Историческая методичка. Задача о колебании струн
 Скачать 2.02 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
| H - некоторая постоянная. В дальнейших исследованиях, обобщенных Дини в курсе высшего анализа в Пизанском университете 1903-04гг., по применению метода интегральных уравнений показана сходимость общих разложений Штурма-Лиувилля, которая эквивалентна сходимости тригонометрических рядов Фурье. Работы Дини послужили основой для исследований итальянских математиков Чиполло, Бортолотти, Пиконе и других по спектральной теории дифференциальных уравнений и примыкающим вопросам. Дини рассматривал также вопросы разложения, связанные с функциями Якоби, сферическими многочленами Лежандра и Эрмита. В цикле работ по обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям Дини изучает уравнения го порядка с переменными коэффициентами. Для таких уравнений он получает формулы решения в общем асимптотическом виде. Рассматривая случай, когда коэффициенты содержат вещественный или комплексный параметр λ , Дини находит достаточные условия существования решения, удовлетворяющего линейным краевым условиям вида ( ) 1 0 1 1 0 n a a n a k y k y k y − − ′ + + + = , ( ) 1 0 1 1 0 n b b n b h y h y h y − − ′ + + +К вопросам разложения функций в ряды Дини обращается неоднократно. В двух мемуарах гон рассмотрел разложения в ряды по сферическим функциям, продолжил исследования Пуассона, Дирихле, Бонне. Дини доказал общий критерий сходимости и теорему об единственности разложения. В работе г. Дини продолжил исследования о разложении функций вряд вида ( ) x b x a a n n n n λ λ sin cos 2 1 1 0 + + ∑ ∞ , где n λ - корни уравнения ( ) ( ) 1 cos sin 0 F z z F z z π π + = , в котором ( ) z F и ( ) z F 1 полиномы. В статье [78] Дини доказал возможность разложения функций вряд по функциям Якоби в форме, указанной Эрмитом. Статья представляет собой отрывок из письма Дини к Эрмиту и была написана под впечатлением беседы с Миттаг-Леффлером о курсе лекций Эрмита об эллиптических функциях. Результаты были включены в книгу Дини о рядах Фурье. Исследование Дини о единственности разложения по функциям Лежандра обобщали аналогичные исследования Гейне и Кантора для тригонометрических рядов и были этапом к доказательству единственности разложения типа Штурма-Лиувилля, данном Дини в его лекциях г. В работах Дини по теории обыкновенных дифференциальных уравнений заметно стремление рассмотреть проблемы для уравнений любого порядка, преодолеть трудности, возникающие при переходе от уравнений второго порядка. В исследованиях Дини о сходимости рядов была найдена теорема об эквивалентности разложений в ряды Фурье ив ряды по различным классам функций, в частности многочленов. Позднее аналогичное доказательство для отдельных классов функций были получены независимо рядом авторов. Высоко был оценен метод Дини перехода от дифференциальных уравнений линейных и нелинейных) к интегральным типа Вольтерра на основе метода последовательных приближений. Термина "интегральные уравнения" при этом Дини не употреблял. Сведения о дальнейшей разработке проблем, которыми занимался Дини, можно найти в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений Сансоне [231]. § 4. Исследования Биркгофа и Тамаркина. В 1907 году Биркгоф представил Американскому математическому обществу результаты своих исследований по теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, опубликованные в следующем году в виде двух статей [13,14]. Впервой статье Биркгоф изучает асимптотику решений дифференциального уравнения ( ) 0 ) , ( , 0 1 1 для больших значений ρ . Коэффициенты уравнения предполагаются аналитическими от комплексного параметра ρ и имеющими производные любого порядка по вещественному переменному x. Ранее Шлезингер изучал другим способом асимптотические свойства решений на луче ( α ρ = arg ). Лиувиллем, была изучена асимптотика вещественного параметра для решения уравнения ( ) 0 ) ( 2 2 2 = + + z x g dx z d ρ Биркгоф развивает метод Лиувилля для уравнения порядка n при [ с комплексным параметром ρ , предполагая для коэффициентов условия M x a i < ) , ( ρ ( ) , a x и ∑ ∞ = = 0 ) ( ) , ( j j ij i x a x a ρ ρ ( ) R < ρ , где ij a могут быть комплекснозначными функциями вещественного переменного x, но непрерывными и с непрерывными производными любого порядка. Обозначим через ) ( )... ( ), ( 2 корни уравнения 0 ) ( ) ( 0 для каждого ( Асимптотику решений Биркгоф изучает в области S, которая определяется как часть ρ - плоскости, в которой выполняются неравенства ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( 2 1 x W R x W R x W R n n ρ ρ ρ ≤ ≤ ≤ для любого [ ] b a x , ∈ и для любого- вещественная часть числа μ Если точка в S, то указанное неравенство просто следует, если только 0 arg Поэтому луч 0 arg принадлежит области S. Для данного x указанное неравенство определяет некоторый замкнутый сектор x x Ψ ≤ ≤ ρ θ arg содержащий луч 0 arg arg ρ ρ = . Наибольший замкнутый сектор общий для всех таких секторов и есть S, обращается в луч, если Основная теорема Биркгофа дает асимптотические формулы для решений уравнений в области S. Теорема. В области S существует n независимых решений ) , ( ),..., , ( ), , ( 2 1 ρ ρ ρ x z x z x z n уравнения 0 ) , ( ) , ( 0 1 1 1 = + + + − − − z x a dx z d x a dx z d n n n n n n ρ ρ ρ ρ , аналитических по таких, что для произвольного целого m и S ∈ ρ имеют место равенства ( ) 0 ( , ) ( , ) x i a W t dt m i i z x u x e E ρ − ∫ ρ = ρ + ρ ( ) 1 1 ( , ) ( , ) x i a W t dt m i i d d z x u x e E dx dx ρ − + ∫ ρ = ρ + ρ 1 1 ( ) 1 1 1 1 ( , ) ( , ) x i a n n W t dt m n i i n n n d d z x u x e E dx dx − − ρ − + − − − − ∫ ρ = ρ + ρ , где ( ) 1 0 ( , ) ( ) x i a W t dt m j i ij j u x e u и 0 i u не обращается в нуль нив какой точке из (a,b). Метод доказательства основан на том, что дифференциальное уравнение сводится к эквивалентному интегральному уравнению. Вовторой статье дано приложение полученных асимптотических формул к теории краевых задачи разложения функций по собственным функциям. Биркгоф рассматривает общий случай несамосопряженных задач вместо изученных ранее вещественных самосопряженных задач для уравнения второго порядка. Лиувилль ввел понятие сопряженных условий в частном случае. Биркгоф занялся возможным обобщением. У него мы встречаемся с наиболее общей постановкой краевых задач. Биркгоф рассматривает дифференциальное выражение , ) ( ) ( ) ( 2 где 2 3 ( ), ( ),..., ( ) n p x p x p x - функции вещественного переменного x на замкнутом интервале [ ] b a, , непрерывные с производными всех порядков, и сопряженное дифференциальное выражение 68 [ ] 2 2 2 2 ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) . n n n n n n n d z d M z p x z p x z dx dx − − − ≡ − + − + +С линейным дифференциальным уравнением порядка n 0 ) ( = + u u L λ и n линейными однородными краевыми условиями для 1 ( ), ( ),..., u a u a ( 1) ( 1) ( ), ( ),..., ( ) : n n u a u b u b − − 0 ) ( ,..., 0 ) ( , 0 ) ( 2 связывается сопряженное уравнение ( ) 0 M v v λ + = и n сопряженных условий 1 2 ( ) 0, ( ) 0,..., ( ) 0. n V v V v V Для некоторых характеристических значений комплексного параметра λ существует решение хне равное тождественно нулю, или ( ) v x , соответственно. Пусть это ,... , 2 1 λ λ и соответствующие решения ),...; ( ), ( 2 1 x u x u 1 2 ( ), ( ),... v x v x . У Биркгофа строится формальная теория краевых условий на основе тождества и записи билинейной формы в виде ∑ − = − = = = 1 2 1 Доказываются свойства 1) Если для λ λ ∗ = существует решение ( ) u x ∗ , то существует также решение v v ∗ = для λ причем, если ( ) u единственно, то и ( ) v x ∗ единственно ( с точностью до постоянного множителя. Необходимое и достаточное условие того, чтобы λ было характеристическим числом, если n y y y ,..., , 2 1 линейно независимые решения для λ λ ∗ = , состоит в том, чтобы определитель 1 1 1 2 1 2 1 ( )... ( ) ( )... ( ) ( )... ( ) n n n n n W y W y W y W y W y W y Δ обращался в нуль характеристическое число простое, если все первые миноры неравны нулю. 3) Если ) (x u i и ( ) j x ν принадлежат различным характеристическим числами, то ( ) ( ) 0 b i j a u x x В важном частном случае, когда системы совпадают, говорят о самосопряженной проблеме. Случай, когда ( ) M v отличается только знаком от ( ) L v , Биркгоф называет антисамосопряженной проблемой. Теорему разложения Биркгоф получает методом теории вычетов. С этой целью строится функция Грина ), ; , ( λ s x G если λ не характеристическое число, для системы , ) ( ω λϕ ϕ = + L 0 ) ( ) ( ) ( 2 и функция для сопряженной системы , ) ( ω λϕ ϕ = + M 0 ) ( ) ( ) ( 2 1 = = = = ϕ ϕ ϕ n V V V , причем Функция ) ; , ( λ s x G − аналитическая по, кроме возможных полюсов, когда ( ) 0 λ Δ = , то есть, когда λ - характеристическое число. Если i λ λ = − простое характеристическое число, для которого ) ; , ( λ s x G имеет полюс первого порядка, то вычет этой функции в этой точке равен ( ) ( ) , ( ) ( ) i i b i i a u x v x u x v x dx ∫ где 0 b i i a u v Если n λ λ λ ,..., , 2 1 − простые характеристические числа, то, окружая их контурами Г , получим первые n членов разложения как вычеты функции ) ; , ( λ s x G Биркгоф, рассмотрев случай функции Грина с простыми полюсами, не останавливается на получении разложения в более сложных случаях. Для решений уравнений 0 ) ( = + u u L λ и ( ) 0 M v v + = λ при больших λ на основе своих прежних исследований Биркгоф дает асимптотические формулы. А именно, в секторе S: n l n l π ρ π ) 1 ( arg + ≤ ≤ существуют n независимых решений n y y y ,... , 2 1 и n z z z ,..., , 2 1 уравнений 0 ) ( = + u u L n ρ и ( ) 0 n M v v + = ρ аналитических пои таких, что в указанном секторе ( ) 0 ( , ) , i W x a i i m E y u x e ρ − = ρ + ρ ( ) 1 1 ( , ) , i W x a i i m dy E d u x e dx dx ρ − − = ρ + ρ 1 1 ( ) 1 1 1 1 ( , ) , i n n W x a i n i n n m n d y E d u x e dx dx − − ρ − − − − − + = ρ + ρ ( ) 0 ( , ) , i W x a i i m E z x e − − = + ρ ν ρ ρ 1 1 ( ) 1 1 1 1 ( , ) , i n n W x a i n i n n m n d z E d v x e dx dx − − − − − − − − + = + ρ ρ ρ где ( ) 1 ( ) ( ) ( , ) 1 , i W x a i im i m u x u x u x e ρ − ⎡ ⎤ ρ = + + + ⎢ ⎥ ρ ρ ⎣ ⎦ ( ) 1 ( ) ( ) ( , ) 1 , i W x a i im i m x x v x e − ⎡ ⎤ = + + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ρ ν ν ρ ρ ρ n W W W ,..., , 2 1 корни уравнения , 0 1 = + n W некоторое целое положительное число. Биркгоф вводит понятие регулярных краевых условий. Примером регулярных краевых условий для задач уравнений второго порядка служат краевые условия Штурма – Лиувилля: и периодические Пример нерегулярных краевых условий указанный Биркгофом: Для задач с регулярными краевым условиями Биркгоф указал распределение собственных значений на комплексной плоскости и охарактеризовал системы собственных функций ) (x u i и ( ) i x ν Для доказательства сходимости разложения Биркгоф оценивает сумму первых n членов разложения, выраженную интегралом ∫∫ Γ − = b a dsd x f s x G J λ λ π ) ( ) ; , ( 1 2 1 , используя асимптотические формулы для решений уравнения ( ) 0 L u u λ + = . Таким образом Биргофом созданы основы систематической теории несамосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов. Через пять лет Биркгоф вновь обращается к проблеме разложения для обыкновенных дифференциальных уравнений го порядка , 0 2 2 с краевыми условиями общего вида 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 = + + + + + − − − − b u dx b u d a u dx a u d n n n n n n β β α α Биркгоф возражает против сомнений, высказанных Тамаркиным в работе [258] относительно некоторых прежних его результатов. В частности, Биркгоф более подробно излагает теорию для частных значений n. Замечания Биркгофа относятся к природе характеристических значений, теорем разложения и преобразования функции Грина. В статье Вейля [42] рассмотрены интересные вопросы о связи собственных значений данных ядер и " K и их суммы, аппроксимации ядра билинейной комбинацией конечного числа собственных функций, вопросы асимптотического распределения собственных значений для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных и применение полученных результатов к физическим вопросам теории излучения. В работе Тамаркина [258] намечается развитие теории Штурма-Лиувилля на классы несамосопряженных задач. В обширном труде [259] Тамаркин рассматривает общие задачи спектральной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе изучаются системы дифференциальных уравнений вида | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
