Историческая методичка. Задача о колебании струн

то можно установить связь между интегральными уравнениями второго рода и краевыми задачами для дифференциальных уравнений с параметром. Эта связь указана Гильбертом в теореме 12. Если функция Грина дифференциального выражения
)
(u
L
для некоторой пары краевых условий есть ядро интегрального уравнения второго рода
∫
−
=
b
a
d
x
K
x
x
f
ξ
ξ
ϕ
ξ
λ
ϕ
)
(
)
,
(
)
(
)
(
, то резольвента
( )
ξ
,
x
K
этого уравнения есть функция Грина дифференциального выражения Таким образом, показана эквивалентность проблемы решения интегрального уравнения
∫
−
=
b
a
d
x
K
x
x
f
ξ
ξ
ϕ
ξ
λ
ϕ
)
(
)
,
(
)
(
)
(
, и краевой задачи для дифференциального уравнения Для собственных значений и собственных функций дифференциального уравнения
0
)
(
=
Λ при некоторых краевых условиях Гильбертом доказано В случае штурмовских краевых условий собственные значения простые однократные. Существует бесконечно много собственных значений краевой задачи. Полнота системы собственных функций, то есть, что любая непрерывная функция
)
(x
h
, ортогональна всем собственным функциям,
∫
=
b
a
m
dx
x
x
h
0
)
(
)
(
)
(
ψ
, тождественно равна нулю.
4. Ряд Фурье непрерывной функции
)
(x
f
по собственным функциям краевой задачи сходятся.
5. Всякая дважды непрерывно дифференцируемая и удовлетворяющая соответствующим краевым условиям функция
)
(x
f
разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям краевой задачи для дифференциального уравнения
0
)
(
=
Λ Гильберт отмечает результаты Стеклова и Кнезера [100] о разложении произвольных функций в ряды Штурма-Лиувилля. Для дифференциального выражения общего вида
ku
u
L
λ
+
)
(
, где
)
(x
k
положительная функция внутри интервала, подстановка приводит задачу к ранее рассмотренной. В качестве примеров Гильберт рассматривает дифференциальные выражения
2 2
)
(
dx
u
d
u
L
≡
,
u
dx
u
d
u
λ
+
=
Λ
2 2
)
(

в интервале (0,1) дифференциальное уравнение
0 приводящее к функциям Бесселя, и
u
x
dx
du
x
dx
d
u
L
2 2
2 связанное с присоединенными функциями Лежандра. В качестве примера задачи с двукратным спектром и функцией Грина в расширенном смысле Гильберт рассматривает дифференциальный оператор
2 с периодическими краевыми условиями Для однородного уравнения
0
=
′′
u
существует решение
2 1
)
(
0
=
x
ψ
, а уравнение имеет двукратные собственные значения
2 2
)
(
π
λ
m
m
=
с собственными функциями
x
m
π
cos и В заключении Гильберт отмечает связь теории собственных значений для дифференциальных уравнений с задачами вариационного исчисления. В следующей главе Гильберт показал возможность переноса развитой теории на самосопряженные дифференциальные уравнения второго порядка эллиптического типа, доказал существование функции Грина в различных случаях и рассмотрел краевые задачи, содержащие параметр в краевых условиях. Третье сообщение Гильберт посвятил применению интегральных уравнений к проблемам теории функций комплексного переменного. Итак, в первых трех сообщениях об основах общей теории линейных интегральных уравнений, опубликованных в 1904-05гг., Гильберт дал новое изложение фредгольмовской теории интегральных уравнений, дополнив ее строгими доказательствами и подробным изложением теории симметричных линейных интегральных уравнений и их связям с теорией краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, некоторых уравнений в частных производных, вариационными задачами и теорией функций. Новым была и общая идея о значении ортогональных преобразований квадратичных форм к сумме квадратов. На этом пути доказана теорема существования собственных значений симметричного ядра и теорема разложения впервой редакции для так называемых общих ядер. Начиная с четвертого сообщения (г) Гильберт развивает новый метод изложения теории линейных интегральных уравнений, основанный на теории квадратичных форм с бесконечным числом переменных. Четвертое сообщение, состоящее из двух глав, целиком посвящено теории квадратичных форм с бесконечным числом переменных. Рассмотрим основные понятия, определения и обозначения, использованные Гильбертом в этой теории. Квадратичной формой называется выражение в котором коэффициенты подчинены условию Вводится билинейная форма

с произвольными коэффициентами
pq
a и билинейная форма, принадлежащая квадратичной форме
)
(x
K
, Формы, составленные из первых
n
переменных, называются отрезками соответствующих форм с бесконечным числом переменных
∑
=
=
)
,...,
2
,
1
,
(
)
(
n
q
p
q
p
pq
n
x
x
k
x
K
, Сумма коэффициентов с одинаковыми индексами отрезка билинейной формы называется сверткой В частности, Вводится свертка билинейных форм и специальные квадратичные и билинейные формы
)
,
(
2 2
2 1
+
+
=
x
x
x
x
,
2 2
2 2
1
)
,
(
n
n
x
x
x
x
x
+
+
+
=
,
)
,
(
2 2
1 1
+
+
=
y
x
y
x
y
x
,
n
n
n
y
x
y
x
y
x
y
x
+
+
+
=
)
,
(
2 2
1 Для формы дискриминант
nn
n
n
n
n
n
k
k
k
k
k
k
k
k
k
D
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
1 1
1
)
(
2 1
2 22 21 1
12 есть целая рациональная функция й степени от
λ с вещественными корнями Эти корни называются собственными значениями формы K , а их совокупность – спектром формы K . Здесь мы впервые у Гильберта встречаемся с термином спектр. Здесь же Гильбертом вводится понятие точки уплотнения формы K , как точки
λ
, в любой окрестности которой находится бесконечно много собственных значений. Для неограниченно возрастающей последовательности точка
∞
=
λ
, считается точкой уплотнения формы K . Вводится еще обрамленный определитель

56 0
1 1
)
,
,
(
1 2
1 2
1 1
12 и резольвента квадратичной формы
)
(
)
,
,
(
)
,
,
(
λ
λ
λ
n
n
n
D
y
x
D
y
x
K
−
=
; Очевидно, что коэффициенты при
n
x
x
x
,...,
,
2 1
в
)
,
,
(
y
x
K
n
λ
если
λ
несобственное значение, дают решение системы линейных уравнений
p
n
pn
p
p
y
x
k
x
k
x
=
+
+
−
)
(
1 Применяя последовательно свертывание форм, Д.Гильберт получает формулы и
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
1 где
{ }
)
(n
m
L
некоторая известная ортонормальная система линейных форм. Вводя систему функций
)
(
)
(
λ
χ
n
p
переменного
λ
0
)
(
)
(
=
λ
χ
n
p
для
)
(
n
p
λ
λ
≤
,
n
p
,...,
2
,
1
=
)
(
))
(
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
n
p
n
p
n
p
x
L
λ
λ
λ
χ
−
=
для
)
(
n
p
λ
λ
≤
, и разностные отношения этих функций
μ
λ
μ
χ
λ
χ
−
−
)
(
)
(
)
(
)
(
n
p
n
p
и Гильберт показывает, пользуясь диагональным процессом и свойствами равномерной сходимости, существование квадратичной функции бесконечного числа переменных коэффициенты которой
)
(
λ
χ
pq
непрерывные функции
λ . Значения λ , для которых значения верхней и нижней производной функции
)
(
λ
χ
не совпадают, образуют по Гильберту точечный или разрывный (das Kontinuerlucke) спектр формы. Первоначально Гильберт рассмотрел случай, когда
∞
=
λ
не является точкой уплотнения
K . Дальнейшее изучение
)
(
λ
χ
приводит Гильберт к введению новых форм
∑
<
=
p
p
E
e
λ
λ
λ
)
(
,
∑
<
−
=
λ
λ
λ
λ
λ
η
p
p
p
E
)
(
)
(
, и затем

57
)
(
)
(
)
(
λ
η
λ
χ
λ
ρ
−
=
, которая оказывается неубывающей функцией
λ . Если образовать то любой отрезок формы
)
(
λ
σ
есть непрерывная, неотрицательная, неубывающая функция
λ . Форму
)
(
λ
σ
Гильберт называет спектральной формой формы K . Все эти формы левее некоторого отрезка
J
тождественно равны нулю, )
,
(
)
(
x
x
k
=
+∞
, Теперь выберем такие вещественные значения
λ , в любой окрестности которых существуют еще такие
λ
′
, для которых равенства
)
(
)
(
λ
σ
λ
σ
′
=
выполняются не тождественно относительно всех переменных
,...
,
2 1
x
x
. Множество всех таких точек
λ совершенно и называются предельным или непрерывным спектром (Streckenspektrum) формы K . Точечный спектр, предельные точки собственных значений и непрерывный спектр вместе Гильберт называет спектром формы K . Имеет место равенство Здесь Гильберт вводит в математику непрерывный спектр и спектральную терминологию. Записанные формулы выражают разложение единицы по точечному
)
( p и непрерывному )
(s спектру. Дальнейшей целью Гильберта было получить аналог разложения резольвенты квадратичной формы с конечным числом переменных для формы с бесконечным числом переменных. Гильберт называет резольвентой формы K выражение После ряда преобразований получается Это и есть искомый аналог представления резольвенты квадратичной формы с конечным числом переменных в виде дробей. Квадратичная форма
)
,
( x
K
λ
есть предел квадратичных форм
)
,
( где
h
m некоторая неограниченно возрастающая последовательность чисел. В дальнейшем Гильберт рассматривает только такие системы чисел
,...,
,
,...,
,
2 1
2 1
y
y
x
x
для которых выполняются условия
1
)
,
(
≤
x
x
, Если значения всех отрезков квадратичных форм абсолютно ограничены, то квадратичная форма называется ограниченной. Для случая бесконечного числа переменных определяются и устанавливаются простейшие свойства ортогональных преобразований, аналогичные случаю конечного числа переменных. Для резольвенты K доказывается уравнение и формула

где комплексные коэффициенты
pq
h удовлетворяют равенствам
qp
pq
h
h
=
, а их действительные и мнимые части
pq
h
Re
,
pq
h
Im
- вполне непрерывные функции действительных переменных
,...
,
,...,
,
2 1
2 1
y
y
x
x
. Как частный случай эрмитовых форм
(
0
Re
=
pq
h
) вводятся кососимметрические формы. Здесь же теория вполне непрерывных билинейных форм позволяет сформулировать основные результаты о решении линейной системы с бесконечным числом переменных вида
1 2
12 1
11
)
1
(
a
x
a
x
a
=
+
+
+
,
2 2
22 1
21
)
1
(
a
x
a
x
a
=
+
+
+
,
……………………………
В следующем (пятом) сообщении Гильберт дает новое обоснование общей теории линейных интегральных уравнений на основе теории линейных, билинейных и квадратичных форм с бесконечным числом переменных. Связь теории функций и уравнений с бесконечным числом переменных с теорией линейных интегральных уравнений Гильберт устанавливает с помощью системы функций
),...
(
),
(
2 1
s
s
Φ
Φ
;
1)
∫
=
Φ
Φ
b
a
q
p
ds
s
s
0
)
(
)
(
)
(
q
p
≠
;
(
)
∫
=
Φ
b
a
p
ds

перейти в каталог файлов