Историческая методичка. Задача о колебании струн
 Скачать 2.02 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
| . Подставляя ив краевое условие для получим для ρ уравнение p p Z tg ′ − = ρ ρ , где p и зависят от Из геометрических соображений видно, что это уравнение имеет бесконечно много положительных корней. Далее Для больших n ( ) n i Z n r + − = = π ρ 1 , где n i – очень малое число. Так Лиувилль получил асимптотику собственных значений и приближенные значения соответствующих функций ( ) Z z n gk V z U π ρ 1 cos 1 , cos 4 − = = Полученные оценки позволяют доказать сходимость рассматриваемого ряда, предварительно преобразованного к виду ( ) X x X 2 x n n V f x dx r gV В заключение Лиувилль доказывает вещественность корней уравнения ( ) 0 = r ω на основе своей леммы из первого мемуара. Если r′ – мнимый корень, то для соответствующей функции V имеет место X x 0 n gV V dx ′ = ∫ для всех , n V соответствующих действительным корнями тогда 0 ≡ ′ V g , но это противоречит краевому условию. В третьем мемуаре Лиувилль снимает некоторые ограничения с коэффициентов уравнения g и K (ограниченность производных первого и второго порядков) и с f также ограниченность производных и выполнение краевых условий. Уравнение рассматривается в прежнем виде, то есть, как и во втором мемуаре, U U dz u d λ ρ = + 2 2 2 , ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 2 1 dz d gK dz d dz gK d g K l gK θ θ θ θ λ , и после перехода к функции ( ) ( ) 4 gK z f x f = , общий член ряда записывается в виде ∫ ∫ = Z Z dz U Ufdz U T 0 Постоянные и H предполагаются конечными. Предполагается, что интеграл dz Z ∫ 0 имеет конечное значение. Для оценки верхнего предела Q функции ( ) z d z z U z h z U Z ′ ′ − + ′ + = ∫ 0 sin 1 sin получена более общая и более точная оценка 33 2 2 0 1 1 1 Z h Q dz ′ ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ρ ⎝ ⎠ < − λ ρ ∫ , ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ + ≤ ′ + 2 2 1 sin При достаточно больших ρ можносчитать, например, U < 2. Для нахождения значений получается уравнение 'Оценивая ρ и с учетом, что U < 2, получается ( ) 2 2 0 2 0 2 2 , 1 2 2 Z Z p h H dz p dz ′ ′ < + + λ ′ < + λ ∫ ∫ Лиувилль показывает, что имеется по одному корню между ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − + 4 и ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + 4 1 1 π π n Z , нонет корней между ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − 4 1 π π n Z и ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − 4 1 1 π π n Z и т.д. Для корней Лиувилль указывает значения n B Z n n + = π ρ . Далее Лиувилль останавливается на оценке интегралов вида ( ) zdz z f Z ρ sin 0 ∫ и ( ) zdz z f Z ρ cos 0 ∫ , показывая, что они порядка ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ρ 1 O , или в обозначении Лиувилля, ρ ψ . Далее, ( ) 2 0 1 2 Z Z U dz ′′ = + ψ ρ ∫ и 2 Для доказательства сходимости ряда ∑ T достаточно установить сходимость ряда ∑ Y , где ( ) 2 0 cos Ряд из первых членов сходится на основании доказанного для периодических рядов, ряд также сходится. В заключение Лиувилль делает несколько замечаний о функции ( ) x f , которая может иметь конечные разрывы, ноне быть бесконечной, ив случаях h = ∞ или H = ∞ (здесь появляются дополнительные условия на концах интервала. Лиувилль указывает также на возможность применения его метода и к функциям, определенным уравнениями высшего порядка, ссылаясь на свою статью об интегрировании уравнения 3 3 dx u d dt du = . В конце мемуара Лиувилль предлагает несколько задач. В ряде небольших заметок Лиувилль решает отдельные частные вопросы, связанные с общей теорией, развитой в основных мемуарах. Отметим статью [221], в которой решается задача интегрирования уравнения dx dt du x x b dx u d dt du x ∫ − = 0 2 2 с краевыми условиями 0 = U при , 0 = x 0 = + hU dx du при и начальным условием ( ) x f U = ( ) 1 Совершенствование методов достигнуто в совместных работах Штурма и Лиувилля. Мы не перечисляем всех заметок обоих авторов, хотя следует заметить, что после г, заметки Штурма по теории разложения функций в ряды больше не появлялись. В заметке о теории дифференциальных уравнений Лиувилль ставит вопрос об изучении решений уравнения любого порядка вида 0 1 2 и соответствующих разложений в ряды. В г. Лиувилль опубликовал большой мемуар по теории линейных дифференциальных уравнений и о разложении функций в ряды [223], отражающий содержание нескольких лекций, прочитанных им в College de France. Рассказав о возникшем при решении задач математической физики методе Фурье решения линейных дифференциальных уравнений с краевыми и начальными условиями, Лиувилль высказывает намерение дать свое изложение теории, аналитическое, независимое от ее происхождения и каких-либо приложений. Отмечая заслуги Штурма в постановке вопроса об изучении свойств решений таких задач для дифференциальных уравнений второго порядка, Лиувилль говорит о желательности обобщения теории на уравнения любого порядка. В статье изучается дифференциальное уравнение го порядка вида 0 = + rU dx dNdU d dKdL μ μ K , где − N L K , , , K функции , x x < x < X, − r параметр. Краевые условия при Где D B A , , , не зависят от x , положительные или нули, не все. В таком случае решение будет содержать параметр r : ( ) r x u u , = . На примере для 2 = μ Лиувилль получает решение в виде ряда по степеням r ( ) , , 2 2 1 где 0 0 x x x x x , , x x x x x n dx dx dx dx A B dx K K K K ϕ = + ϕ = ϕ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ K K Отсюда следует сходимость рядов для , , , , 2 rU dx dKdU dx KdU U − также для производной пои непрерывность пои функций 2 , , , KdU Аналогично и для произвольного Для определения r налагается условие, при из которого следует, что не должно быть отрицательным или нулем. Лиувиллю удается дать некоторые представления о проведении функции U интервале ( ) x, и указать возможность доказательства бесконечности числа нулей функции приросте подробное изложение было дано им для уравнения третьего порядка. Лиувилль доказал, что нули функции U не обращают в нуль dx dU , а линейное выражение 1 − + + + μ dx dNdU KdL C dx NdU b aU K K , где коэффициенты положительные или нули, принимает последовательно отрицательные и положительные значения для значений , x равных корням уравнения 0 = U Лиувилль изучает вопрос об изменении корней уравнения ( ) 0 , = r x u при возрастании Здесь обнаруживаются различные частные особенности. Показано что функция меняет знак в интервале ( ) x, не реже чем функция m U и не чаще чем функция n U Имеет место ив общем случае теорема о том, что если ( ) X x 0 x для функции ) x f , не обращающейся в бесконечность в интервале, X при всех значениях r , удовлетворяющих уравнению ( то ( ) 0 = x ϕ Здесь ( ) X x dx dNdU KdL c dx NdU b aU r = − + + + = 1 μ ω K K Лиувилль рассматривает и некоторые другие задачи, связанные с первоначально поставленной задачей. В частности, определено сопряженное уравнение ( ) 0 с краевыми условиями ( ) a dx dKdV NdM C V 1 1 1 , , − − − = = μ μ K K для X, x = ( ) 1 Оказывается, что ( и ( ) r π тождественны. Далее Лиувилль показывает, что уравнение ( ) 0 = r ω не может иметь ни мнимых корней, ни равных. Доказательство основано на использовании равенства 36 ( ) ( ) ( ) X x r r UV dx r r ′ ′ ′ − = ω − В заключение рассматривается теория разложения функций в ряды по функциям { } i U или { } i V , имея ввиду, что ( ) ( ) X x 0 n i n i i n r r U V dx r r ω − но ( ) X x i i U V dx r ′ ′ = Получено разложение функции ( ) x f ( ) K K + + + = i i U A U A x f 1 или ( ) K K + + + = i i V A V A x f 1 1 , и показано, что сумма этих рядов равна ( в предположении их сходимости для ( ограниченных. В качестве примера приведено разложение функции ( в виде ( ) ( ) ( и аналогично для V ( ) ( ) ( Отмечено свойство X X x x , n i i V dx fV dx σ = ∫ ∫ ( ) n i > , откуда следует где частная сумма ряда. Таков круг вопросов, разработанных основоположниками теории разложения функций в ряды по собственным функциям обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка Штурмом и Лиувиллем. Очередной задачей стала разработка теории систем ортогональных функций. § 3. Исследования Чебышева, Сонина и Грама по теории ортогональных функций. В работах по теории приближения функций Чебышев вводит понятие наилучшего квадратичного приближения, рассматривая в качестве меры близости функций интеграл ( ) ( ) ( где ( Далее П.Л.Чебышев устанавливает связь между проблемой приближения в среднем квадратичном и разложением функций в ряды по степеням функций типа Фурье. В краткой заметке "Об одной формуле анализа" г Чебышев предлагает решение интерполяционной задачи для целой функции й степени ( ) x F с помощью непрерывных дробей. Получено разложение по многочленам Лежандра с коэффициентами, найденными по способу наименьших квадратов. Более подробное изложение и доказательство найденного метода Чебышев дает в статье "О непрерывных дробях" [303]. Оценку погрешности в этих работах Чебышев производит по погрешностям значений функций в данных точках, которых взято конечное число. Полученное разложение функции вряд где функции ( представляют собой знаменатели подходящих дробей, получаемых при разложении некоторой функции в непрерывную дробь. Обозначая величину, пропорциональную вероятности погрешности значения ( через ( ПЛ. Чебышев отмечает замечательное, по его выражению, свойство функций ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 выражаемое равенствами ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ = Φ ∑ = = 1 0 0 η ψ x x m n m m i m при при n i n i = ≠ Продолжая исследование в мемуаре "О разложении функций одной переменной " /304/ в г, Чебышев прежде всего отмечает аналогию полученных рядов с рядом Фурье и показывает, что при замене равноотстоящих значений i x бесконечно близкими между собой и принимая , 1 , 1 выражение ( ) , 2 ∑ − i i x x x θ где ( ) , 1 2 1 2 x x x x − − = θ приводится к виду 1 1 1 1 2 2 1 Для соответствующей непрерывной дроби K − − − x x x 2 1 2 знаменателями подходящих дробей будут целые функции, представимые в виде , , 3 cos , 2 cos , cos K ϕ ϕ ϕ где x arccos = ϕ . Для функции ( ) x f получается разложение по косинусам кратных дуга соответствующие целые функции – это полиномы Чебышева ( ) x T n (с точностью до нормирующего множителя. Принимая ( ) x 2 θ за постоянное, получается 1 1 log 1 и ряд по многочленам Лежандра. При других предположениях относительно ряда значений переменных i x и функции ( получаются интегралы и системы функций ( ) e kx e kx e dx e d e x 2 2 − = ψ – полиномы Чебышева-Эрмита в первом случае, и ( ) e kx e e kx e dx e x d e x − = ψ – полиномы Чебышева-Лагерра во втором случае. В теории ортогональных многочленов. Чебышев, оценивая близость функций f и g интегралом ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] dx x g x f x g f 2 , − = ∫ ρ δ , подошел к метрике пространства ( Заслуживают внимания работы Сонина /1849-1915/ об ортогональных многочленах г. [243]. Им же был указан независимо от других метод ортогонализации системы функций. В связи со своими исследованиями о цилиндрических функциях Сонин в упомянутой работе вводит многочлены ( обладающие свойством рекуррентности ( ) dy dT T dy dT n n n n μ μ μ μ − = + + +1 1 , ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − n n n n y T dy d y T μ μ 1 и удовлетворяющие дифференциальному уравнению второго порядка 0 1 1 Решая задачу разложения функции ( ) x f вряд, Сонин приводит формулу ( ) ( ) ( не решая вопрос о сходимости этого разложения. Введенные здесь Сониным многочлены связаны с обобщением многочленов Чебышева-Лагерра ( ) ( ) ( ) ( ) n n n T n x L μ μ μ 1 1 + + Γ − = , где ( ) ( присоединенные многочлены Лагерра; при получаются многочлены Чебышева-Лагерра. Второй класс многочленов, вводимых Сониным, является обобщением многочленов Чебышева-Эрмита 39 ( ) 2 2 1 2 x T U n m n m − = , ( ) ( ) 2 1 2 При получаются многочлены Чебышева-Эрмита. Дальнейшее изучение этих многочленов Сонин провел в работе " О приближенном вычислении определенных интегралов и входящих при вычислений целых функциях" в г. В этой работе Сонин рассматривали третий класс многочленов ( ) ( ) ( ) , n n n n F x k x a x b +λ +μ = − − λ > 1 − , μ >-1, где n k – некоторые константы, зависящие от, μ и n , известные теперь как многочлены Якоби. Было замечено, что многочлены Сонина ( ) ( ) x L n μ МОЖНО найти в более ранней работе Сохоцкого [244]. В статье "О некоторых неравенствах относящихся к определенным интегралам, опубликованной в г. Сонин, обобщая и доказывая одно неравенство Чебышева, приходит к ортогонализации системы функций ( ) ( ) 1 2 , , , ( с весовой интегрируемой функцией ( ) x θ , ( ) ( ) dx x b a ∫ θ >0. С этой целью он подбирает постоянные n ξ ξ ξ , , , 2 1 K так, чтобы ( ) ( Отсюда ( ) ( ) ( Тогда для функции ( ) ( ) 1 1 1 ξ ϕ − = Φ  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |