Историческая методичка. Задача о колебании струн
 Скачать 2.02 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
| s 1 ) ( 2 ; 2) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a u s v s ds u s ds v s ds = Решение уравнения Фредгольма второго рода с несимметричным ядром приводит к системе линейных алгебраический уравнений p p p p a a a α α α − = + + 2 2 1 1 1 , где и ∫∫ Φ Φ = b a q b a p pq dsdt t s t s K a ) ( ) ( ) , ( , Существенную роль в изложении Гильбертом фредгольмовской теории линейных интегральных уравнений играет вполне непрерывность билинейной формы ∑ = ) , ( ) , ( q p q p pq y x a y x A , вытекающая из ограниченности сумм квадратов чисел pq a и p a . Гильберт показывает, что решение системы алгебраических линейных уравнений служит системой коэффициентов Фурье искомого решения интегрального уравнения. В случае если однородная система алгебраических уравнений имеет ненулевые решения, то по каждому из них строится решение однородного интегрального уравнения. В этом случае на свободный член неоднородного уравнения налагаются известные условия ортогональности с решениями интегрального уравнения с транспонированным ядром. В этом сообщении Гильберт рассматривает линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода без параметра. В построении теории Гильберта важное значение приобретает соотношение полноты. Для развития спектральной теории, большой интерес представляет новое построение Гильбертом теории линейных уравнений с симметричным ядром, названных Гильбертом ортогональными, теорию которых он развивает в следующей главе. Гильберт рассматривает интегральное уравнение вида ∫ − = b a dt t t s K s s f ) ( ) , ( ) ( ) ( ϕ λ ϕ , где ) , ( t s K непрерывная симметрическая функция переменных s и t , ) (s f - заданная непрерывная функция s , ) (s ϕ - искомая функция переменного s и параметра Из ядра с помощью полной ортогональной системы функций ),... ( ), ( 2 образуем билинейную форму где и квадратичную форму Последняя, в силу неравенства есть вполне непрерывная функция бесконечно многих переменных, ,... , 2 1 x x , поэтому по развитой ранее теории квадратичных форм бесконечно многих переменных ее можно преобразовать к виду ) ( 2 2 2 2 1 1 + ′ + ′ = x k x k x K , где 2 1 2 1 + + = = ′ x l x l x L x p p p p для Далее показывается, что однородное уравнение имеет для p p χ λ λ 1 = = ( p χ находится из соотношения ) ( ) ( ) , ( x L x L x K p p p χ = • ) решение, неравное тождественно нулю ) ( ) ( s s p ϕ ϕ = . Затем Гильберт переходит к вопросу о разложении произвольной функции вряд по ортогональной системе функций, ),... ( ), ( 2 1 s s ϕ ϕ те. по системе собственных функций интегрального уравнения. Здесь теорема разложения доказывается для функций вида ∫ = b a dt t g t s K s f ) ( ) , ( ) ( , а не для функций, представимых с помощью итерированного ядра ( ∫ = b a dt t g t s KK s f ) ( ) , ( ) ( , где K ”общее”ядро), как было в первом сообщении. Шмидт устранил это ограничение, и мы видим уже современную формулировку теоремы о разложении (теорема Гильберта-Шмидта): любая функция ) (s f , представимая с помощью непрерывной функции ) (s g в виде ∫ = b a dt t g t s K s f ) ( ) , ( ) ( , разлагается по ортогональным функциям ),... ( ), ( 2 вряд Фурье, сходящийся равномерно и абсолютно. В работе Гильберта доказывается, что для p λ λ ≠ рассматриваемое интегральное уравнение не имеет решений, отличных от нулевого. Собственные значения могут иметь точку сгущения только в бесконечности и каждое из них имеет конечную кратность. Введем обычное теперь обозначение 1 1 p p p n λ λ λ + + − = = и им сопоставим линейно независимые собственные функций 1 1 , ,..., p p p n ϕ ϕ ϕ + + Для разрешимости неоднородного уравнения при p λ λ = формулируется и доказывается необходимость и достаточность условий ( ) ( Значения 1 2 , ,... λ λ и принадлежащие им функции ( ) ( ) 1 2 , ,... x x ϕ ϕ называются, соответственно, собственными значениями и собственными функциями ядра ( ) t s K Гильбертом доказывается, что наибольшее значение двойного интеграла ( ) ( ) ( ) ( для непрерывных функций ( ) s u с условием ( ) ( ) 1 2 = ∫ ds s u b a равно обратной величине наименьшего положительного собственного значения ядра ( ) t s K , , этот максимум достигается, если ( ) s u есть собственная функция, принадлежащая этому собственному значению. Полнота системы собственных функций доказана Гильбертом для "общих" ядер по его ранее введенной терминологии и при условии замкнутости квадратичной формы ( ) x K , полученной из ядра. В дальнейших главах Гильберт показывает еще некоторые приложения развитой им теории. В частности, рассмотрена теория так называемых полярных интегральных уравнений вида ( ) ( ) ( ) ( ) ( где ( ) s ν - кусочно постоянная функция, принимающая значения +1 и -1, меняющая знак конечное число раз. Эта теория позволяет, как показал Гильберт в следующей главе, в теории Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка отказаться от дефинитности функции ( ) x k , допустив изменение знака функции ( ) x k в рассматриваемом интервале конечное число раз. Показывается возможность применения развитой теории к системам дифференциальных уравнений, на примере системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. В шестом сообщении рассмотрены различные проблемы анализа и геометрии. Из них отметим краевую задачу для системы дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа, метод параметризации, позволяющий дать некоторое развитие теории для дифференциального уравнения где ( ) x q любая всюду положительная функция. Одна глава посвящена двухпараметрической краевой задаче ( ) 0, dy d p dx a b y dx λ μ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + = ( ) 0 = + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ η μβ λα ξ ξ η π d d d d , связанной с теоремой осцилляции Клейна. Обзор и дальнейшее развитие теории для функций бесконечно многих переменных было сделано Гильбертом на IV Международном математическом конгрессе в Риме в 1908 году ив опубликованной в г. cтатье "Сущность и цели анализа бесконечно многих независимых переменных" /61/. Резюмируя исследования Гильберта по теории интегральных уравнений, прежде всего, нужно отметить, что Гильберт увидели развил глубокую аналогию аналитических и алгебраических задачи методов. Создавая теорию линейных и квадратичных форм бесконечно многих переменных, Гильберт понял значение изучения последовательностей ( ) 1 2 , ,... x x со сходящейся суммой квадратов ∞ < ∑ ∞ =1 Из линейных преобразований Гильберт выделяет ограниченные. Важнейшим открытием Гильберта было понятие вполне непрерывности функций и форм. Функция ( ) 1 2 , ,... F x x бесконечно многих переменных называется вполне непрерывной, если для системы чисел ( ) ( ) ( ) 1 2 , ,..., ,... n n n p x x x ( ) 1, из сходимости компонент ( ) p n p n x x L = ∞ → (здесь L − гильбертово обозначение предела) следует ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , ,... , ,... . n n n L F x x F x Из ограниченности линейной формы следует ее вполне непрерывность. Необходимыми достаточным условием вполне непрерывности квадратичной формы 2 2 1 1 2 2 V x V x + + оказывается условие , 0 = ∞ → n n V L а для билинейной формы достаточно сходимости ( ) ∑ q p pq a , 2 Для вполне непрерывных квадратичных форм Гильбертом была доказана возможность их преобразования с помощью ортогонального преобразования переменных к сумме квадратов 2 2 1 1 2 2 k x k x + + . Для ограниченных квадратичных форм Гильберт развил спектральную теорию предельным переходом от алгебраических систем. Квадратичная форма ( преобразуется к виду ( ) ( ) ( ) ∫ ∑ + = s p p p d x k x K μ ξ μ σ , 2 , где спектральная форма ( ) ξ μ σ , - положительно определенная и зависящая от параметра μ , монотонно возрастающая по μ от 0 до ( ) ∑ p p 2 ξ .. Совершенное точечное множество S Гильберт называет непрерывным спектром. Множество собственных значений называется точечным спектром. Объединение непрерывного, точечного спектров и их предельных точек называется спектром. Гильбертом получено также интегральное представление резольвенты и дан пример ограниченной квадратичной формы с непрерывным спектром. Для вполне непрерывных форм непрерывная часть спектра отсутствует. Гильберт показал, что теория интегральных уравнений Фредгольма связана с понятием вполне непрерывности. Теорема разложения дана Гильбертом сначала для замкнутых и "общих" ядер, а затем для непрерывных ядер с интегрируемым квадратом. В применении к обыкновенным дифференциальным уравнениям Гильберт пользовался функцией Грина для сведения краевых задач к интегральным уравнениям. Для дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля второго порядка Гильбертом указаны краевые условия Штурмовского типа, и нештурмовские: IV. ( ) ( ) ; b hf a f = ( ) ( ) ( ) ( ) b x h x dx x df h b p dx x df a p = = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ; IV * ( ) ( ) ; b x dx df b hp a f = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ( ) ( ) ( и обобщенные краевые условия V. ( ) x f в окрестности точки представима в виде ( ) ( ) x e a x − , где ( при a x = остается конечной V * ( ) x f при приближении к a x = остается конечной. Как было отмечено выше, после ознакомления с работами Фредгольма интерес к теории интегральных уравнений захватил Гильберта на многие годы. В следующий более чем летний период исследования в этом направлении были основными в его деятельности. Лекции и семинары Гильберта в Геттингене с 1901 года привлекли большое число учеников и последователей. За сравнительно короткий период под руководством и влиянием Гильберта были выполнены и защищены многочисленные диссертации по различным вопросам теории интегральных уравнений, анализа бесконечно многих переменных и разнообразных приложений развитых методов к задачам вариационного исчисления, теории преобразований, краевым задачам математической физики и т.д. Первой была диссертация Келлога "К теории интегральных уравнений и принципа Дирихле;затем последовали диссертации Мазона, Шмидта, Миллера, Вестфалля, 64 Хеллингера, Вейля, Хаара, Штейнгауза, Виндау и др. Пребывание в г. в Геттингене определило тематику занятий Буницкого. Нет возможности, да и необходимости, осветить в деталях влияние работ Гильберта по интегральным уравнениям, поскольку они имели общее значение и определили значительные черты математики XX столетия. Гильберт своими исследованиями связал теорию интегральных уравнений, теорию краевых задач, теорию линейных преобразований в единую теорию. Сам Гильберт отмечал ценность единого методического изложения алгебры и анализа. Методы и приемы Гильберта, использованные им при построении спектральной теории квадратичных форм, остались в пределах классического анализа Коши. Предельный переход, интегралы и другие понятия анализа употребляются им в классическом смысле. Использование интеграла Стильтьеса не меняет положения, так как интеграл рассматривается на системе интервалов и предполагается узкий класс функций. Мы не встречаем даже объединения интегрирования по непрерывной части спектра и суммирования по дискретной. § 3. Исследования Буницкого, Миллера и Дини. Буницкий /1874-1952гг./, получивший математическое образование в Одесском университете и работавший там дога позднее в Карловом университете в Праге, опубликовал более 10 работ по спектральной теории краевых задачи примыкающим вопросам. Интерес к этим вопросам возник у него под влиянием работ Гильберта вовремя пребывания в Геттингене в 1906-07гг. Уже в 1907-08гг. им были опубликованы три заметки по теории систем интегральных уравнений. В последующих работах Буницкий развивает теорию функции Грина для решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений порядка n [49]. Буницкий рассматривает краевые условия в общем виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 n n i i k ki ki i i C f f a f b α β − − = = = + = ∑ ∑ , ( ) 1, и последовательно выделяет различные классы краевых условий, позволяющие ввести функцию Грина в первоначальном или обобщенном смысле. По идее и методам исследования Буницкого примыкают к П главе сообщений Гильберта и диссертации Вестфалля. Исследование различных случаев доводится Буницким до формулировки теоремы разложения. Исследования Буницкого охватывают частные случаи самосопряженных и несамосопряженных задач. Работы румынского математика Миллера /1874-1965/ выполнены под непосредственным влиянием и руководством Гильберта. Они относятся к периоду пребывания Миллера в Геттингене в 1909-12гг., то есть, выполнены одновременно с работами Гильберта по теории симметрических интегральных уравнений. В ряде статей [165] Миллер распространяет теорию Гильберта на дифференциальные уравнения четвертого порядка и некоторые типы уравнений высшего порядка. Переход от краевых задач для дифференциальных уравнений к интегральным уравнениям производится с помощью функции Грина. Таким образом, рассматриваются и задачи разложения функций в ряды по собственным функциям некоторых конкретных типов дифференциальных уравнений. Миллер рассматривал, в основном, регулярные задачи. Значение этих работ Миллера состоит в детализации и расширении методов Гильберта В дальнейшем, по возвращении в Румынию, Миллер отошел от этой тематики. Итальянский математик Улисс Дини /1845-1918/ в ряде работ, начиная с г. и дог, занимался вопросами теории тригонометрических рядов и других аналитических представлений функций действительного переменного. Вставшем классическим трактате "Ряды Фурье и другие аналитические представления функций одного действительного переменного, изданном в г. [77]. Дини наряду с рядами Фурье рассматривает обобщенные тригонометрические ряды вида ( ) x b x a a n n n n n λ λ sin cos 2 1 1 0 + + ∑ ∞ = , для которых получает необходимое и достаточное условие точечной сходимости критерий Дини"). Дини уточнил результат Ганкеля го рядах и интегралах Фурье для цилиндрических функций, а также исследования Шлефли го сходимости разложений по функциям Бесселя. Здесь же Дини рассматривает более общие ряды ( ) ( ) x J b x f m v m m λ ∑ ∞ = = 1 , где m λ обозначают положительные корни функций ( ) ( ) ( ) z HJ z J z z ν ν ν + ′ − при условии 2 1 − ≥ ν ,  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |