Историческая методичка. Задача о колебании струн
 Скачать 2.02 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
| b a L , 2 : ( где ( ) b a, – конечный или бесконечный интервал. Вопросы сходимости в среднем для рядов и функций получили свое завершение в известной теореме Рисса-Фишера и теореме Планшереля, о которых будет сказано дальше. Особо приходится подчеркнуть значение понятия интеграла Лебега для идей формирования функционального анализа в целом, а для спектральной теории особенно. Всестороннее освещение регулярная задача Штурма-Лиувилля получила в статьях и книге Бохера [34]. Теория метода была изложена с почти исчерпывающей полнотой и современной строгостью. Первая глава книги Бохера содержит доказательство существования и единственности решения для уравнения r qu dx du p dx u d = + + 2 при начальных условиях ( ) , γ = c u ( Сделано указание на возможность обобщения для уравнений высшего порядка. Во второй главе рассматривается аналогия линейных дифференциальных уравнений с линейными алгебраическими системами. Подробно изучаются линейные системы, краевые условия, тождество Лагранжа ( и формула Грина ( ) ( Далее изучаются сопряженные уравнения, сопряженные системы и их свойства. Наиболее подробно изучаются уравнения второго порядка и соответствующие краевые условия. Вводится понятие характеристических (собственных) чисел. Третья глава посвящена теории Штурма о нулях решения уравнения вида 46 ( Здесь доказана теорема осцилляции Штурма. В четвертой главе рассматривается обобщение теории Штурмана уравнения произвольного порядка. В пятой главе излагается теория функции Грина и приложения. Показана эквивалентность краевых задачи интегральных уравнений. Бохер указывает на свой доклад на V Международном конгрессе математиков в Кембридже в 1912 году и на статью в немецком издании Математической энциклопедии. ГЛАВА 3 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Д.ГИЛЬБЕРТА И ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПОНЯТИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА. § 1. Возникновение теории интегральных уравнений. Систематическое применение интегральных уравнений для решения краевых задач математической физики было начато Нейманом в г. для отыскания гармонической функции в виде потенциала двойного слоя. Для решения интегральных уравнений применялся метод последовательных приближений, сходимость которого была Нейманом доказана для выпуклых поверхностей. Название "интегральные уравнения" впервые встречается у Дюбуа-Реймона в г. Существенный шаг в развитии интегральных уравнений был сделан Пуанкаре, который доказал применимость метода Неймана для более широкого класса поверхностей и дал более общую постановку задачи об отыскании потенциала двойного слоя связанную с введением переменного параметра λ перед интегралом в интегральном уравнении, то есть пришел к интегральным уравнениям вида ( ) ( ) ( ) ( Эти исследования Пуанкаре переплетаются сего же исследованиями уравнения колеблющейся мембраны. Рассматривая уравнение мембраны с правой частью Пуанкаре доказал, что его решение есть мероморфная функция комплексного переменного λ , простые вещественные полюсы которой являются собственными значениями рассматриваемого уравнения. Таким образом, удалось достигнуть обобщения теории Штурма-Лиувилля для функций нескольких переменных. К этому времени были уже обнаружены алгебраические аналогии для теории собственных значений и собственных функций краевых задач математической физики. Отдельные интегральные уравнения частного видав связи с конкретными задачами встречаются сначала века в работах Лапласа, Абеля, Коши, Лиувилля. Возникновение теории интегральных уравнений связывается с именем итальянского математика Вито Вольтерра, который, начиная с заметки г. [79] до фундаментальных работ 1896-98 гг. развил теорию известного класса интегральных уравнений, получивших его имя. Следующий шаг в развитии теории интегральных уравнений связан с именем шведского математика Ивара Фредгольма. Занимаясь решением задачи Дирихле методом потенциала двойного слоя и развивая предположение Пуанкаре, Фредгольм пришел к построению теории интегральных уравнений указанного выше вида. Сообщения об этом были им сделаны в 1899-1900гг., сначала в письме к Миттаг-Леффлеру, а затем в изданиях Шведской Академии наук. Более развернутое изложение результатов своих исследований Фредгольм дал в статье [276], опубликованной в " Acta Mathematica " в 1903 году. В последней статье содержатся дополнительно результаты, относящиеся к интегральным уравнениям с неограниченными ядрами, имеющими полярную особенность, то есть вида ( ) α y x y x H − , , 1 В статьях Фредгольма приведены все основные факты теории линейных интегральных уравнений, впоследствии получивших наименование " теорем Фредгольма, получены степенные ряды по λ для числителя и знаменателя резольвенты, исследована их сходимость, рассмотрено решение однородных и неоднородных уравнений, в частности решение неоднородных уравнений при собственном значении λ (фундаментальном числе. Дано применение интегральных уравнений к решению плоской задачи Дирихле. Нов статьях Фредгольма, нет указаний, как были получены все эти результаты. В более позднем выступлении на математическом съезде в Стокгольме в г. Фредгольм только вскользь упомянуло своем методе. В последующих работах по теории интегральных уравнений Фредгольм обращается к интегральным уравнениям с бесконечными пределами ( ) ( ) ( ) ( с ядрами частного вида и выражает неудовлетворение сложностью построения степенных рядов, служащих для нахождения резольвенты. Фредгольм, несомненно, пользуется алгебраической аналогией линейного интегрального уравнения с системой линейных алгебраических уравнений вида ( ) i k n k ik ik b x a n = + ∑ =1 Решение интегрального уравнения было получено предельным переходом отрешения системы алгебраических уравнений по формулам Крамера. Математики XIX века (Фурье и др) встречались с задачей решения системы линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных В конце XIX века Пуанкаре и Кох дали математически обоснованную теорию определителей бесконечного порядка, применимую для некоторых частных видов систем алгебраических уравнений. Для Фредгольма эта теория могла служить образцом и давала наводящие соображения. Новый этап в развитии теории интегральных уравнений связан с именем Гильберта. § 2. Работы Гильберта по теории линейных интегральных уравнений. Геттингенских математиков с работами Фредгольма по интегральным уравнениям впервые познакомил шведский математик Гольмгрен в г. Гильберт оценил значение интегральных уравнений для многих областей математического анализа, таких как теория разложения произвольных функций в ряды, теория линейных дифференциальных уравнений, теория аналитических функций, теория потенциала и вариационное исчисление. Гильберт понял необходимость систематического построения общей теории линейных интегральных уравнений. В том же семестре в семинаре ив лекциях Гильберт излагает основные идеи нового метода изучения линейных интегральных уравнений. Гильберт увидел, что теория линейных интегральных уравнений должна быть развитием алгебраической теории об ортогональных преобразованиях квадратичной формы в сумму квадратов. Со следующего года начинают появляться исследования, выполненные под руководством и влиянием Гильберта, в которых теория интегральных уравнений получает значительное развитие. Обзор этих работ будет дан ниже. Фундаментальные исследования Гильберта и его учеников по общей теории линейных интегральных уравнений привели к введению одного из важных математических понятий XX века - "гильбертова пространства. Результаты исследований Гильберта по теории интегральных уравнений были опубликованы в 1904-1910гг. в виде шести статей в "Сообщениях Геттингенского научного общества" [60], объединенные в книгу в 1912 году. В первом сообщении 1904 года Гильберт развивает общую теорию линейных интегральных уравнений с симметрическим ядром ( ) t s K , . Прежде всего, интегральное уравнение ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ − = 1 заменяется системой n линейных алгебраических уравнений (1) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + − = + + − = n nn n n n n n K K l f K K l f ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ K L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L K 1 1 1 1 11 1 1 , , где Гильберт употребляет также обозначения , 2 2 1 1 n pn p p xp x K x K x K K + + + = K [ ] , , 2 2 1 1 n n y x y x y x y x + + + = K 1 Решение системы алгебраических уравнений заменяется отысканием линейной формы [ ] , , 2 2 1 удовлетворяющей тождественно относительно x уравнению [ ] [ ] Линейная форма принимает вид [ ] ( где ( ) nn n n n n lK lK lK lK K K lK lK lK l d − − − − − − − − − = 1 1 1 2 1 2 22 12 1 12 и = ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ y x l D , nn n n n n n n lK lK lK y lK lK lK y lK lK lK y x x x − − − − − − − − − 1 1 1 0 2 1 2 22 21 2 1 12 11 1 2 Коэффициенты найденной линейной формы придают искомые значения неизвестных , , , 2 1 n ϕ ϕ ϕ K Для симметрического ядра qp pq K K = корни ( ) ( ) ( ) n l l l , , , 2 1 K уравнения ( вещественны и кроме того, предполагаются различными. Далее доказываются равенства ( ) ( ) [ ] , 0 , = k h ϕ ϕ ( ) k h ≠ , то есть ортогональность соответствующих решений. Затем показывается, что квадратичные формы могут быть записаны в виде [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] n n n n n n x x l d l x x l D l d l x x l D x x ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ , , , , , , , 2 1 1 2 1 1 1 и ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] n n n n n n n xx l x l x l d l x x l D l d l x x l D K ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ , , , , , , 2 1 1 1 2 1 2 1 2 В следующей главе Д.Гильберт, не предполагая симметричности ядра, для непрерывных ядер получает строго обоснованным предельным переходом при ∞ → n формулы Фредгольма для решения интегрального уравнения ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ + = 1 где ( ) ( ) ( ) l t s t s K δ λ , ; , Δ − = , ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , ; 2 2 1 K + Δ − Δ + − = Δ λ λ λ t s t s t s K t s ( ) , 1 2 2 1 K − + − = λ δ λ δ λ δ где в свою очередь ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = 1 0 1 0 2 1 2 1 1 2 1 1 1 , , , , , , , ! 1 h h h h h h h ds ds ds s s K s s K s s K s s K s s K s s K h K K K K K K K K δ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = Δ 1 0 1 0 2 1 1 1 1 1 1 В третьей главе Гильберт рассматривает симметрические ядра и получает основную теорему пусть ядро ( ) t s K , интегрального уравнения второго рода ( ) ( ) ( ) ( есть симметричная непрерывная функция далее пусть ( ) h λ принадлежащие ядру ( ) t s K , собственные значения и ( ) ( ) s h ψ соответствующие нормированные собственные функции наконец, пусть ( ) ( ) s y s x , какие-либо непрерывные функции s тогда имеет место разложение 51 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + + = b a b a b a b a b a b a ds s y s ds s x s ds s y s ds s x s dsdt t y s x t s K , 1 1 , 2 2 2 1 1 причем ряд справа абсолютно и равномерно сходится для всех функций. ( ) ( ) s y s x , для которых интегралы ( ) ( ) ∫ b a ds s x 2 , ( остаются меньше фиксированного конечного числа.Как непосредственное следствие этой теоремы Гильберт отмечал, что собственные значения и собственные функции в совокупности определяются ядром. В четвертой главе показано существование собственных значений и теорема о разложении. Гильберт отмечает встречавшиеся ранее трудности доказательства существования собственных значений. Применение же ранее указанных им теорем позволяет дать простой и полный ответ. Вопрос сводится к тому, что ( есть целая рациональная функция степени, равной числу собственных значений ядра интегрального уравнения. Доказывается существование хотя бы одного собственного значения для симметрических ядер, отличных от нуля. Первоначальная формулировка теоремы разложения дана в теореме 4 для функции ( ) s f представимой в виде ( ) ( ) ( ) ( где ( ) r h непрерывная функция. Ряд Фурье такой функции ( ) ( ) ( ) ( ) K + + s C s C 2 2 1 по собственным функциям ядра ( ) t s K , где ( ) ( ) ( сходится абсолютно и равномерно. Для замкнутого ядра ) t s K , , для которого никогда не выполняется равенство ( ) ( где ( ) s g непрерывная, необращающаяся тождественно в нуль, функция, доказывается теорема о полноте системы собственных функций и теорема разложения. Если ряд Фурье какой-либо непрерывной функции ( ) s f по собственным функциям замкнутого ядра сходится равномерно, то он представляет эту функцию. Наиболее общий и простой вид теорема разложения принимает в теореме 7: Любая функция, представимая с помощью непрерывной функции ( ) s g в виде ( ) ( ) ( ) ∫ = b a dx x g s x K s f , , разложима в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям 52 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 2 1 1 K + + = s C s C s f ψ ψ ( ) ( ) ( Доказательство дано для так называемого, по Гильберту, общего ядра, то есть такого непрерывного симметричного ядра, которое позволяет с помощью соответствующего выбора непрерывной функции ( ) s h , любую непрерывную функции ( ) s g приближенно выразить интегралом ( ) ( в смысле среднего квадратичного приближения, то - есть, чтобы имело место неравенство ( ) ( ) ( для любого произвольного малого положительного . ε На основе теоремы 7 делается заключение, что ряд квадратов коэффициентов Фурье функции ( ) s x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∫ ∫ 2 2 2 сходится и сумма его равна ( ) ( ) ∫ b a ds s x 2 , то есть доказано равенство Парсеваля. Второе сообщение Д.Гильберта посвящено применению теории линейных интегральных уравнений к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка. Для самосопряженного дифференциального выражения второго порядка ( )  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |