Историческая методичка. Задача о колебании струн

и при этом
( ) ( )
∫
=
Φ
b
a
dx
x
x
0 Повторяя этот процесс, строится последовательность ортогональных функций
( ) ( ) ( )
( )
K
K
,
,
,
,
,
2 1
0
x
x
x
x
n
Φ
Φ
Φ
Φ
, удовлетворяющих условиям
( ) ( ) ( )
∫
Φ
Φ
b
a
j
i
dx
x
x
x
θ
(
)
j
i
≠ Так как в дальнейших формулах встречаются определители Грама, то можно предполагать знакомство Сонина с методом ортогонализации Грама. Эти работы Грама и Сонина появились значительно раньше известной работы Шмидта.
В работе Грама [70] г. продолжены исследования Чебышева по проблеме наилучшего квадратичного приближения и разложения функций в ряды по ортогональным функциям. Грам решает задачу наилучшего среднего квадратичного приближения функции линейными комбинациями
n первых функций последовательности. Для решения этой задачи он применяет метод ортонормализации и приходит к понятию полной ортонормированной системы. Выясняя вопрос, когда наилучшее квадратичное приближение
?????????????? функции
( )
x
f
линейными комбинациями указанного вида стремится к нулю при
∞
→
n
, он устанавливает, что это эквивалентно тому, что не существует функции, ортогональной всем
n
ϕ
, отличной от нуля. При исследовании понятия "сходимости в среднем квадратическом" ему удается получить некоторые очень частные результаты. В работе
Грама обнаруживается переход от рассмотрения непрерывной функций к функциям, удовлетворяющим условию
∫
∞
<
b
a
dx
f
2
ρ
§4. Исследования Стеклова о полноте системы собственных функций. Теория разложения функций в ряды по системам собственных функций получает значительное развитие в трудах Стеклова. Крупный специалист в математической физике,
Стеклов успешно занимался вопросами решения ее основных задач. Исследования по математической физике Стеклов начинает критическим анализом работ Шварца и Пуанкаре. В г. в "Сообщениях Харьковского математического общества" появляется первая статья Стеклова по задаче Штурма-Лиувилля под названием "Задача об охлаждении неоднородного твердого стержня. В этой работе, применяя методы Шварца и Пуанкаре, доказывается существование характеристических чисел и фундаментальных функций рассматриваемой задачи. Здесь же впервые строго доказывается сходимость ряда, полученного при разложении данной функции вряд по фундаментальным функциям, к данной функции при условии равномерной сходимости ряда. Указаны и достаточные условия разложимости. В последующих работах Стеклов неоднократно возвращается к этому вопросу с целью ослабления условий разложения. Так, в работе "О разложении данной функции вряд по гармоническим функциям" [247] мы встречаем аналогичное условие. В статье г. [249] это условие выступает уже как основное в теории разложения произвольных
2 1
b
n
n
i
i
i
a
f
a
dx
=
⎛
⎞
μ = ρ
−
ϕ
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
∫

функций в ряды по фундаментальным функциям. В статье Стеклова г. собраны все системы фундаментальных функций, для которых это равенство, называемое "замечательным" было им доказано. В работе [248] г. равенство получает название условия замкнутости, и системы функций, для которых оно выполняется, названы замкнутыми. По работам Стеклова можно проследить, как формировалась идея замкнутости системы собственных функций. Поняв значение условия замкнутости для систем фундаментальных функций уравнений математической физики, Стеклов в цикле работ продолжает изучение и применение свойства замкнутости для различных систем ортогональных функций, независимо от способа их получения. В работе г. доказывается замкнутость системы ортогональных функций относительно любых интегрируемых функций, если замкнутость установлена относительно полиномов. От очевидной замкнутости всякой ортогональной системы полиномов по отношению к любому полиному возникает ряд работ Стеклова о приближенном представлении функций и о разложении функций в ряды по различным системам полиномов. Сначала в нескольких работах рассматриваются частные случаи систем полиномов Якоби, Эрмита, Лагерра, а затем вопрос о разложении произвольной функции в ряды по полиномам Чебышева общего вида рассмотрен в работе г. Теория замкнутости была развита Стекловым в применении к проблеме приближенного представления функций и к задаче теории моментов в ряде работ, начиная с работы г, до последней его работы "О проблеме приближения произвольных функций с помощью полиномов Чебышева, представленной в "Известия АН СССР" 12 мая г, то есть задней до дня смерти. Применение свойства замкнутости позволило Стеклову решить задачу об охлаждении однородного стержня при более широких условиях, чем прежде. Наиболее совершенное по общности результатов и простоте изложение теории замкнутости находится в статье Стеклова 1913 года. На пути совершенствования метода следует отметить еще работу Стеклова г, в которой отбрасываются предположения о существовании высших производных в задачах разложения по функциям Штурма-Лиувилля,
ЧТО достигается простым преобразованием квадрата функции в виде интеграла от производной этого квадрата. О работах Стеклова по теории разложения функций упоминает Кнезер в работе
1903 года, в которой он доказывает теорему разложения, применяя видоизмененный асимптотический метод Лиувилля, называемый теперь методом Лиувилля-Стеклова. Откликом Стеклована исследования Кнезера была его статья г, в которой он, применяя асимптотические формулы, с помощью теоремы замкнутости освобождается от некоторых условий Кнезера. На исследования Гильберта по теории разложения, основанные на применении функции Грина и теории интегральных уравнений, Стеклов откликнулся большой статьей 1904-1905 гг., показывающей, что прежние его результаты, опубликованные в г, были примером более общих теорем. В позднейших работах Стеклов, не применяя асимптотических оценок, а, продолжая совершенствовать теорию замкнутости, получает новые результаты при более общих граничных условиях и для более общего вида уравнения. Обзор трудов Стеклова по математической физике и теории замкнутости был сделан в г. Гюнтером [71] и Смирновым в г. [239]. Исследования Стеклова по теории краевых задач были освещены в работах Сологуба [241], Демчишина и Маркуша. Значительную часть своих результатов по математической физике Стеклов предполагал изложить в трехтомном труде "Основные задачи математической физики, две части которого были изданы в 1922-1923гг. Третья часть, с изложением его результатов по теории замкнутости и теории разложения функций, не появилась. Как известно, для остатка
( )
x
R
n
в приближенном представлении функций
( отрезком ее ряда Фурье по ортогональной и нормированной системе функций,

42
( )
( )
( )
∑
=
−
=
n
k
k
k
n
x
u
a
x
f
x
R
1
, для средней квадратичной погрешности имеет место равенство
( )
( ) ( )
∫
∑
∫
=
−
=
b
a
n
k
k
b
a
n
a
dx
x
f
x
p
dx
R
x
p
1 2
2 Отсюда следует сходимость ряда
∑
∞
=1 и неравенство Бесселя
( ) ( )
∑
∫
∞
=
≤
1 Если квадратичная погрешность стремится к нулю при
∞
→
n
, то это равносильно равенству
( ) ( )
∫
∑
∞
=
=
b
a
k
k
a
dx
x
f
x
p
1 Это равенство (равенство Парсеваля) влечет за собой полноту системы функций
( )
x
u
k
, то есть, что эту систему мы не можем пополнить функцией, неравной тождественно нулю и ортогональной ко всем функциям системы. Стеклов первый поставил проблему полноты системы ортогональных функций в общем виде. Стеклов показал, что если формула замкнутости доказана для специального класса функций, то она имеет место для всех функций )
,
x
f
для которых интеграл
( ) ( )
∫
b
a
dx
x
f
x
p
2
существует. В частности, для конечного интервала
( )
b
a, таким классом оказывается класс полиномов. Изучение замкнутых систем Стекловым позволило ему установить сходимость ряда Фурье непрерывной функции
( )
x
f
к самой функции в промежутке равномерной сходимости ее ряда Фурье по замкнутой ортогональной системе. Другой важный результат Стеклова связан с идеей осреднения. Для замкнутой системы функций
( )
x
u
k
и для любой функции
( )
x
ϕ
, для которой
( ) ( существует, справедливо равенство
( ) ( )
( ) ( ) ( )
∑ ∫
∫
∞
=
=
1 1
1 где
k
a - коэффициенты Фурье функции
( )
x
f
, а
(
)
1 1
,b
a
любая часть отрезка
( При
( )
1
≡
x
p
и, полагая
( )
1
≡
x
ϕ
, получим
( )
( )
∑ ∫
∫
∞
=
=
1 1
1 то есть почленное интегрирование ряда Фурье дает интеграл от самой функции, хотя ряд Фурье может оказаться и не сходящимся кв отдельных точках. В. А. Стеклов рассматривал случаи, когда спектральный параметр
λ
входил в дифференциальное уравнение или в краевые условия.

В исследованиях по теории замкнутости Стеклов использует метод сглаживания функций, состоящий в переходе от функции
( к функции
( )
x
F
, определяемой равенством
( )
( Для интегрируемой функции )
x
f
(возможно разрывной)
( )
x
F
непрерывна. Сглаживание приводит к близкой функции с лучшими свойствами. Например, для непрерывной функции
( )
x
f
, разность
( ) ( при
0
h
→ становится как угодно малой. Как уже отмечено выше, Стеклов плодотворно занимался выяснением условий теоремы разложения. Он стремился получить их для
( )
x
f
в наиболее широком виде. От работы к работе Стеклов совершенствует условия разложимости. Здесь следует отметить, как этапные, работы г. и г. Если в работе г. требуется, чтобы
( и
( )
x
q
были непрерывными положительными функциями, а
( )
x
f
имела бы производные до четвертого порядка,
( и
p
f
f
q
′
−
удовлетворяли краевым условиям задачи, тов работе гуже не требуется положительности
( )
x
q
и краевые условия берутся в более общем виде, а )
x
f
удовлетворяет условию Липшица
( ) ( )
y
x
m
y
f
x
f
−
<
−
, где
m – некоторая постоянная. Наиболее общие результаты о разложении функций по полиномам Чебышева
Стеклов дает в работе г. Нужно отметить результаты Стеклова для сингулярных задач на полупрямой для
( )
x
e
x
x
p
−
=
β
(
)
1
−
>
β
ив случае всей прямой при
( )
2
x
e
x
p
−
=
. В 1907
Г
Стеклов, обобщая метод Бонне, получил теоремы разложения при тех же условиях на разлагаемую функцию, что и для разложения в обычный тригонометрический ряд. Основными методами, которыми пользовался Стеклов, были теорема замкнутости и обобщение метода Шварца-Пуанкаре. В своих исследованиях Стеклов не ограничивался доказательством возможности разложения функции в ряды, и не давал оценку остаточного члена. Стеклов в своих работах остался представителем классического анализа. Дальнейшие успехи в теории разложения функций связаны с использованием новых идей теории множеств и теории функций вещественного переменного, позволивших получить значительные обобщения всех ранее полученных результатов.
§ 5. Исследования регулярной задачи Штурма-Лиувилля в конце XIX века. На развитие теории разложения функций по собственным функциям задачи
Штурма-Лиувилля оказали значительное влияние работы Стильтьеса /1856-1894 гг./. В известных исследованиях по теории непрерывных дробей [430] Стильтьес сформулировал алгебраическую проблему моментов в виде следующей задачи найти распределение положительной массы на полупрямой
( )
∞
,
0
, если даны моменты порядка
k
(
)
,
3
,
2
,
1
K
=
k
При дискретном распределении масс моментом порядка k называется сумма
∑
=
i
k
i
i
k
m
C
ξ
, где
i
m – массы, сосредоточенные в точках
i
ξ
на полупрямой
( )
,
0
∞

Как показали исследования Стильтьеса, следует различать два случая определенный и неопределенный. В первом случае задача допускает всегда только одно решение, во втором случае оказывается бесконечное число решений. Определенный случай характеризуется тем, что числа
k
C таковы, что ряд расходится, где
,
1 2
2
−
=
n
n
n
n
B
B
A
a
,
1 2
1 2
+
+
=
n
n
n
n
A
A
B
a
1 2
1 2
1 1
1 0
−
−
−
=
n
n
n
n
n
n
c
c
c
c
c
c
c
c
c
A
K
K
K
K
K
K
K
,
1 2
1 1
3 2
2 1
−
+
+
=
n
n
n
n
n
n
c
c
c
c
c
c
c
c
c
B
K
K
K
K
K
K
K
,
1 0
0
=
= В неопределенном случае этот ряд сходится. Стильтьес показал, что в неопределенном случае существует по крайней мере два решения поставленной задачи моментов
(
)
0 0
,
λ
μ
,
(
)
ν
ν
θ
,
V
и следует, что решений бесконечно много. Обозначим
n ю подходящую дробь непрерывной дроби
O
+
+
+
z
a
z
a
z
a
3 2
1 1
1 где
i
a - числа вещественные и положительные, как
( )
( )
,
z
Q
z
P
n
n
( )
( )
,
lim
2
z
p
z
P
n
=
( ) ( )
,
lim
2
z
q
z
Q
n
=
( )
( )
,
lim
1 1
2
z
p
z
P
n
=
+
( )
( )
2 1
1
lim
n
Q
z
q При этом пределы четных и нечетных подходящих дробей различны
( )
( )
1 2
1 2
,
n
n
p z
q z
z
z
z
μ
μ
μ
λ
λ
λ
=
+
+ +
+
+
+
+
L
L
( )
( )
0 1
1 1
1
,
k
k
p z
q z
z
z
z
ν
ν
ν
θ
θ
=
+
+ +
+
+
+
L
L
(
)
0 В случае сходимости ряда
∑
n
a эти пределы одинаковы. В связи с решением определенной проблемы моментов Стильтьес дает обобщенное понятие интеграла, получившего название интеграла Стильтьеса. Определение интеграла Стильтьеса дано для непрерывной функции
( и возрастающей функции
( )
x
ϕ
. Стильтьес, имея ввиду определенные приложения, оставляет в стороне вопрос об общности определения интеграла. Его интересовали функции вида
k
u
и
u
z
+
1
. Им введено обычное обозначение
( ) ( )
∫
b
a
u
d
u
f
ϕ

Частные случаи проблемы моментов встречались раньше у Чебышева, Маркова. Интересно замечание Стильтьеса о том, что если имеем несколько решений проблемы моментов, то для получения нового решения следует взять линейную комбинацию этих решений с положительными коэффициентами, сумма которых равна 1. Рассматривая решения, зависящие от параметра t можно получить решения с непрерывным распределением массы по оси, причем формула, очевидно, будет содержать интегралы. От проблемы моментов путь шелк проблеме расширения линейных операторов. В исследовании сходимости разложения функции вряд по ортонормальной системе функций следует отметить работы Гарнака и Югоньо. Гарнак рассматривал сходимость в среднем разложения функций с интегрируемым квадратом. Независимо от него Югоньо [322] в г. изучал сходимость в среднем разложения функции с интегрируемым квадратом по любой системе ортонормальных функций. Эти исследования небыли точны, так как для полного решения вопроса необходимо было расширение понятия интеграла и соответствующего расширения класса функций с интегрируемым квадратом. Это было достигнуто после введения в математику понятия интеграла в смысле Лебега и класса функций с суммируемым квадратом модуля, то есть класса
( )

перейти в каталог файлов