бесконечных значений и могут менять знак только проходя через нулевое значение. ( ) x V 1 не имеет нулей, ( ) x V 2 имеет один нуль, ( ) x V 3 – два и т.д. 4) m - 1 корней уравнения ( ) 0 = x V m неравны между собой и заключены между корнями уравнения ( ) 0 1 = + x V m 5) Функция ( ) ( ) ( ) x V A x V A x n n m m + + = K ψ , где i A - постоянные, неравные все 0, имеет не менее m -1 и не более n -1 нулей в интервале ( ) x,X . Корни могут быть кратными, тогда каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Доказательство этого свойства, указанного Штурмом, было проведено Лиувиллем другим способом в статье [151]. Доказательство сходимости ряда Лиувилль основывает на двух леммах. Следствием первой служит утверждение, что для некоторых m -1 значений заключенных между x и X , можно найти такие постоянные , , , , 2 1 m A A A K что функция ( ) ( ) ( ) x V A x V A x m m + + = K 1 1 ψ обращается в нуль только в точках K , , , c b a . Вторая лемма утверждает, что если для функции ( ) x ϕ интегралы ( ) ( ) X x 0, i x V x dx ϕ = ∫ то ( ) 0 = x ϕ для [ Решение основной задачи Лиувилль проводит следующим образом. Обозначая через ( сумму ряда ( ) ( ) ( ) ( ) X x X 2 x m m m V x V x f x dx F x gV и умножая обе части равенства на m gV , а затем производя интегрирование от x до X , Лиувилль получает, принимая во внимание ортогональность функций m V , ( ) ( ) ( ) X X x x m m gV F x dx gV x f x dx = ∫ ∫ , или ( ) ( ) ( ) ( ) X x 0 m g F x f x V x dx − = ∫ , откуда, на основании леммы 2, F(x) = f(x). Для функции f(x) Лиувилль допускал, что она может быть задана на отдельных участках различными формулами, нов точках, где она меняет форму, она имеет единственное значение. Полученный результат, по выражению Лиувилля, совпадает с результатами других геометров, но полученными другими методами, менее прямыми и менее строгими. Далее Лиувилль показывает, что F(x) = х) удовлетворяет краевым условиям задачи. В заключение Лиувилль делает несколько интересных замечаний. А именно, 1) Если равенство ( ) ( ) X x 0 x V x dx ϕ = ∫ имеет место для то функция ( ) x ϕ меняет знак вне менее ( ) 1 − n раз. Обозначая частную сумму рассматриваемого ряда, Лиувилль сразу получает ( ) ( ) X X x x , n m m y V x d gV f x dx σ = ∫ ∫ ( ) n m ≤ , откуда ( ) X x 0, n m g V x где ( ) n n x f σ ρ − = . На основании предыдущего n ρ обращается в нуль, по крайней мере ( ) 1 − n раз. Далее, нетрудно получить для линейной комбинации ( ) ( ) x V A x V A Q n n + + = K 1 1 X x 0 n g В частности, если n Q σ = , то 29 X x 0 n n g dx ρ σ = ∫ , и далее ( ) X X X 2 x x x n n n n n g fdx g dx g dx σ = σ σ + ρ = σ ∫ ∫ ∫ , и, наконец, по выражению Лиувилля, получаем еще более замечательную формулу ( ) ( ) ( ) 2 X X X 2 2 2 x x x , n n n n g f x dx g dx g dx = σ + ρ = σ + так как, X x 0, n n g dx σ ρ = ∫ а отсюда X X 2 2 x x n g dx gf dx σ ≤ ∫ ∫ , и предполагается, что равенство достигается при n = ∞ . Таким образом, здесь у Лиувилля показано, что ряд Фурье функции ( ) x f сходится в среднем. Другой способ нахождения суммы ряда Штурм и Лиувилль указывают в совместной работе /316/, опубликованной вслед за основными мемуарами Штурма и Лиувилля. Комбинируя уравнения и краевые условия на левом конце, получим X x n n n n dV K dV gVV dx V V r r dx dx ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ − При x = X , полагая ( ) X , x dV HV r dx = + = ω ( ) ( ) X x X n n n r gVV dx KV r r ω = В частности, при n r r → ( ) ( ) 2 X n n n gV dx KV r ′ = Разлагая на простые дроби, получим ( ) ( ) ( Далее показывается, что ( ) ( ) X X x x gVf x dx gVF x и приходят к заключению, что ( ) ( Во втором мемуаре [219,II] Лиувилль ставит целью доказать сходимость ряда ( ) X x X 2 x n n n V gV x dx gV dx ∫ ∑ ∫ , дополняя тем самым первый мемуар, где была найдена сумма этого ряда в предположении его сходимости. С этой целью Лиувилль выражает функцию в виде ряда , 1 где ( ) 0 x 1 x dx p A hk k ′ = + ∫ , ( ) ( ) k k x ′ ′ = ,..., ( ) 1 x x x x n n dx p l gr p dx k + = − ∫ ∫ ,…, Произвольную постоянную A можно взять равной единице или, еще лучше, h + 1 1 . Тогда при x x = : h dx dV h V + = + = 1 1 , 1 Сходимость ряда для доказывается построением мажорирующего ряда n n P p = < ( ) 2 0 x 1 2 2 n x GP k n − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ⋅ ⎝ ⎠ K , где 0 p < P , gr l − < G . Лиувилль указывает и другой способ для выражения V , а именно в виде интегрального уравнения ( ) 0 x x x x dx V p l gr Vdx k = + − ∫ ∫ . Повторной заменой в правой части получаются n n R p p p V + + + + = K 1 и оценка n R < ( ) 2 0 x 1 2 2 n n x GP W K n − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ Для определения значений параметра r , второе краевое условие приводит к уравнению ( ) 0 = r ω , или ( ) 0 1 0 1 0 = + + + + + K K p p H dx dp dx dp для При r >0 , i p и dx dp i все положительны, поэтому уравнение ( ) 0 = r ω не имеет отрицательных корней. К вопросу о характеристике множества корней Лиувилль подходит позже. Для дальнейшего исследования Лиувилль, применяя преобразование независимой переменной и функции z x , x g dx K = ∫ , 1 полагая 2 ρ = r и вводя соответствующую функцию, ( ) z λ , приходит к уравнению U U dz U d λ ρ = + 2 с краевыми условиями 0 = ′ − U h dz dU для , 0 = z 31 0 = ′ + U H dz dU для После несложных выкладок Лиувилль приходит к выражению для U : ∫ + ′ + = z z h z U 0 1 sin cos ρ ρ ρ ρ ( ) ( ) ( ) z d z z z U z ′ ′ − ′ ′ ρ λ sin , и + ′ + − = z h z dz dU ρ ρ ρ cos sin ∫ z 0 ( Для небольших значений ρ , нетрудно найти верхний предел для U , применяя методы Штурма. Для достаточно больших значений ρ ρ > LZ 2 , где ( ) z λ < L , Лиувилль получает неравенство ( ) X x V gVf x dx ∫ < ( ) 2 2 4 X x 1 h FG ⎡ ⎤ ′ ⎛ ⎞ θ − + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ρ ⎝ Здесь ( ) ( Далее, полагая ( ) 0 sin Z U z z dz ′ ′ λ ρ − = ε ∫ , следует , sin cos ρ η ρ ρ ρ + ′ + = z h z U 2 X 2 x 1 2 Z h gV dx ⎡ ⎤ ′ ⎛ ⎞ η = + + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ρ ρ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ , X 2 x gV dx ∫ > ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ + 2 1 4 ρ h Z  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |